高等数学(第五版)4-1 原函数的概念与性质_第1页
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第四章不定积分 原函数 反导数 求原函数的运算是求导数的逆运算 应用 2 求积分 1 已知函数的导数 求出原来的函数关系 二 基本原函数表 三 原函数的性质 一 原函数的概念 第一节 原函数的概念与性质 第四章 原函数的定义 一 原函数的概念 图示 求原函数的运算是求导数的逆运算 因此要求一个函数的原函数 就是找另一个函数 使另一个函数的导数等于这个函数 例1 因为位移对时间的导数是速度 所以位移是速度对时间的原函数 例2 问题 什么样的函数具有原函数 连续函数f x 一定有原函数 因为初等函数在定义区间上连续 所以初等函数在定义区间上有原函数 问题 原函数是否唯一 称为f x 的积分曲线 综上所述 原函数 反导数 也可以理解为积分函数 因为求原函数的运算是求导数的逆运算 所以可以把基本导数公式反过来得到基本的反导数公式 例1 一般的 二 基本原函数 积分 表 是常数 例2设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线方程 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点 1 2 所求曲线方程为 例3 质点在距地面 处以初速 力 求它的运动规律 解 取质点运动轨迹为坐标轴 原点在地面 指向朝上 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻t质点所在位置为 则 运动速度 加速度 垂直上抛 不计阻 先求 由 知 再求 于是所求运动规律为 由 知 故 三 原函数的性质 证 例4求 解 例5 求 解 解 例6 求 例7求 说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形 才能使用基本原函数表 解 注 要判断求原函数的结果是否正确 只要验证结果的导数是否等于被积函数 若 的导函数为 则 的一个原函数 是 解 B 概念理解 要点 原函数的定义 求原函数的运算是求导数的逆运算 原函数的计算 利用恒等变形 原函数的性质
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