[数学]高中数学圆锥曲线练习题及答案历年高考试题精选.doc

高考数学试题分类汇编高考数学试题分类汇编 圆锥曲线圆锥曲线 一 选择题 1 2009 全国卷 理 设双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲线的离心率等于 a 3 b 2 c 5 d 6 解 由题双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 的一条渐近线方程为 a bx y 代入抛物线方程整理得0 2 abxax 因渐近线与抛物线相切 所以04 22 ab 即55 22 eac 故选择故选择 c 2 2009 全国卷 理 已知椭圆 2 2 1 2 x cy 的右焦点为f 右准线为l 点al 线段af交c于点b 若 3fafb 则 af a 2 b 2 c 3 d 3 解 过点 b 作bml 于 m 并设右准线l与 x 轴的交点为 n 易知 fn 1 由题意3fafb 故 2 3 bm 又由椭圆的第 二定义 得 2 22 233 bf 2af 故选故选 a a 3 2009 浙江理 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点a作斜率为1 的直线 该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为 b c 若 1 2 abbc 则双曲线的离心率是 w w w k s 5 u c o m a 2 b 3 c 5 d 10 答案 c 解析 对于 0a a 则直线方程为0 xya 直线与两渐近线的交点为 b c 22 aabaab bc ab ababab 则有 22 2222 22 a ba babab bcab ababab ab 因 22 2 4 5abbcabe 4 2009 浙江文 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为f 右顶点为a 点b在椭圆上 且bfx 轴 直线 ab交y轴于点p 若2appb 则椭圆的离心率是 w w w k s 5 u c o m a 3 2 b 2 2 c 1 3 d 1 2 答案 d 解析 对于椭圆 因为2appb 则 1 2 2 2 oaoface w w w k s 5 u c o m 5 2009 北京理 点p在直线 1l yx 上 若存在过p的直线交抛物线 2 yx 于 a b两点 且 paab 则称点p为 点 那么下列结论中正确的是 a 直线l上的所有点都是 点 b 直线l上仅有有限个点是 点 c 直线l上的所有点都不是 点 d 直线l上有无穷多个点 点不是所有的点 是 点 解析解析 本题采作数形结合法易于求解 如图 设 1a m np x x 则 2 22bmxnx 2 a byx 在上 2 2 21 2 nm nxmx 消去 n 整理得关于 x 的方程 22 41 210 xmxm 1 222 41 4 21 8850mmmm 恒成立 方程 1 恒有实数解 应选 a 6 2009 山东卷文 设斜率为 2 的直线l过抛物线 2 0 yaxa 的焦点 f 且和y轴交于点 a 若 oaf o 为坐标原点 的 面积为 4 则抛物线方程为 a 2 4yx b 2 8yx c 2 4yx d 2 8yx 解析 抛物线 2 0 yaxa 的焦点 f 坐标为 0 4 a 则直线l的方程为2 4 a yx 它与y轴的交点为 a 0 2 a 所 以 oaf 的面积为 1 4 2 42 aa 解得8a 所以抛物线方程为 2 8yx 故选故选 b 命题立意 本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算 考查数形结合的数 学思想 其中还隐含着分类讨论的思想 因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有 两种情况 这里加绝对值号可以做到合二为一 7 2009 全国卷 文 双曲线1 36 22 yx 的渐近线与圆 0 3 222 rryx相切 则 r a 3 b 2 c 3 d 6 答案 a 解析 本题考查双曲线性质及圆的切线知识 由圆心到渐近线的距离等于 r 可求 r 3 8 2009 全国卷 文 已知直线 0 2 kxky与抛物线 c xy8 2 相交 a b 两点 f 为 c 的焦点 若 fbfa2 则 k a 3 1 b 3 2 c 3 2 d 3 22 答案 d 解析 本题考查抛物线的第二定义 由直线方程知直线过定点即抛物线焦点 2 0 由2fafb 及第二 定义 2 22 ba xx联立方程用根与系数关系可求 k 2 2 3 9 2009 全国卷 文 已知椭圆 2 2 1 2 x cy 的右焦点为 f 右准线l 点al 线段 af 交 c 于点 b 若3fafb 则af a 2 b 2 c 3 d 3 解 过点 b 作bml 于 m 并设右准线l与 x 轴的交点为 n 易知 fn 1 由题意3fafb 故 2 3 bm 又由椭圆的第 二定义 得 2 22 233 bf 2af 故选故选 a a 10 2009 湖北卷文 已知双曲线1 4 1 22 2 2222 b yxyx 的准线经过椭圆 b 0 的焦点 则 b a 3 b 5 c 3 d 2 解析 可得双曲线的准线为 2 1 a x c 因为椭圆焦点为 2 4 0 b 所以有 2 41b 即 b2 3 故 b 3 故故 c c 11 2009 安徽卷文 直线 过点 1 2 且与直线垂直 则 的方程是 a b c d 解析 可得l斜率为 33 2 1 22 l yx 即3210 xy 选选 a 12 2009 江西卷文 设 1 f和 2 f为双曲线 22 22 1 