高中数学圆锥曲线问题解题技巧

1 k2 k为双曲线渐近线的斜率 2004 全国东北理科卷 设双曲线的焦点在x轴上 两条渐近线为y x 则该双曲线的离心率e A 5B C D 1 k2 其中k为双曲线渐近线的斜率 e2 5 4 将k2 e2 1代入上式 整理得 9e4 9e2 4 0 e2 4 3 4 即ec 3a e2 3 已知F1 F2为双曲线 a 0 b 0 的焦点 过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于P 且 PF1F2 30 如图 求双曲线的渐近线方程 x y o P F1 F2 PF1 2 PF2 exP a 2 exP a exP 3a k2 e2 1 2 A 由已知 AF1 c AF2 c 即ex1 a c ex1 a c 两式相减 2a 1 c 两边同除以a得e 因为 NF1 exN a c 即exN a c 又 NF2 NF1 2exN 1 c 将xN c 2代入即得 要点提炼 设双曲线的离心率为e 一条有较小倾斜角 的渐近线的斜率为k 则双曲线的如下性质在解题时十分有用 过焦点作一条渐近线的垂线 垂足在双曲线的准线上 垂线段的长等于半虚轴长 arccos 1 e e2 k2 1 此外 双曲线的焦半径公式 r1 ex0 a r2 ex0 a 在处理涉及双曲线的焦半径问题时是十分有用的 必须要学生熟记它 设 设而不求 1 x2 y2 3 y 平几知识的应用 c2y2 b2 c2 a2 b4 y b2 c S F1MF2 b2 S F1MF2 b2 2 设点M到x轴的距离为d 则cd S d 将直角坐标系中的曲线平移 或平移坐标轴 曲线上任意两点之间的距离 弦长 两条定弦之间的夹角 以及曲线上任一点处的切线的斜率 都是平移变换下的不变量 y2 a x 3 曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率k 2ax0 依题意 0 k 1 即0 2ax0 1 f x 2ax F P y 2ax y 1 证明 点P处的切线斜率为1 证明 点P处的切线斜率为1 法一 由y2 2px 2yy 2p 法二 由 y2 2px PF p x 命题1设抛物线y2 2px p 0 的通径为PQ 则抛物线在点P Q处的切线的斜率分别为1和 1 且切线通过抛物线的准线与x轴的交点 y2 18x y2 8 x 6 AB x y 1 0 求得 AB 8 取点M 1 2 MAB的面积为4 点M到直线AB的距离为 由 得 双曲线通径端点处切线的斜率为 e 过椭圆上一点P x0 y0 的切线方程为 过双曲线上一点P x0 y0 的切线方程为 命题2若PQ为焦点在x轴上的圆锥曲线的通径 则曲线在点P Q处的切线的斜率为e和 e 且切线通过相应准线与x轴的交点 或表述为 过焦点在x轴上的圆锥曲线的准线与x轴的交点 且斜率为e 或 e 的直线 与圆锥曲线相切 且切点为圆锥曲线一条通径的端点 作离心率为1 2的椭圆 OF c FA b OA a c AB 2ab AB 作离心率为2的双曲线 2004 湖南理科卷 如图 过抛物线x2 4y的对称轴上任一点P 0 m m 0 作直线与抛物线交于A B两点 点Q是点P关于原点的对称点 I 设点P分有向线段AB所成的比为 证明QP QA QB II 设直线AB的方程是x 2y 12 0 过A B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线 求圆C的方程 x1 x2 y1 m y2 m 即 光的反射 基本原理 光的传播遵循 光行最速原理 光的反射应满足 入射角 反射角 由此推得 光的反射 基本技巧 入射线 始点 终点的对称点 反射线 始点的对称点 终点 x 2 2 y 2 2 1 始点的对称点 终点 反射线 终点的对称点 始点 入射线 P 3 1 F c 0 解法一 依题意 入射线方程为 令y 2 得M 2 令y 0 得N 0 F 1 0 a2 3 P 3 1 F c 0 解法二 点F关于直线y 2的对称点为Q c 4 c 1 a2 3 依题意 kPQ Q 要点提炼 光反射的理论依据 是物理学中的光行最速原理 数学中处理这类问题的基本方法是运用平面几何中的对称性 这就是 通法 只有把握住 通法 不论题目如何变化 你才能在解题时得心应手 游刃有余 分析 由题设 xM xQ 2 xQ xF 即 xQ 2 xQ m 即xQ 2m或xQ m 3 4k2 x2 8k2mx 4k2m2 12m2 0 令x 2m 得k 0 令x m 得k 2 由对称性 我们只须研究如图的情况 1 当yB 4yA时 yA 1 m 令x 0 得y1 2 当yB 9yA时 同理可得y2 m 设 AB 2c 则A c 0 C yC 又设E x0 y0 得x0 c x0 x0 EC exC a ex0 a 2a e xC x0 因为 EC AC AE 所以 ex0 a 2a e x0 t 2et 2 4 e e 2t 2e 1 t e2 4 2 将 代入 两边同乘以 e2 2 e2 4 2 e2 因为 所以7 e2 10 得 2004 天津理科卷 椭圆的中心是原点O 它的短轴长为2 相应于焦点F c 0 的准线l与x轴相交于点A OF 2 FA 过点A的直线与椭圆相交于P Q两点 求椭圆的方程及离心率 若OP OQ 0 求直线PQ的方程 设AP AQ 1 过点P且平行于l的直线与椭圆相交于另一点M 证明 FM FQ e x y 3 0 设AP AQ 1 过点P且平行于l的直线与椭圆相交于另一点M 证明 FM FQ 分析设P x1 y1 Q x2 y2 则M x1 y1 又F 2 0 由已知 x1 3 x2 3 y1 y2 3 x2 y2 2 将 式代入上式 整理得 x2 0 设AP AQ 1 过点P且平行于l的直线与椭圆相交于另一点M 证明 FM FQ 还须证 M F Q三点共线 要点提炼 解综合题的关键在于恰当地变换 即将原