塑性力学 2011 1、引edit言

1 本课程是考试课 平时成绩占30 主要由点名 作业 提问几部分构成 考试成绩占70 要求同学们平时要认真对待 塑性力学 1 塑性力学的介绍 塑性力学是固体力学的一个分支 它主要研究 1 物体超过弹性极限后所产生的永久变形和作用力之间的关系 2 物体内部应力和应变的分布规律 1 1 引言 2 塑性力学和弹性力学的区别 弹性力学 塑性力学 研究对象 特性 研究对象 特性 变形可以完全恢复 弹性范围内应力和变形的规律 应力与应变一一对应 应力与应变是线性关系 应力和变形的规律 产生塑性变形后 应力与应变不再一一对应 与加载路径有关 应力与应变不再是线性关系 而是非线性关系 变形不可恢复 3 塑性力学的基本方程 描述物体平衡状态的平衡方程 描述物体变形 位移与应变关系 的几何方程 刻画材料物理状态和力学性质的方程 通常称本构方程 说明 第 两类方程与材料性质无关 因此普遍适用 塑性力学和弹性力学主要区别在于第 类本构方程不同 1 2金属材料的基本试验 为了研究材料塑性变形性质 观察低碳钢在常温下的静载拉伸试验 得到如下应力应变曲线图 1 从图上可以看出 OA段是直线段 此处属于线弹性阶段 A点对应的应力称为比例极限 记做 当A点至B点 材料属于非线性弹性 其实A点和B点非常接近 当应力达到B点时 材料由弹性状态进入塑性状态 称之为屈服 开始产生塑性变形 因此B点的应力值又称为屈服极限 记为 如图中D点所代表的状态 既可沿着DF方向加载 也可沿DO 方向卸载 当外加应力减少时 材料从塑性状态回到弹性状态 称之为卸载 2 材料进入塑性状态后变形有两种可能性 当外加应力增加时 材料继续产生塑性变形 称之为加载 1 加载 2 卸载 卸载将遵循弹性规律 弹性变形得以恢复 塑性变形保持不变 如图DO AO O D 对应的应变是 OO 是残留下来的塑性应变 3 材料在加载和卸载阶段将遵守不同的变形规律 将产生新的塑性变形 同时也会产生弹性变形 应力与应变关系 本构关系 是非线性的 如图DF段 1 加载阶段 2 卸载阶段 4 加载阶段使得正向屈服极限不断提高 从D点完全卸载达到O 点后 再从O 重新加载 称之为正向加载 开始时应力应变仍按线弹性变化 当应力达到D点的应力后 才重新进入屈服 开始产生新的塑性变形 因此材料的屈服极限由原来的提高到 这个过程称之为强化或者硬化 即材料具有塑性应变以后得到强化 提高了屈服应力 称之为应变强化或者应变硬化 5 反向屈服应力会降低 从D点将载荷完全卸载达到O 后再加反向载荷 材料将在E点屈服 低碳钢试验结果表明 E点应力值明显低于D点的应力值 这种反向屈服应力 绝对值 小于正向屈服应力的现象称之为包辛格效应 即由于拉伸的强化而影响到压缩的弱化称之为包辛格效应 6 应力 应变之间不再是一一对应的单值关系 由于进入塑性阶段以后 加载和卸载的规律不同 对应于同一个应力状态 如果加载历史不同 所对应的应变不同 因此 应变不仅取决于应力状态 而且还取决于达到该应力状态所经历的历史 即同一个应力 对应于不同的应变 如图两种加载路径 OAD和OADFG 它们达到的应力均为 而产生的应变分别为D G对应的应变 显然不同 二 塑性力学的主要内容 对于各种复杂的应力状态 塑性力学必须能清楚地描述上节中的6个问题 因此塑性力学的主要任务是 1 建立屈服条件 对于给定的应力状态和加载历史 确定材料是否超出弹性界限而进入塑性状态 即材料是否屈服 