xy ab 0 0ab 的两个焦点 若 12 ff 0 2 pb是正三角形的三 个顶点 则双曲线的离心率为 a 3 2 b 2 c 5 2 d 3 答案 b 解析 由 3 tan 623 c b 有 2222 344 cbca 则2 c e a 故选 b 13 2009 江西卷理 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 f作x轴的垂线交椭圆于点p 2 f为右焦点 若 12 60fpf 则椭圆的离心率为 a 2 2 b 3 3 c 1 2 d 1 3 w w w k s 5 u c o m 答案 b 解析 因为 2 b pc a 再由 12 60fpf 有 2 3 2 b a a 从而可得 3 3 c e a 14 2009 天津卷文 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为32 则双曲线的渐近线方程为 a xy2 b xy2 c xy 2 2 dxy 2 1 解析 由已知得到2 3 1 22 bcacb 因为双曲线的焦点在 x 轴上 故渐近线方程为 xx a b y 2 2 15 2009 湖北卷理 已知双曲线 22 1 22 xy 的准线过椭圆 22 2 1 4 xy b 的焦点 则直线2ykx 与椭圆至多有一个交 点的充要条件是 a 1 1 2 2 k b 11 22 k c 22 22 k d 22 22 k 解析 易得准线方程是 2 2 1 2 a x b 所以 2222 41cabb 即 2 3b 所以方程是 22 1 43 xy 联立2 ykx 可得 22 3 4k 16k 40 xx 由0 可解得 a 16 2009 四川卷文 已知双曲线 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦点分别是 1 f 2 f 其一条渐近线方程为xy 点 3 0 yp在双曲线上 则 1 pf 2 pf a 12 b 2 c 0 d 4 解析解析 由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线 双曲线方程是2 22 yx 于是两焦点坐标分别是 2 0 和 2 0 且 1 3 p或 1 3 p 不妨去 1 3 p 则 1 32 1 pf 1 32 2 pf 1 pf 2 pf 01 32 32 1 32 1 32 17 2009 全国卷 理 已知直线 20yk xk 与抛物线 2 8c yx 相交于ab 两点 f为c的焦点 若 2 fafb 则k a 1 3 b 2 3 c 2 3 d 2 2 3 解解 设抛物线 2 8c yx 的准线为 2l x 直线 20yk xk 恒 过定 点 p 2 0 如图过ab 分 别作aml 于m bnl 于n 由 2 fafb 则 2 ambn 点 b 为 ap 的中点 连结ob 则 1 2 obaf obbf 点b的横坐标为1 故点b的坐标为 2 202 2 1 2 2 1 2 3 k 故选故选 d 18 2009 全国卷 理 已知双曲线 22 22 10 0 xy cab ab 的右焦点 为f 过f且斜率为3的直线交c于ab 两点 若4affb 则c的离心率为w w w k s 5 u c o m a 6 5 b 7 5 c 5 8 d 9 5 解解 设双曲线 22 22 1 xy c ab 的右准线为l 过ab 分 别作aml 于m bnl 于n bdamd 于 由直线 ab 的 斜率为3 知直线 ab 的倾斜角为 1 6060 2 badadab 由双曲线的第二定义 1 ambnadaffb e 11 22 abaffb 又 156 43 25 affbfbfbe e 故选故选 a 19 2009 湖南卷文 抛物线 2 8yx 的焦点坐标是 a 2 0 b 2 0 c 4 0 d 4 0 解 由 2 8yx 易知焦点坐标是 0 2 0 2 p 故选故选 b b 20 2009 辽宁卷文 已知圆 c 与直线 x y 0 及 x y 4 0 都相切 圆心在直线 x y 0 上 则圆 c 的方程为 a 22 1 1 2xy b 22 1 1 2xy c 22 1 1 2xy d 22 1 1 2xy 解析 圆心在 x y 0 上 排除 c d 再结合图象 或者验证 a b 中圆心到两直线的距离等于半径即可 答案答案 b b 2 21 2009 宁夏海南卷理 双曲线 2 4 x 2 12 y 1 的焦点到渐近线的距离为 a 2 3 b 2 c 3 d 1 解析 双曲线 2 4 x 2 12 y 1 的焦点 4 0 到渐近线3yx 的距离为 340 2 3 2 d 选选 a 22 2009 宁夏海南卷理 设已知抛物线 c 的顶点在坐标原点 焦点为 f 1 0 直线 l 与抛物线 c 相交于 a b 两点 若 ab 的中点为 2 2 则直线 的方程为 解析 2 11 112212 2 22 22 12 1212 1212 4 4 4 41 yx a x yb xyxx yx yy yyxx xxyy 则有 两式相减得 直线l 的方程为y 2 x 2 即y x 抛物线的方程为 2 4yx 答案 答案 y x 23 2009 陕西卷文 过原点且倾斜角为60 的直线被圆学 22 40 xyy 所截得的弦长为 25 a 3 b 2 c 6 d 2 3 答案 d 解析 22 2 4xxy 直线方程y 3 圆的标准方程 圆心 0 2 到直线的距离 22 302 1 3 1 d 由垂径定 理知所求弦长为 22 2 212 3d 故选 d 24 2009 天津卷理 设抛物线 2 y 2x 的焦点为 f 过点 m 3 0 的直线与抛物线相交于 a b 两点 与抛物线的 准线相交于 c bf 2 则 