二重积分的反常积分.doc

I 目目 录录 1 引言引言 1 2 无无界界区区域域上上的的二二重重积积分分 1 2 1 定义 1 2 2收敛的判定 1 D f x y d 2 3B函数与 函数的联系 3 3 无无界界函函数数的的二二重重积积分分 8 3 1 定义 8 3 2 判定定理 8 3 3 无界函数计算 8 参参考考文文献献 10 致致谢谢 11 II 二重积分的反常积分 数数学学系系本本 0 06 60 01 1 班班 魏魏慧慧 指指导导教教师师 梁梁素素萍萍 摘摘 要要 本文探究了二重积分中的两种反常积分 即无界区域上的二重积分和 无界函数的二重积分 分别从定义及其判别法两个方面研究了关于二重反常积分的敛 散性 同时还计算了泊松 Poisson 积分 并用其 证明了 B 函数与 函数的关系 式 鲜明地反映反常二重积分在证明某些题目时的优越性 关键词关键词 二重积分 反常 广义 Double integral of the improper integral Name Wei Hui Class0601 Mathematics Department Tutor Liang Suping Abstract This paper discusses the double integral of the two kinds of abnormal points namely the unbounded regional double and unbounded function the double integral respectively from two aspects of definition and research method about double abnormal integral convergence also calculated pine Poisson tabor and its proof function with the B function equation vividly reflected abnormal double to prove some questions in the superiority Key words Double integral Abnormal Generalized 1 1 引言 与定积分相同 我们也可以把 二重积分 推广到积分区域是无界的 和被积函数是无界的两种情形 统称为反常二重积分 2 无界区域上的二重积分 2 2 1 1 定定义义 反常二重积分是数学分析中的一个重要内容 用它来计算泊松 Poisson 积 分 或是用它来证明 B 函数与 函数的关系式 都是十分简捷的 在概率 统计 数理方程等学科中 反常二重积分也被广泛的引用 所以 对反常二重积分 给出一个严格 明确而又易于运用的定义 是十分有益的 定义 1 为定义在无界区域上的二元函数 若对于平面上任 f x yD 一包围原点的光滑封闭曲线 在曲线所围的有界区域 与 f x y E 的交集 上二重可积 令 若存DE DD d min 22 xyx y 在有限极限 lim d DD Jf x y df x y d 且与的取法无关 则称在上的反常二重积分收敛 并记 f x yD 1 lim d DD Jf x y df x y d 否则称在上的反常二重积分发散 或简称发散 f x yD D f x y d 2 x y O E D D 2 2 2 2 收收敛敛的的判判定定 D f x y d 定理 1 设在无界区域上 为一列包围原点D 0f x y 12 n 的光滑封闭曲线序列 满足 i 22 inf nn dxyx yn ii sup n n D If x y d 其中 为所围的有界区域 这时反常二重积分 1 必定收 nn DED n E n 敛 并且 D f x y dI 证 设为任何包围原点的光滑封闭曲线 它所围成的区域记为 并记 E 因为 因此存在 n 使得 由于 DED lim n x d n DDD 所以有 0f x y n DD f x y df x y dI 另一方面 因为 sup n n D If x y d 故对任给的 总有 使得0 0 n 0 n D f x y dI 因而对于充分大的 有 0 n DD D f x y dI 3 再由 D If x y dI 可知反常二重积分 存在 且等于 D f x y d I 由定理 1 的证明容易看到有以下定理 定理 2 若在无界区域上 则反常二重积分 1 收敛的充要条D 0f x y 件是 在的任何有界子区域上可积 且积分值有上界 D f x y 例 1 计算广义积分 22 2 xy R ed 解 对广义积分 取圆 则 22 2 xy R