因此需要建立材料的屈服条件 2 判断加卸载 如前所述 加载和卸载应力应变关系遵循不同的规律 因此 当应力分量改变时 需要建立相应的准则判断它们将会引起材料加载还是卸载 即进行加卸载判断 3 描述加载或者变形历史 材料加载过程中的应力 应变关系不仅是非线性的 由于取决于变形历史 而且一般不能由全量描述 因此塑性力学的问题应该从某一已知的初始状态 可以是弹性状态 开始 跟随加载过程 用应力增量与应变增量的关系 逐步求出每个时刻的增量 累加起来得到物体内的应力和应变 所以要建立应力增量和应变增量的本构关系 5 求解弹塑性问题和刚塑性问题 在塑性本构关系确定后 余下的工作就是应用理论却解决实际问题 三 静水压力实验 试验结果得出如下结论 静水压力对材料屈服极限的影响忽略不计 静水压力与材料的体积改变近似服从线弹性规律 四 材料性质的基本假设 材料是均匀 连续 在初始屈服前为各向同性 静水压力不影响材料的屈服 它只与材料体积应变有关 并且体积应变是弹性的 材料的弹性性质不受塑性变形的影响 不考虑时间因素对材料性质的影响 一般不考虑包辛格效应 1 3应力 应变关系的简化模型 一 应力 应变关系简化模型 1 理想弹塑性模型 忽略强化效应 适用于低碳钢或者强化率不高的材料 2 线性强化弹塑性模型 材料强化率较高且在一定范围内变化不大 3 理想刚塑性模型 略去理想弹塑性模型的线弹性部分 4 线性强化刚塑性模型 略去线性强化模型的线弹性部分 5 幂次强化模型 用于处理应变较大的问题 二 强化模型 由于后继屈服应力随着塑性应变的增加而增加 以及一个方向后继屈服应力强化将会引起反方向的弱化 这是个很复杂的问题 为了简化数学处理 常采用以下三种简化模型 1 等向强化模型 不考虑包辛格效应 2 随动强化模型 考虑包辛格效应 3 组合强化模型 1 4 理想弹塑性材料的三杆桁架 下面研究三杆对称桁架受竖直力P作用的问题 这是个静不定桁架 各杆横截面积为A 夹角为450 2杆长为L0 1 节点A的静力平衡方程 把上两式消去FN3 并两边除以A 得到应力表示的平衡方程 2 变形协调关系 这两类方程与材料性能无关 3 下面分析理想弹塑性材料 1 弹性阶段 随着P的增加 2杆先进入屈服 对应的外载为 2 约束塑性阶段 此时2杆的塑性变形受到1杆和3杆的限制 结构的这种状态成为约束塑性变形状态 由于材料是理想弹塑性的 进入塑性状态的2杆的应力不再增加 即 代入平衡方程可以直接解出 由此可以看出 当三杆桁架中一杆进入塑性后 桁架就变成静定的了 3 塑性流动阶段 同时可求得塑性极限位移 随着P的增加 使得1杆和3杆达到屈服 此时 得到相应的外载为 塑性极限载荷 此时全部结构已经都进入塑性阶段 变形不再受到限制 结构将产生无限制的塑性变形 或称塑性流动 因此表示了结构的极限承载能力 由上面的结果可知 对于450对称的三杆桁架 塑性极限位移 桁架的载荷 位移曲线如图所示 4 卸载阶段 若加载到P 后卸载 因卸载服从弹性规律 故应力应按照以下规律变化 当载荷变为时 则各杆内应力和应变相应的变化 若P全部卸除 则残余应力由卸载前的应力减去卸载卸掉的应力可得 当P 0时 同样残余应力满足 由此求得残余位移和残余应变 注 残余应变也自身相协调 说明 对于简单拉伸试件 卸载后的残余应变是塑性应变 对于静不定结构 残余应变中包含弹性应变 5 重复加载 1 5 线性强化弹塑性材料的三杆桁架 各杆横截面积为A 夹角为450 2杆长为L0 