2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.1.3两角和与差的正切公式学案新人教A版必修第一册.docx

第3课时两角和与差的正切公式1能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式2能灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用两角和与差的正切公式公式简记符号使用条件tan()T()，k(kZ)tan()T()，k(kZ)温馨提示：在应用两角和与差的正切公式时，只要tan，tan，tan()(或tan()中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题如化简tan，因为tan的值不存在，所以不能利用公式T()进行化简，应改用诱导公式来化简，即tan.判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)tantan，tantan，tan()三者知二可表示或求出第三个()(2)tan能根据公式tan()直接展开()(3)存在，R，使tan()tantan成立()答案(1)(2)(3)题型一正切公式的正用【典例1】(1)求值：tan(75)；(2)已知cos，(0，)，tan()，求tan.思路导引(1)754530，利用两角和的正切公式求解；(2)由已知可求得sin的值，则可求得tan，因为()，所以tantan()，再利用两角差的正切公式求解解(1)tan75tan(4530)2，tan(75)tan752.(2)cos0，(0，)，sin0.sin，tan.tantan().变式本例(2)中，其他条件不变，求tan(2)解tan(2)tan()2.(1)利用公式T()求角的步骤：计算待求角的正切值缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息根据角的范围及三角函数值确定角(2)注意用已知角来表示未知角针对训练1已知tan2，tan，其中0，.求：(1)tan()；(2)的值解(1)因为tan2，tan，所以tan()7.(2)因为tan()1，又因为0，所以，所以.题型二正切公式的逆用【典例2】求值：(1)；(2).思路导引(1)逆用两角和的正切公式；(2)将换成tan60，再逆用两角差的正切公式解(1)原式tan(7476)tan150.(2)原式tan(6015)tan451.化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”、“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1tan”，“tan”，这样可以构造出公式的形式，从而可以进行化简和求值针对训练2求值：(1)；(2).解(1)原式tan(4575)tan(30)tan30.(2)原式.题型三正切公式的变形应用【典例3】(1)化简：tan23tan37tan23tan37；(2)若锐角，满足(1tan)(1tan)4，求的值思路导引(1)利用233760及两角和的正切公式将tan(2337)展开变形即可求解；(2)将所给关系式的左边展开，逆用两角和的正切公式求出tan()解(1)解法一：tan23tan37tan23tan37tan(2337)(1tan23tan37)tan23tan37tan60(1tan23tan37)tan23tan37.解法二：tan(2337)，tan23tan37tan23tan37，tan23tan37tan23tan37.(2)(1tan)(1tan)1(tantan)3tantan4，tantan(1tantan)，tan().又，均为锐角，0180，60.T()可变形为如下形式：tantantan()(1tantan)或1tantan.当为特殊角时，常考虑使用变形，遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形.针对训练3在ABC中，tanAtanBtanAtanB，则C等于()A. B. C. D.解析因为tan(AB)，故tan(AB)；根据题意可知，tanAtanBtanAtanB0，故tan(AB)0，因为CAB，故tan(AB)tanC，所以tanC，因为在三角形中0C，故C.故选A.答案A课堂归纳小结1.公式T()的适用范围由正切函数的定义可知、(或)的终边不能落在y轴上，即不为k(kZ)2公式T()的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan1，tan，tan等.要特别注意tan，tan.3公式T()的变形应用只要见到tantan，tantan时，要有灵活应用公式T()的意识，就不难想到解题思路.1若tan3，tan，则tan()等于()A.BC3 D3解析tan().答案A2已知，sin，则tan()A.B7CD7解析sincostan.tan.答案A3._.解析tan60.答案4tan19tan26tan19tan26_.解析tan45tan(1926)1.所以tan19tan261tan19tan26，则tan19tan26tan19tan261tan19tan26tan19tan261.答案15若3，tan()2，则tan(2)_.解析3，tan2.又tan()2，tan(2)tan()tan().答案课后作业(五十)复习巩固一、选择题1设sin，tan()，则tan()的值为()A B C D解析sin，tan.tan()，tan.tan().答案C2.的值等于()A1 B1 C. D解析因为tan60tan(1050)，所以tan10tan50tan60tan60tan10tan50.所以原式.答案D3已知tan()，tan，那么tan等于()A. B. C. D.解析tantan.答案C4若，则(1tan)(1tan)的值为()A. B1 C. D2解析tantantan()(1tantan)tan(1tantan)tantan1，(1tan)(1tan)1tantan(tantan)2.答案D5已知tan，tan是方程x23x40的两根，且，则的值为()A.BC.或D或解析由一元二次方程根与系数的关系得tantan3，tantan4，tan0，tan0.tan().又，且tan0，tan0，0，.答案B二、填空题6._.解析.答案7tan70tan50tan50tan70_.解析tan70tan50tan120(1tan50tan70)tan50tan70，原式tan50tan70tan50tan70.答案8.如下图，在ABC中，ADBC，D为垂足，AD在ABC的外部，且BDCDAD236，则tanBAC_.解析不妨设BD2，CD3，AD6，则tanABD3，tanACD2，又BACABDACD，tanBAC.答案三、解答题9已知tan，tan2，求：(1)tan的值；(2)tan()的值解(1)tantan.(2)tan()tan23.10已知tan()，tan，(0，)，求2的值解tantan()，又(0，)，所以.tan(2)tan()1，而tan，(0，)，所以，所以2(，0)，2.综合运用11已知tan和tan是方程ax2bxc0的两根，则a，b，c的关系是()AbacB2bacCcabDcab解析由根与系数的关系得：tantan，tantan.tan1，得cab.答案C12(1tan1)(1tan2)(1tan44)(1tan45)的值为()A222 B223 C224 D225解析(1tan1)(1tan44)1tan1tan44tan1tan441tan(144)(1tan1tan44)tan1tan4411tan1tan44tan1tan442，同理(1tan2)(1tan43)(1tan3)(1tan42)(1tan22)(1tan23)2又1tan452原式223.故选B.答案B13已知为锐角，且tan()3，tan()2，则等于_解析因为tan2tan()()1.又因为为锐角，2(0，)所以2，.答案14如果tan，tan是方程x23x30的两根，则_.解析