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9 2 3异面直线所成角 1 熟练掌握两条异面直线所成角的定义 2 明确异面直线所成角的范围 3 掌握求两异面直线所成角的方法 4 会用反三角函数表示非特殊角的异面直线所成的角 学习目标 说明 异面直线所成角的范围是 0 在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角 常用余弦定理求其大小 当余弦值为负值时 其对应角为钝角 这不符合两条异面直线所成角的定义 故其补角为所求的角 这一点要注意 用余弦定理求异面直线所成角时 要注意角的范围 1 当cos 0时 所成角为 2 当cos 0时 所成角为 3 当cos 0时 所成角为 90o 求异面直线所成的角的一般步骤是 根据异面直线所成角的定义 求异面直线所成角 就是要将其变换成相交直线所成有角 其一般方法有 1 角的顶点取在其中一条直线上 过一条异面直线上的已知点 作另一条直线的平行线 使异面直线所成的角成为相交直线的交角 1 找出或作出有关的图形 2 证明它符合定义 3 计算 即一作二证三计算 F 2 角的顶点取在空间某一特殊点上 当异面直线依附于几何体 且直接过异面直线上的点平移直线有困难时 利用几何体的特殊点 将两条异面直线分别平移相交于该点 G 3 构造辅助平面法 通过构造辅助平面 在辅助平面内平移直线 G F H 解 补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 连结A1E C1E 则 A1C1E为A1C1与BD1所成的角 或补角 BC1的方体B1F 例5 长方体ABCD A1B1C1D1 AB AA1 2cm AD 1cm 求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值 4 构造辅助几何体 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 平行六面体等 其目的在于易于发现两条异面直线的关系 在 A1C1E中 由余弦定理得 A1C1与BD1所成角的余弦值为 解 补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 连结A1E C1E 则 A1C1E为A1C1与BD1所成的角 或补角 BC1的方体B1F 例5 长方体ABCD A1B1C1D1 AB AA1 2cm AD 1cm 求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值 练习 直三棱柱ABC A1B1C1中角ACB 900 D1 F1分别是A1B1与A1C1的中点 若BC CA CC1 求BD1与AF1这两条异面直线所成的角 A A1 C B B1 C1 F1 D1 分析 恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键 思路一 取BC中点G 连结F1G 则角AF1G 或其补角 为异面直线所成的角 解三角形AF1G可得 A B C A1 B1 C1 D1 F1 G B 思路二 延展平面BAA1B1 使A1E D1A 则将BD1平移到AE 角EAF1 或其补角 即为BD1与AF1所成的角 A A1 C B1 F1 D1 E 小结 1 异面直线所成的角 2 异面直线所成的角的范围 3 求异面
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