将材料简化成线性强化弹塑性材料 材料的应力应变关系 1 弹性阶段 随着P的增加 2杆先进入屈服 对应的外载为 2 约束塑性阶段 联立解出 随着P的增加 使得1杆和3杆达到屈服 此时 得到相应的外载为 对于强化材料构成的桁架 各杆进入塑性阶段之后 应力仍随着应变增大 故P1并不是极限载荷 即不会发生塑性流动 所以线性强化材料的三个变形阶段是弹性阶段 约束塑性阶段 自由塑性变形阶段 桁架的载荷 位移曲线如图所示 1 6 加载路径对桁架内应力和应变的影响 1 平衡方程 理想弹塑性材料的三杆桁架同时受竖直力P和水平力Q作用如图 其节点的竖直位移和水平位移分别为和 2 几何方程 且 3 应力 应变关系 为了讨论问题的方便 将上述基本方程都用相应的增量表示 平衡方程 应力应变关系 下面讨论将P和Q按不同的加载方案加在桁架上 如左图所示 研究其对桁架内的应力与应变的影响 第一种方案 非比例加载 先施加P 保持Q 0 直至极限载荷Ps 如图中OA段 此时杆内应力和节点位移分别为 保持不变 增加Q 此时相应的P也将有所改变 此时节点位移增量为 代入增量形式的几何方程得 几何方程 说明 1杆继续伸长 2杆长度不变 3杆发生卸载 由于1杆继续伸长 2杆长度不变 3杆发生卸载 而之前 平衡方程 代入增量形式的平衡方程得 说明 为了保持不变 Q增加时P反而减小 如图AB段 初始应力 改变量 两者叠加得到此时桁架内的应力 节点位移 其中 代入几何方程得 第二种方案 比例加载 非比例加载最终载荷比 现在讨论比例加载 设整个加载过程中 保持单调增加 如图OB段所示 直至前一段过程给出的塑性极限状态 即 1 弹性阶段 平衡方程 与平衡方程联立 并利用解得 由此看出 三者之中的绝对值最大 随着P增加 1杆先进入屈服 几何方程 这是弹性阶段A点的位移 继续加载 1杆屈服 则 平衡方程 代入增量形式的平衡方程得 说明 2杆继续受拉 3杆继续受压 此时各杆应力为 说明此时桁架进入塑性状态 极限载荷为 与第一种方案的极限载荷相同 这说明极限载荷与路径无关 几何方程 代入增量形式的几何方程得 求出与对应的位移增量 位移增量 弹性位移 两者叠加得到最终位移 代入几何方程得到最终应变 第一种路径下的最终应力和应变 第二种路径下的最终应力和应变 本例中可以看出应变与加载路径有关 对更复杂的静不定结构 更复杂的加载路径 到达塑性极限载荷时的应力分布也可能不同 应力分布也与路径有关 坐标 3 1 坐标 4 2 塑性力学PlasticMechanics 苏州科技学院土木学院力学系 课程性质 专业基础课 考试课 学时 64学时 5个学分 成绩 平时成绩30 期末考试70 平时成绩包括 1 作业 课堂提问 出勤 2 期中考试成绩 作业要求 1 字迹工整 清晰 2 抄写原题目 画原图 3 作图要规范 4 按时交作业 教材 哈尔滨工业大学理论力学教研室编 理论力学 第六版 参考书目 1 同济大学理论力学教研室编 理论力学 高教出版社 2 朱照宣 理论力学 北京大学出版社 3 哈工大编 理论力学学习辅导 高教出版社 课程要求 学习目标准确理解基本概念 熟练掌握基本定理和公式并能灵活应用 学会处理力学问题的基本方法 所需基础知识数学 向量运算 矩阵运算 微积分物理 有关力学的基本内容 需要一定量的习题训练 绪论 一 理论力学的研究对象和内容 理论力学 是研究物体机械运动一般规律的一门学科 机械运动 是物体在空间的位置随时间的变化 速度远小于光速的宏观物体