bcf 与 acf 的面积之比 bcf acf s s a 4 5 b 2 3 c 4 7 d 1 2 解析 由题知 12 12 2 1 2 1 a b a b acf bcf x x x x ac bc s s 又3 2 3 2 2 1 bbb yxxbf 由 a b m 三点共线有 bm bm am am xx yy xx yy 即 2 3 3 30 3 20 a a x x 故2 a x 5 4 14 13 12 12 a b acf bcf x x s s 故选择故选择 a 25 2009 四川卷理 已知双曲线 22 2 1 0 2 xy b b 的左右焦点分别为 12 f f 其一条渐近线方程为yx 点 0 3 py在该双曲线上 则 12 pfpf a 12 b 2 c 0 d 4 解析 由题知2 2 b 故 0 2 0 2 123 210 ffy 0143 1 32 1 32 21 pfpf 故选择选择 c c 解析 2 根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程 22 1 22 xy 则左 右焦点坐标分别为 12 2 0 2 0 ff 再将点 0 3 py代入方程可求出 3 1 p 则可得 12 0pf pf 故选 c 28 2009 四川卷理 已知直线 1 4 360lxy 和直线 2 1lx 抛物线 2 4yx 上一动点p到直线 1 l和直线 2 l的 距离之和的最小值是 a 2 b 3 c 11 5 d 37 16 解析 直线 2 1lx 为抛物线 2 4yx 的准线 由抛物线的定义知 p 到 2 l的距离等于 6 4 2 2 4 6 10 5510 x 0 5 f 0 51 0 00 h x 2 x 3 g y 1 2 f y y2 2 a b f c p 到抛物线的焦点 0 1 f的距离 故本题化为在抛物线 2 4yx 上找一个点p使得p到点 0 1 f和直线 2 l的距离之和 最小 最小值为 0 1 f到直线 1 4 360lxy 的距离 即2 5 604 min d 故选择 a 解析 2 如图 由题意可知 22 3 1 06 2 34 d 26 2009 宁夏海南卷文 已知圆 1 c 2 1 x 2 1 y 1 圆 2 c与圆 1 c关于直线10 xy 对称 则圆 2 c的方程 为 a 2 2 x 2 2 y 1 b 2 2 x 2 2 y 1 c 2 2 x 2 2 y 1 d 2 2 x 2 2 y 1 解析 设圆 2 c的圆心为 a b 则依题意 11 10 22 1 1 1 ab b a 解得 2 2 a b 对称圆的半径不变 为 1 故选故选 b 27 2009 福建卷文 若双曲线 22 22 1 3 xy ao a 的离心率为 2 则a等于 a 2 b 3 c 3 2 d 1 解析 解析 由 222 2 3 12 3 xya aa c 可知虚轴b 3 而离心率e a 解得 a 1 或 a 3 应选应选 d 28 2009 重庆卷理 直线1yx 与圆 22 1xy 的位置关系为 a 相切 b 相交但直线不过圆心 c 直线过圆心d 相离 解析 圆心 0 0 为到直线1yx 即10 xy 的距离 12 22 d 而 2 01 2 选 b 29 2009 重庆卷理 已知以4t 为周期的函数 2 1 1 1 12 1 3 mxx f x xx 其中0m 若方程3 f xx 恰有 5 个实数解 则m的取值范围为 a 15 8 33 b 15 7 3 c 4 8 3 3 d 4 7 3 解析 因为当 1 1 x 时 将函数化为方程 2 2 2 1 0 y xy m 实质上为一个半椭圆 其图像如图所示 同 时在坐标系中作出当 1 3 x 得图像 再根据周期性作出函数其 它部分的图像 由图易知直线 3 x y 与第二个椭圆 2 2 2 4 1 0 y xy m 相交 而与第三个半椭圆 2 2 2 4 1 0 y xy m 无公共点时 方程恰有 5 个实数解 将 3 x y 代入 2 2 2 4 1 0 y xy m 得 2222 91 721350 mxm xm 令 22 9 0 1 8150tm ttxtxt 则 由 22 15 8 4 15 1 0 15 915 0 3 tt ttmmm 得由且得 同样由 3 x y 与第二个椭圆 2 2 2 8 1 0 y xy m 由0 可计算得7m 综上知 15 7 3 m 30 2009 重庆卷文 圆心在y轴上 半径为 1 且过点 1 2 的圆的方程为 a 22 2 1xy b 22 2 1xy c 22 1 3 1xy d 22 3 1xy 解法解法 1 直接法 设圆心坐标为 0 b 则由题意知 2 1 2 1ob 解得2b 故圆的方程为 22 2 1xy 解法解法 2 数形结合法 由作图根据点 1 2 到圆心的距离为 1 易知圆心为 0 2 故圆的方程为 22 2 1xy 解法解法 3 验证法 将点 1 2 代入四个选择支 排除 b d 又由于圆心在y轴上 排除 c 31 2009 年上海卷理 过圆 22 1 1 1c xy 的圆心 作直线分别交 x y 正半轴于点 a b aob 被圆分成 四部分 如图 若这四部分图形面积满足 ssss 则直线 ab 有 a 0 条 b 1 条 c 2 条 d 3 条 解析 由已知 得 iviiiiii ssss 第 ii iv 部分的面积是定值 所以 ivii ss 为定值 即 iiii ss 为定值 当直线 ab 绕着圆心 c 移动时 只可能有一个位置符合题意 即直线 ab 只有一条 故选 b 二 填空题 1 2009 四川卷理 若 22 1 5oxy 与 22 2 20 oxmymr 相交于 a b 两点 且两圆在点 a 处的切 线互相垂直 则线段 ab 的长度是 w 解析 由题知 