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第八章 一 空间曲线的一般方程 二 空间曲线的参数方程 三 空间曲线在坐标面上的投影 第四节 机动目录上页下页返回结束 空间曲线及其方程 一 空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线 其一般方程为方程组 例如 方程组 表示圆柱面与平面的交线C 机动目录上页下页返回结束 又如 方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C 机动目录上页下页返回结束 二 空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x y z表示成参数t的函数 称它为空间曲线的参数方程 例如 圆柱螺旋线 的参数方程为 上升高度 称为螺距 机动目录上页下页返回结束 例1 将下列曲线化为参数方程表示 解 1 根据第一方程引入参数 2 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 机动目录上页下页返回结束 例2 求空间曲线 绕z轴旋转 时的旋转曲面方程 解 点M1绕z轴旋转 转过角度 后到点 则 机动目录上页下页返回结束 这就是旋转曲面满足的参数方程 例如 直线 绕z轴旋转所得旋转曲面方程为 消去t和 得旋转曲面方程为 机动目录上页下页返回结束 绕z轴旋转所得旋转曲面 即球面 方程为 又如 xoz面上的半圆周 说明 一般曲面的参数方程含两个参数 形如 机动目录上页下页返回结束 三 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 消去z得投影柱面 则C在xoy面上的投影曲线C 为 消去x得C在yoz面上的投影曲线方程 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 机动目录上页下页返回结束 例如 在xoy面上的投影曲线方程为 机动目录上页下页返回结束 又如 所围的立体在xoy面上的投影区域为 上半球面 和锥面 在xoy面上的投影曲线 二者交线 所围圆域 二者交线在 xoy面上的投影曲线所围之域 机动目录上页下页返回结束 备用题 求曲线 绕z轴旋转的曲面与平面 的交线在xoy平面的投影曲线方程 解 旋转曲面方程为 交线为 此曲线向xoy面的投影柱面方程为 此曲线在xoy面上的投影曲线方程为 它与所给平面的 机动目录上页下页返回结束 内容小结 空间曲线 三元方程组 或参数方程 求投影曲线 如 圆柱螺线 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 P37题1 2 7 P37题1 2 1 答案 机动目录上页下页返回结束 3 机动目录上页下页返回结束 P37题2 1 机动目录上页下页返回结束 思考 交线情况如何 交线情况如何 P37题2 2 机动目录上页下页返回结束 分析 因为圆柱体x2 y2 ax在xoy面上的投影为x2 y2 ax 它含在半球 所以半球与圆柱体的公共部分在xoy面上的投影为 得 于是半球与圆柱体的公共部分在zox面上的投影为 在xoy面上的投影x2 y2 a2内 由圆柱面方程x2 y2 ax得y2 ax x2 代入半球面方程 0 x a z2 ax a2
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