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文档简介

线性代数模拟试题解答模拟试题一一、1. 1,2,3; 2. 3. 1; 4. -3,0;二、1. D;2. D;3. A;4. B;三、解 四 解 | P | = -10, P可逆, 用初等行变换求出P-1 五、七、解 可以断言能由 线性表出 . 证明:因为已知向量组 线性无关,故其部分组 也线性无关;又知向量组 线性相关,所以 能由 线性表出 . 可以断言不能由 线性表出 .用反证法:设 能由 线性表出 ,即存在常数 ,使得 , 又由知 能由 线性表出 ,即有 ,代入上式得 即 能由 线性表出 ,从而向量组 线性相关,与已知矛盾.所以 不能由 线性表出 . 八、解 , 则 , .九、所以 模拟试卷二解答一、; 二、1.C;2.D;3.D;三、解 .五、解 八、 解 (1) 二次型对应矩阵A=, 由 秩(A)=2, 得 . 模拟试卷三解答一、1. 2; 2. ; 3. x=0, y=1; 4. ; 5. 1 ;二、1、B; 2、D; 3、A; 4、B。三、解 =当且时由克莱姆法则方程组有唯一解。当时,增广阵为,这时,方程组有无穷多解,通解为当时,方程组的增广阵为这时,方程组无解。四、解 因为AB+E=A2+B AB-B=A2E,(A-E)B=(A-E)(A+E),可逆所以B=A+E 即五、解 设特征值为0.1,4,我们可直接写出曲面的标准方程是:,该曲面表示的是椭圆柱面,母线平行于轴,准线在面上为。六、证明 由知2是A的特征值,同理由知1,-1也是A的特征值,又由A是三阶方阵,A有三个不相等的特征值,所以A一定与相似。七、证 (证法一)因为A非奇异,即A可表为一系列初等矩阵的乘积,AB表示A左乘B即为对B做一系列的初等行变换,这样不改变B的秩,所以有秩C=秩(AB)=秩B同样BA表示 对B进行一系列的初等变换经不改变B的秩,所以秩D=秩(AB)=秩B。八、解 由 九、解 化成上三角行列式计算,分别将第2列1/a1倍,第3列1/a2倍,第n+1列1/an倍加到第1列, 模拟试卷四解答一、1、 2、 ;3、 4、|A|= -15、;6、秩为3;线性相关; ;7、二、1、 2、 3、 4、 5、 6、三、1、解当且时,方程组有惟一解。当时方程组无解。当时方程组当时这时方程组只有零解。当时,这时方程组有无穷多解。2、解 (1) (2)(3)通解:;(4)基础解系3、解 设有是一组不全为零的数。,即0这表明该议程有非零解,即,即,也就是。4、解 由正交阵定义,即得,也就是 四、1、证明(反证法)如果线性相关,则有一组不全为0的系数使= (1),由已知设,结合(1)式得 (2)由于不完全为零,则,必与不同,这样已有两种表示,与表示法惟一相矛盾,证毕。2、证明 由,且得,这表示行向量组可由行向量组线性表示,由于是由线性无关的行(列)向量组构成的,这时必有的行也是线性无关的,这样与行向组等价,与有同解,即与同解,而只有零解,所以也只有零解。3、证明 因为线性方程组,当秩时,基础解系为个,由则有,即B的列均为的解,这些列的极大线性无关组的向量个数即秩(,从而秩。模拟试卷五解答一、1、;3、;4、的秩为3,解空间维数为1; 5、k=-3;6、二次型正定的充要条件是。二、1、C 2、D 3、A 4、B 5、C;三、1、解 A可逆,求得 , 可逆,求得 ,2、解=当和时方程有惟一解当时,这时方程组无解当时,这时方程组有无穷多解,且通解为,3、解 特征值为:时,时,时,分别对应的特征向量为。四、1、证明 由两边左乘C得两边转置后得,这表明A可逆且有2、证明 由可知为正交阵,得,所以由A为正交阵,有,即 3、证明 (反证法),如果线性相关,而存在不全为零的数,使 (1), (1)=即 =0(因为),因为,所以必有=0由(1)(1),=0因为是的基础解系,对=0,必有,进而推出,这与假设矛盾,所以时线性无关的。模拟试卷六解答一、1、-125; 2、秩相同; 3、; 4、; 5、; 6、.二、1、A;2、A;3、C; 4、B;5、A.;三、1、;2、;3、;4、;5、; 6、;四、1、解 由,得,因为,所以可逆,即2、解 (1)当时,方程组有非零解,其通解为 为任意常数。(2)解空间的基为,解空间的维数为1,解空间3、解 设为二次型的矩阵,由条件。五、1、证明 由设得 因为即矩阵,

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