0 0 0 21 moo 且53 5 m 又 21 aoao 所以有 525 52 5 222 mm 4 5 205 2 ab 2 2009 全国卷 文 若直线m被两平行线 12 10 30lxylxy 与所截得的线段的长为22 则m的倾斜 角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 写出所有正确答案的序号 解析 两平行线间的距离为2 11 13 d 由图知直线m与 1 l的夹角为 o 30 1 l的倾斜角为 o 45 所以直线 m的倾斜角等于 00 754530 o 或 00 153045 o 故填写 或或 3 2009 天津卷理 若圆 22 4xy 与圆 22 260 xyay a 0 的公共弦的长为2 3 则 a 解析 由知 22 260 xyay 的半径为 2 6a 由图可知 222 3 1 6 aa解之得1 a 4 2009 湖北卷文 过原点 o 作圆 x2 y2 6x 8y 20 0 的两条切线 设切点分别为 p q 则线段 pq 的长为 解析 可得圆方程是 22 3 4 5xy 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4pq 5 2009 重庆卷文 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 fcf c 若椭圆上存在一点p使 1221 sinsin ac pffpf f 则该椭圆的离心率的取值范围为 解法 1 因为在 12 pff 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin pfpf pffpf f 则由已知 得 1211 ac pfpf 即 12 apfcpf 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 pfaex pfaex 则 00 a aexc aex 记得 0 1 1 a caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得2121 0 1 eee 或 又 故椭圆的离心率 21 1 e 解法 2 由解析 1 知 12 c pfpf a 由椭圆的定义知 2 12222 2 22 ca pfpfapfpfapf aca 则即 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 20 a pfacaccca ca 则既所以 2 210 ee 以下同解析 1 6 2009 重庆卷理 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 fcf c 若双曲线上存在一 点p使 12 21 sin sin pffa pf fc 则该双曲线的离心率的取值范围是 解法 1 因为在 12 pff 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin pfpf pffpf f 则由已知 得 1211 ac pfpf 即 12 apfcpf 且知点 p 在双曲线的右支上 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 pfaex pfexa 则 00 a aexc exa 解得 0 1 1 a caa e x e cae e 由双曲线的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得2121 1 ee 又 故椭圆的离心率 1 21 e 解法 2 由解析 1 知 12 c pfpf a 由双曲线的定义知 2 12222 2 22 ca pfpfapfpfapf aca 则即 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 20 a pfcacacaca ca 则既所以 2 210 ee 以下同解析 1 7 2009 北京文 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 f f 点 p 在椭圆上 若 1 4pf 则 2 pf 12 fpf 的大 小为 w 解析解析 u c o m本题主要考查椭圆的定义 焦点 长轴 短轴 焦距之间的关系以及余弦定理 属于基础知识 基本运算的 考查 22 9 3ab 22 927cab 12 2 7ff 又 112 4 26pfpfpfa 2 2pf 又由余弦定理 得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 fpf 12 120fpf 故应填2 120 8 2009 北京理 设 f x是偶函数 若曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线的斜率为 1 则该曲线在 1 1 f 处的 切线的斜率为 解析解析 本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念 属于基础知识 基本运算 的考查 取 2 f xx 如图 采用数形结合法 易得该曲线在 1 1 f 处的切线的斜率为1 故应填1 9 2009 北京理 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 f f 点p在 椭圆上 若 1 4pf 则 2 pf 12 fpf 的小大为 解析解析 22 9 3ab 22 927cab 12 2 7ff 又 112 4 26pfpfpfa 2 2pf 又由余弦定理 