ed a D 222 xya 222 1 a xya D ede 显然时 因此有a 2 a DR 22 2 xy R ed 22 limlim a xy aa D ed 2 1 a e 例 2 利用 计算 22 2 xy R ed 2 x edx 解 对广义积分 若选择正方形方式扩展 取 22 2 xy R ed l D xl 则 yl de l D yx 22 dyedx l l yx l l 22 dxdyee l l yx l l 22 dxdyee l l yx l l 22 dxedye l l x l l y 22 2 2 dxe l l x 显然当时有 因此有l 2 l DR dede l D yx l yx R 22 2 22 lim 2 lim 2 dxe l l x l 2 2 dxe x 4 由此得到 dxe x2 注 事实上概率论中很重要的泊松积分的计算有更为简便的算法 2 x edx 因的原函数不能用初等函数表示 故用一元广义积分的方法不能求出 2 x e 该积分的值 但 2 x Iedx 2 y edx 2222 2xyxy Iedxedxedxdy 2 x Iedx 若在泊松积分中令 则 2 x edx 1 2 xy 2 2 1 2 x edx 2 2 1 1 2 x edx 而此式中的被积函数是统计学中常用的标准正态分布的密度 2 2 1 2 x xe 函数 小结 在计算反常二重积分时 一般选择有利于计算的特殊区域 如圆 矩形等 扩展方式 讨论相应极限的存在性 2 3函数与函数与函数的联系函数的联系B 证明 若 则0 0pq pq B p q pq 证 对于函数 令 则 2 xu 2dxudu 于是 2 121 00 2 pxpu pxe dxuedu 从而 22 2121 00 4 pxqy pqxedxyedy 22 2121 00 lim4 RR pxqy R xedxyedy 5 令 由二重积分化为累次积分的计算公式 有 0 0 R DRR 22 2121 R pqxy D xyed 22 2121 00 RR pxqy xedxyedy 所以 22 2121 lim4 R pqxy R D pqxyed 2 22 2121 4 pqxy D xyed 这里 为平面上第一象限 下面讨论 2 式右边的反常二重积分 记 D 222 0 0 r Dx yxyrxy 于是有 22 2121 4 pqxy D pqxyed 22 2121 lim4 r pqxy r D xyed 对上式积分应用极坐标变换 则得 2 2 22121 2 00 lim4cossin r p qpqr r pqdrerdr 2 21212 2 2 00 lim2cossin2 r pqp qr r drerdr 2121 2 0 2cossin pq dpq 又 2121 2 0 2sincos qp B p qd pqB p qpq 定理 3 比较判别法 设是平面中无界区域 D 2 R 是上的函数 在的任何有界可求面积的子区域上 f x y g x yDD 可积 并且 那么0 f x yg x y 1 当 收敛时 收敛时 D g x y dxdy D f x y dxdy 2 当发散时 发散时 D f x y dxdy D g x y dxdy 例 3 设 讨论0 mx yM 6 的敛散性 22 01 1 p y x y dxdy xy 解 为无限带状区域 01y 222222 1 1 1 ppp mx yM xyxyxy 所以原积分与积分同时敛散 22 01 1 1 p y dxdy xy 而后者当时明显发散 下面只需讨论的情况 0p 0p 因时01y 2222 111 0 2 1 1 ppp xxyx 在上取积分 并令 可知 0 1A A A 2222 01 2 1 1 ppp y dxdxdydx xxyx 此式对于极限为有限数或正无穷都是对的 由此可知 时积分收敛 1 2 p 从左边看 知时积分发散 总之 原积分当且仅当时收敛 1 2 p 1 2 p 定理 4 设是平面中无界区域 在上的可积函数的充分必D 2 R yxf D 要条件是在上的可积 yxfD 证明 充分性 设 在上的可积 令 f x yD 0 0 0 yxf yxfyxf yxf 0 0 0 yxf yxfyxf yxf 显然 所以在上的可积 故 0yxfyxf yxf D 也在上的可积 yxf yxf yxf D 必要性 用反证法 设在上的可积 但 f x yD f x y yxf 7 在上的不可积 即和至少有一个不可积 不妨设 yxf D yxf yxf 不可积 那么对任意正数 存在一条曲线 它从割出有界的 yxf KD 满足 一般地 由归纳可得 