复习+数理统计

在前面我们曾经定义过事件的条件概率 同样也可以考虑一个随机变量的条件分布 其条件与另一随机变量的取值有关 离散型 四条件分布 连续型 定义 例 其中第一个参数是x的线性函数 第二个参数与x无关 此结论在一些统计问题中很重要 例1设的联合分布密度为 解关于的边缘密度为 于是 下面讨论无偏估计方差的下界 达到这个下界的无偏估 量称为优效估计量 最小方差无偏估计 定理 罗 克拉美不等式 条件见书 罗 克拉美不等式 右端为罗 克拉美下界 记为 类似 d r v 注 有时能找到无偏估计使它的方差达到这个下界 有时达不到 见书上p60例3 2 4和例3 2 5 正确 正确 假设检验的两类错误 犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为 任何检验方法都不能完全排除犯错 假设检验的指导思想是控制犯第一类 误的可能性 理想的检验方法应使犯两类 错误的概率都很小 但在样本容量给定的 情形下 不可能使两者都很小 降低一个 往往使另一个增大 错误的概率不超过 然后 若有必要 通 过增大样本容量的方法来减少 1非正态总体参数的假设检验 设总体X服从参数为p的 0 1 分布 即 1 0 1 分布参数的假设检验 由于 因此由中心极限定理可知 当 成立且样本容量 n充分大时 统计量 服从标准正态分布N 0 1 该假设检验问题的拒绝域为 近似地 例1某种产品在通常情况下次品率为5 现在从生产出的一批产品中随机地抽取50件进行检验 发现有4件次品 问能否认为这批产品的次品率为5 0 05 解设这批产品的次品率为p 在这批产品中任 任意取一件产品 定义随机变量X如下 检验假设 该假设检验问题的拒绝域为 现在 统计量U的值为 接受假设 可以认为这批产品的次品率为5 2 总体均值的假设检验 假设总体X的均值为 方差为 为X的样本 检验假设 由中心极限定理知 当样本容量n充分大时 近似地服从标准正态分布N 0 1 由于样本方差 为 的无偏估计量 且样本容量n充分大时 统计量 仍近似地服从标准正态分布N 0 1 该假设检验问题的拒绝域为 例2某电器元件的平均电阻一直保持在2 64 改变加工工艺后 测得100个元件的电阻 计算得平均电阻为2 58 样本标准差为0 04 在显著性水平 0 05下 判断新工艺对此元件的平均电阻有无显著影响 解设该电器元件的电阻为X 其均值为 检验假设 拒绝域为 现在 统计量U的值为 拒绝假设 接受假设 新工艺对电子元件的平均电阻有显著影响 3 两个总体均值的假设检验 设总体 和 相互独立 的样本 是 是Y的样本 记 设总体X的均值为 方差为 总体Y的均值为 方差为 的拒绝域 由中心极限定理知 当样本容量 和 都充分大时 近似地服从标准正态分布 由于样本方差 和 分别为 和 的无偏估计量 因此 可以 分别用 和 近似代替 和 并且当 求假设检验问题 和 近似地服从标准正态分布 从而当原假设 成立时 统计量 仍近似地服从标准正态分布 都充分大时 统计量U的值应该在零附近摆动 当 过大时就认为 不成立 该假设检验问题的拒绝域为 例3两台机床加工同一中轴承 现在从他们加工的轴承中分别随机地抽取200根和100根 测量其椭圆度 单位 mm 经计算得 能否认为这两台机床加工的轴承的平均椭圆度是相同的 0 05 解设这两台机床加工的轴承的椭圆度分别为X Y 且 检验假设 由于题目给出的两个样本都是大样本 因此该假设检验问题的拒绝域为 现在 拒绝原假设 即认为这两台机床加工的 轴承的平均椭圆度是不相同的 2分布拟合检验 设总体X的实际分布函数为F x 它是未知的 为来自总体X的样本 根据这个样本来检验总体X的分布函数F x 是否等于某个给定的分布函数F0 x 即检验假设 注意 若总体X为离散型的 则 相当于 总体X的分布律为 若总体X为连续型的 则 相当于总体X的 概率密度为f x 1 若 中 的分布函数 不含未知参数 两两互不相交的子集 在n次试验中 事件Ai发生的频率为fi n 另一方面 当H0为真时 可以根据H0所假设的X的分 布函数来计算 选取统计量 来度量样本与H0中所假设的分布的吻合程度 hi是给定的常数 如果选取 则上述统计量变成 定理1 皮尔逊 当H0为真且n充分大时 统计量 近似服从 分布 由定理1 若给定显著性水平 则前述假设检验问题的拒绝域为 2 若H0中X的的分布函数含有未知参数 此时 首先在假设下利用样本求出未知参数的最大似然估计 以估计值作为参数值 然后再根据H0中所假设的X的分布函数F x 求出pi的估计值 并在 为真且 充分大时 统计量 定理2 皮尔逊 当 近似服从 分布 其中r是X的分布函数 F x 包含的未知参数的个数 若给定显著性水平 则前述假设检验问题的拒绝域为 注意 运用 检验法检验总体分布 把样本数据进 1 大样本 通常取 2 要求各组的理论频数 或 3 一般数据分成7到14组 有时为了保证各组 行分类时 组数可以少于7组 例1孟德尔在著名的豌豆杂交实验中 用结黄色圆形种子与结绿色皱形种子的纯种豌豆作为亲本进行杂交 将子一代进行自交得到子二代共556株豌豆 发现其中有四种类型植株 黄圆 黄皱 绿圆 绿皱 总计 315株 101株108株 32株556株 试问这些植株是否符合孟德尔所提出的 的理论比例 解检验假设 由 由n 556 得 而 计算得 由 0 05 自由度 查 分布表得 在 0 05下接受 这些植株是符合孟德尔所提出的 的理论比例 上述置信区间中置信限都是双侧的 但对于有些实际问题 人们关心的只是参数在一个方向的界限 例如对于设备 元件的使用寿命来说 平均寿命过长没什么问题 过短就有问题了 这时 可将置信上限取为 而只着眼于置信下限 这样求得的置信区间叫单侧置信区间 三 单侧置信区间 于是引入单侧置信区间和置信限的定义 又若统计量满足 由于方差未知 解 的点估计取为样本均值 选取统计量为 对给定的置信水平 确定分位数 使 即 于是得到的置信水平为的单侧置信区间为 将样本值代入得 的置信水平为0 95的单侧置信下限是 1065小时 例5为估计制造某种产品所需要的单件平均工时 单位 小时 现制造5件 记录每件所需工时如下10 511 011 212 512 8假设制造单位产品所需工时 试求平均