得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 fpf 12 120fpf 故应填2 120 10 2009 江苏卷 如图 在平面直角坐标系xoy中 1212 a a b b为椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的四个顶点 f为其 右焦点 直线 12 ab与直线 1 b f相交于点 t 线段ot与椭圆的交点m恰为线段ot的中点 则该椭圆的离心率为 解析 考查椭圆的基本性质 如顶点 焦点坐标 离心率的计算等 以及直线的方程 直线 12 ab的方程为 1 xy ab 直线 1 b f的方程为 1 xy cb 二者联立解得 2 acb ac t acac 则 2 acb ac m acac 在椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上 22 222 22 1 1030 1030 4 cac cacaee acac 解得 2 75e 11 2009 全国卷 文 已知圆 o 5 22 yx和点 a 1 2 则过 a 且与圆 o 相切的直线与两坐标轴围成的三角形 的面积等于 解析 解析 由题意可直接求出切线方程为 y 2 2 1 x 1 即 x 2y 5 0 从而求出在两坐标轴上的截距分别是 5 和 2 5 所以 所求面积为 4 25 5 2 5 2 1 12 2009 广东卷 理 巳知椭圆g的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 3 2 且g上一点到g的两个焦点 的距离之和为 12 则椭圆g的方程为 解析 2 3 e 122 a 6 a 3 b 则所求椭圆方程为1 936 22 yx 13 2009 年广东卷文 以点 2 1 为圆心且与直线6xy 相切的圆的方程是 第 11 题解答图 答案 22 25 2 1 2 xy 解析 将直线6xy 化为60 xy 圆的半径 2 1 6 5 1 12 r 所以圆的方程为 22 25 2 1 2 xy w w w k s 5 u c o m 14 2009 天津卷文 若圆4 22 yx与圆 0 062 22 aayyx的公共弦长为32 则 a 解析 由已知 两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 a y 1 利用圆心 0 0 到直线的距离 d 1 1 a 为132 2 2 解得 a 1 15 2009 四川卷文 抛物线 2 4yx 的焦点到准线的距离是 解析解析 焦点f 1 0 准线方程1 x 焦点到准线的距离是 2 16 2009 湖南卷文 过双曲线 c 22 22 1 xy ab 0 0 ab 的一个焦点作圆 222 xya 的两条切线 切点分别为 a b 若120aob o 是坐标原点 则双曲线线 c 的离心率为 2 解 12060302aobaofafoca 2 c e a 17 2009 福建卷理 过抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 f 作倾斜角为45 的直线交抛物线于 a b 两点 若线段 ab 的 长为 8 则p 解析 由题意可知过焦点的直线方程为 2 p yx 联立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx 又 2 22 1 1 3 482 4 p abpp 18 2009 辽宁卷理 以知 f 是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点 1 4 ap是双曲线右支上的动点 则pfpa 的最小 值为 解析 注意到 p 点在双曲线的两只之间 且双曲线右焦点为 f 4 0 于是由双曲线性质 pf pf 2a 4 而 pa pf af 5 两式相加得 pf pa 9 当且仅当 a p f 三点共线时等号成立 答案 9 19 2009 四川卷文 抛物线 2 4yx 的焦点到准线的距离是 解析解析 焦点f 1 0 准线方程1 x 焦点到准线的距离是 2 20 2009 宁夏海南卷文 已知抛物线 c 的顶点坐标为原点 焦点在 x 轴上 直线 y x 与抛物线 c 交于 a b 两点 若 2 2p为ab的中点 则抛物线 c 的方程为 解析 设抛物线为 y2 kx 与 y x 联立方程组 消去 y 得 x2 kx 0 21 xx k 2 2 故 2 4yx 21 2009 湖南卷理 已知以双曲线 c 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中 有一个内角为 60 o 则双曲线 c 的离心率为 解析 连虚轴一个端点 一个焦点及原点的三角形 由条件知 这个三角形的两边直角分别是 b c b是虚半轴长 c是焦半距 且一个内角是30 即得tan30 b c 所以3cb 所以2ab 离心率 36 22 c e a 22 2009 年上海卷理 已知 1 f 2 f是椭圆1 2 2 2 2 b y a x c a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上一点 且 21 pfpf 若 21f pf 的面积为 9 则b 解析 依题意 有 22 2 2 1 21 21 4 18 2 cpfpf pfpf apfpf 可得 4c2 36 4a2 即 a2 c2 9 故有 b 3 三 解答题 1 2009 年广东卷文 本小题满分 14 分 已知椭圆 g 的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 2 3 两个焦点分别为 1 f和 2 f 椭圆 g 上一点到 1 f和 2 