存在一族分段光滑曲D D Kdxdyyxf 线 它们将分割出有界子区域满足 n D 2 1 kDD kk 及 n DDD 21 lim n n d 并且 n 1 2 1 2 nn DD ndxdyyxfdxdyyxf 即 n 1 2 nnn DDD ndxdyyxfdxdyyxf 1 因 在上可积 在上可积 容易得在 yxf D f x y nn DD 1 yxf 上可积 其 Darboux 小和收敛于 所以 当把 nn DD 1 nn DD dxdyyxf 1 充分细的分划 P nn DD 1 2 1 n s nnn 其面积分别是 2 1 n s nnn 记 有 min i n i n yxyxfm n si 2 1 n s i i n i n m 1 1 1 1 nnn DDD ndxdyyxfdxdyyxf 1 2 n 记为的小区域的并 那么 n P0 i n m n P dxdyyxf n s i i n i n m 1 1 ndxdyyxf n D 1 2 n 令为和的并 n E n D n P nnn DPE dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf 8 nn DP dxdyyxfdxdyyxf nn DP ndxdyyxfdxdyyxf1 1 2 n 如果不是一个连通区域 我们可以作几个长条矩形连接各个不相 n E 交的区域 使得这些长条矩形和原有的所有区域形成连通的区域记为 这些长条矩形的取法 使得n 2 ndxdyyxf n 1 2 n 显然 可以充分大 与在上的可积矛盾 n f x yD 注 对于反常定积分 绝对收敛的反常积分一定收敛 反之不然 而在反常二重积分中 绝对收敛的反常积分一定收敛 反之亦然 出现这种区别的原因 是因为直线上的点是有序的 而在平面上的点 是无序的 定理 5 柯西判别法 设在无界区域的任何有界子区域上可 f x yD 积 中的点到原点的距离为D x y 22 rxy i 若当 r 足够大时 c 为正常数 则当时 反常二 p c f x y r 2p 重积分收敛 D f x y d ii 若在上满足其中包含有以原点为顶点的无限 f x yD p c f x y r D 扇形区域 则当时 反常二重积分发散 2p D f x y d 证 记 则 22 r Dx yDxyr i 因为对任意 1R 11 RR DDDD f x y df x y df x y d 1 2 01 R p D c f x yddrdr r 9 1 2 1 2 2 p D R f x ydc p 1 2 2 D c f x yd p 所以收敛 D f x y d ii 设 其中 DG sin 0 Gx yrcosrr 对任意 1R DG f x ydf x yd 2 1 1 2 2 P R p cR drdrcR rP 因此 发散 D f x y d 3 无界函数的二重积分 3 1 定义定义 定义 2 设为有界区域的一个聚点 在上除点外皆有PD f x yDP 定义 且在 的任何空心邻域内无界 的为中任何含有的小区域 P DP 在上可积 又设 d 表示的直径 若极限 存 f x yD 0 lim d D f x y d 在且有限 并与的取法无关 则称在上的反常二重积分收敛 记作 f x yD 否则称反常积分发散 0 lim d DD f x y df x y d D f x y d 与无界区域的反常二重积分一样 可以对无界函数反常二重积分 也可以建立相应的收敛定理 3 2 判判定定定定理理 定理 6 柯西判别法 设在有界区域上除点外处处 f x yD 00 P xy 有定义 点 P 是它的瑕点 则下面两个结论成立 i 若在点 的附近有 其中 c 为常数 P c f x y r 10 则当时 反常二重积分收敛 22 00 rxxyy 2 D f x y d ii 若在点的附近有且含有以点为顶点的角形区域 则当P a c f x y r DP 时反常二重积分发散 2a D f x y d 3 3 无界函数计算无界函数计算 例 求 22 22 1 1 mxy dxdy xy 解 显然函数是区域上 0 0 可能为奇点 取 那么 222 xy 1 22222 0 2222 11 11 lim mm xyxy dxdydxdy xyxy 21 1 00 1 lim m ddr r 2 0 0 1 2 lim 1 2 2 2 limln 2 m m m m 当时 2m 22 22 1 1 mxy dxdy xy 2 2m 当时 发散 2m 22 22 1 1 mxy dxdy xy 11 参考文献 1 蒋和理 无穷域二重积分优化中心数值算法 J 安徽理工学院学报 1989