f的距离之 和为 12 圆 k c 02142 22 ykxyx rk 的圆心为点 k a 1 求椭圆 g 的方程 2 求 21f fak 的面积 3 问是否存在圆 k c包围椭圆 g 请说明理由 解析 1 设椭圆 g 的方程为 22 22 1 xy ab 0ab 半焦距为 c 则 212 3 2 a c a 解得 6 3 3 a c 222 36279bac 所求椭圆 g 的方程为 22 1 369 xy w w w k s 5 u c o m 2 点 k a的坐标为 2k 1 2 12 11 26 326 3 22 k a f f sff v 3 若0k 由 22 60120215 120kk f可知点 6 0 在圆 k c外 若0k 由 22 6 0120215 120kk f可知点 6 0 在圆 k c外 不论 k 为何值圆 k c都不能包围椭圆 g 2 2009 全国卷 理 本小题满分 12 分 如图 已知抛物线 2 e yx 与圆 222 4 0 mxyrr 相交于a b c d四个点 i 求r得取值范围 ii 当四边形abcd的面积最大时 求对角线ac bd的交点p坐标 分析 分析 i 这一问学生易下手 将抛物线 2 e yx 与圆 222 4 0 mxyrr 的方程联立 消去 2 y 整理得 22 7160 xxr 抛物线 2 e yx 与圆 222 4 0 mxyrr 相交于a b c d四个点的充要条件是 方程 有 两个不相等的正根即可 易得 15 4 2 r 利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以 ii 考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标 因此利用设而不求 整体代入的 方法处理本小题是一个 较好的切入点 设四个交点的坐标分别为 11 a xx 11 b xx 22 c xx 22 d xx 则由 i 根据韦达定理有 2 1212 7 16xxx xr 15 4 2 r 则 21122112 1 2 2 sxxxxxxxx 2222 12121212 4 2 72 16 415 sxxx xxxx xrr 令 2 16rt 则 22 72 72 stt 下面求 2 s的最大值 方法一 利用三次均值求解 三次均值目前在两纲中虽不要求 但在处理一些最值问题有时很方便 它的主要手段是 配凑系数或常数 但要注意取等号的条件 这和二次均值类似 22 1 72 72 72 72 144 2 sttttt 33 1 7272144128 2323 ttt 当且仅当72144tt 即 7 6 t 时取最大值 经检验此时 15 4 2 r 满足题意 方法二 利用求导处理 这是命题人的意图 具体解法略 下面来处理点p的坐标 设点p的坐标为 0 p p x 由apc 三点共线 则 121 121p xxx xxxx 得 12 7 6 p xx xt 3 2009 浙江理 本题满分 15 分 已知椭圆 1 c 22 22 1 0 yx ab ab 的右顶点为 1 0 a 过 1 c的焦点且垂直 长轴的弦长为1 i 求椭圆 1 c的方程 ii 设点p在抛物线 2 c 2 yxh h r上 2 c在点p处 的切线与 1 c交于点 m n 当线段ap的中点与mn的中 点的横坐标相等时 求h的最小值 解析 i 由题意得 2 1 2 121 b a b b a 所求的椭圆方程为 2 2 1 4 y x w w w k s 5 u c o m ii 不妨设 2 1122 m x yn xyp t th 则抛物线 2 c在点 p 处的切线斜率为2 x t yt 直线 mn 的方程为 2 2ytxth 将上式代入椭圆 1 c的方程中 得 222 4 2 40 xtxth 即 22222 4 14 40txt th xth 因为直线 mn 与椭圆 1 c有两个不同的交点 所以有 422 1 162 2 40thth 设线段 mn 的中点的横坐标是 3 x 则 2 12 3 2 22 1 xxt th x t w w w k s 5 u c o m 设线段 pa 的中点的横坐标是 4 x 则 4 1 2 t x 由题意得 34 xx 即有 2 1 10th t 其中的 2 2 1 40 1hh 或3h 当3h 时有 2 20 40hh 因此不等式 422 1 162 2 40thth 不成立 因此1h 当 1h 时代入方程 2 1 10th t 得1t 将1 1ht 代入不等式 422 1 162 2 40thth 成立 因此h的最小值为 1 4 2009 浙江文 本题满分 15 分 已知抛物线c 2 2 0 xpy p 上一点 4 a m到其焦点的距离为 17 4 i 求p与m的值 ii 设抛物线c上一点p的横坐标为 0 t t 过p的直线交c于另一点q 交x轴于点m 过点q作pq的 垂线交c于另一点n 若mn是c的切线 求t的最小值 解析 由抛物线方程得其准线方程 2 p y 根据抛物线定义 点 4 ma到焦点的距离等于它到准线的距离 即 4 17 2 4 p 解得 2 1 p 抛物线方程为 yx 2 将 4 ma代入抛物线方程 解得2 m 由题意知 过点 2 ttp的直线pq斜率存在且不为 0 设其为k 则 2 txktylpq 当 0 2 k ktt xy 则 0 2 k ktt m 联立方程 yx txkty 2 2 整理得 0 2 tktkxx 即 0 tkxtx 解得 tx 或tkx 2 tktkq 而qpqn 直线nq斜率为 k 1 w w w k s 5 u c o m 1 2 tkx k tkylnq 联立方程 yx tkx k tky 2 2 1 整理得 0 11 22 tktk k x k x 即 0 1 2 tkktkxkx 0 1 tkxtkkkx 解得 k tkk x 1 或tkx 1 1 2 2 k tkk k tkk n 1 1 1 1 22 22 2 2 2 ktk ktk k ktt k tkk k tkk knm 而抛物线在点 n 处切线斜率 k tkk yk k tkk x 2 2 1 切 mn 是抛物线的切线 k tkk ktk ktk2 2 1 1 22 22 整理得021 22 ttkk 0 21 4 22 tt 解得 3 2 t 舍去 或 3 2 t 3 2 min t 5 2009 北京文 本小题共 14 分 w w w k s 5 u c o m 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy cab ab 的离心率为3 右准线方程为 3 3 x 求双曲线 c 的方程 已知直线0 xym 与双曲线 c 交于不同的两点 a b 且线段 ab 的中点在圆 22 5xy 上 求 m 的值 解析解析 由题意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 222 2bca 所求双曲线c的方程为 2 2 1 2 y x 设 a b 两点的坐标分别为 1122 x yxy 线段 ab 的中点为 00 m xy 由 2 2 1 2 0 y x xym 得 22 220 xmxm 判别式0 12 000 2 2 xx xm yxmm 点 00 m xy在圆 22 5xy 上 2 2 25mm 1m 6 2009 江苏卷 本题满分 10 分 在平面直角坐标系xoy中 抛物线 c 的顶点在原点 经过点 a 2 2 其焦点 f 在x轴上 1 求抛物线 c 的标准方程 2 求过点 f 且与直线 oa 垂直的直线的方程 3 设过点 0 0 m mm 的直线交抛物线 c 于 d e 两点 me 2dm 记 d 和 e 两点间的距离为 f m 求 f m关于m的表达式 7 2009 北京理 本小题共 14 分 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy cab ab 的离心率为3 右准线方程为 3 3 x 求双曲线c的方程 设直线l是圆 22 2o xy 上动点 0000 0 p xyx y 处的切线 l与双曲线c交 于不同的两点 a b 证明aob 的大小为定值 解法解法 1 1 由题意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 222 2bca 所求双曲线c的方程为 2 2 1 2 y x 点 0000 0p xyx y 在圆 22 2xy 上 圆在点 00 p xy处的切线方程为 0 00 0 x yyxx y 化简得 00 2x xy y 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy 得 222 000 344820 xxx xx 切线l与双曲线 c 交于不同的两点 a b 且 2 0 02x 2 0 340 x 且 222 000 164 34820 xxx 设 a b 两点的坐标分别为 1122 x yxy 则 2 00 1212 22 00 482 3434 xx xxx x xx cos oa ob aob oa ob 且 1212120102 2 0 1 22oa obx xy yx xx xx x y 2 12012012 2 0 1 42 2 x xxxxx x x x 22 22 00 00 2222 0000 82 8281 4 3423434 xx xx xxxx 22 00 22 00 8282 0 3434 xx xx aob 的大小为90 解法解法 2 2 点 0000 0p xyx y 在圆 22 2xy 上 圆在点 00 p xy处的切线方程为 0 00 0 x yyxx y 化简得 00 2x xy y 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy 得 222 000 344820 xxx xx 222 000 348820 xyy xx 切线l与双曲线 c 交于不同的两点 a b 且 2 0 02x 2 0 340 x 设 a b 两点的坐标分别为 1122 x yxy 则 22 00 1212 22 00 8228 3434 xx x xy y xx 1212 0oa obx xy y aob 的大小为90 22 00 2xy 且 00 0 x y 22 00 02 02xy 从而当 2 0 340 x 时 方程 和方程 的判 别式均大于零 8 2009 山东卷理 本小题满分 14 分 设椭圆 e 22 22 1 xy ab a b 0 过 m 2 2 n 6 1 两点 o 为坐标原点 i 求椭圆 e 的方程 ii 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 e 恒有两个交点 a b 且oaob 若存在 写出该圆 的方程 并求 ab 的取值范围 若不存在说明理由 解 1 因为椭圆 e 22 22 1 xy ab a b 0 过 m 2 2 n 6 1 两点 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 e 的方程为 22 1 84 xy 2 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 e 恒有两个交点 a b 且oaob 设该圆的切线 方程为ykxm 解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2 8xkxm 即 222 12 4280kxkmxm w w w k s 5 u c o m 则 222222 164 12 28 8 84 0k mkmkm 即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 222222 222 12121212 222 28 48 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使oaob 需使 1212 0 x xy y 即 222 22 288 0 1212 mmk kk 所以 22 3880mk 所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km 2 2 2 38 m m 所以 2 8 3 m 即 2 6 3 m 或 2 6 3 m 直线ykxm 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 2 1 m r k 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 2 6 3 r 所求的圆为 22 8 3 xy 此时圆的切线ykxm 都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m 而当切线的斜率不存 在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 满足oaob 综上 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆 e 恒有两个交点 a b 且oaob 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 所以 222 222 121212 2222 4288 84 4 4 1212 12 kmmkm xxxxx x kkk 22 2 2222 121212 22 8 84 1 1 12 km abxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk 当0k 时 2 2 321 1 1 3 44 ab k k 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k 所以 2 2 32321 1 12 1 33 44k k 所以 4 6 2 3 3 ab 当且仅当 2 2 k 时取 w w w k s 5 u c o m 当0k 时 4 6 3 ab 当 ab 的斜率不存在时 两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 所以此时 4 6 3 ab 综上 ab 的取值范围为 4 6 2 3 3 ab 即 4 6 2 3 3 ab 9 2009 山东卷文 本小题满分 14 分 设mr 在平面直角坐标系中 已知向量 1 amx y 向量 1 bx y ab 动点 m x y的轨迹为 e 1 求轨迹 e 的方程 并说明该方程所表示曲线的形状 w w w k s 5 u c o m 2 已知 4 1 m 证明 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与轨迹 e 恒有两个交点 a b 且oaob o 为坐 标原点 并求出该圆的方程 3 已知 4 1 m 设直线l与圆 c 222 xyr 1 r 2 相切于 a1 且l与轨迹 e 只有一个公共点 b1 当 r 为何值时 a1b1 取 得最大值 并求最大值 解 1 因为ab 1 amx y 1 bx y 所以 22 10a bmxy 即 22 1mxy w w w k s 5 u c o m 当 m 0 时 方程表示两直线 方程为1 y 当1m 时 方程表示的是圆 当0 m且1 m时 方程表示的是椭圆 当0 m时 方程表示的是双曲线 2 当 4 1 m时 轨迹 e 的方程为 2 2 1 4 x y 设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt 解方程组 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4 4xkxt 即 222 14 8440kxktxt 要使切线与轨迹 e 恒有两个交点 a b 则使 2 22222 6416 14 1 16 41 0k tktkt 即 22 410kt 即 22 41tk 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 44 84 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk 要使oaob 需使 1212 0 x xy y 即 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk 所以 22 5440tk 即 22 544tk 且 22 41tk 即 22 44205kk 恒成立 所以又因为直线ykxt 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 2 1 t r k 2 2 2 22 4 1 4 5 115 k t r kk 所求的圆为 22 4 5 xy 当切线的斜率不存在时 切线为5 5 2 x 与 2 2 1 4 x y 交于点 5 5 2 5 5 2 或 5 5 2 5 5 2 也满足oaob 综上 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆 e 恒有两个交点