等差数列的前n项和

2 2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和 高斯上小学时 有一次数学老师给同学们出了一道题 计算从1到100的自然数之和 那个老师认为 这些孩子算这道题目需要很长时间 所以他一写完题目 就坐到一边看书去了 谁知 他刚坐下 马上就有一个学生举手说 老师 我做完了 老师大吃一惊 原来是班上年纪最小的高斯 老师走到他身边 只见他在笔记本上写着5050 老师看了 不由得暗自称赞 为了鼓励他 老师买了一本数学书送给他 思考 现在如果要你算 你能否用简便的方法来算出它的值呢 100 99 98 2 1 有200根相同的圆木料 要把它们堆成正三角形垛 并使剩余的圆木料尽可能少 那么将剩余多少根圆木料 根据题意 各层圆木料数比上一层多一根 故其构成等差数列 1 2 3 等差数列的前n项和公式 设共摆放了n层 能构成正三角形垛的圆木料数为Sn 则 这是一个等差数列的求和问题 如何计算该等差数列的和呢 而高斯计算的就是当n 100时的和 可见日常生活中经常会遇到这样的求和问题 你能从高斯解决这个问题的过程中悟出求一般等差数列前n项和的方法吗 抽象概括 设Sn是等差数列 an 的前n项和 即 根据等差数列 an 的通项公式 上式可以写成 再把项的次序反过来 Sn又可以写成 把 等号两边分别相加 得 共n个 于是 首项为a1 末项为an 项数为n的等差数列的前n项和 对于本节开头的问题 即转化为求满足 的最大自然数n 易知当n 19时 Sn 190 n 20时 Sn 210 所以n的最大值为19 此时 将堆垛19层 剩余10根圆木料 解由等差数列前n项和公式 得 例7求前n个正奇数的和 例8在我国古代 9是数字之极 代表尊贵之意 所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计 例如 北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成 最高一层的中心是一块天心石 围绕它的第一圈有9块石板 从第二圈开始 每一圈比前一圈多9块 共有9圈 请问 1 第9圈共有多少块石板 2 前9圈一共有多少块石板 解 1 设从第1圈到第9圈石板数所成数列为 an 由题意可知 an 是等差数列 其中a1 9 d 9 n 9 由等差数列的通项公式 得第9圈有石板 2 由等差数列的前n项和公式 得前9圈一共有石板 答第9圈有81块石板 前9圈一共有405块石板 例10在新城大道一侧A处 运来20棵新树苗 一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗 这名工人每次只能运一棵 要栽完这20棵树苗 并返回A处 植树工人共走了多少路程 解植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程 单位 m 组成了一个数列 0 20 40 60 380 这是首项为0 公差为20 项数为20的等差数列 其和 答植树工人共走了3800m路程 例11九江抗洪指挥部接到预报 24h后有一洪峰到达 为确保安全 指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线 经计算 需调用20台同型号翻斗车 平均每辆工作24h后方可筑成第二道防线 但目前只有一辆车投入施工 其余的需从昌九高速公路沿线抽调 每隔20min能有一辆车到达 指挥部最多可调集25辆车 那么在24h内能否构筑成第二道防线 解从第一辆车投入工作算起 各车工作时间 单位 h 依次设为 25辆车可以完成的工作量为 需要完成的工作量为24 20 480 因此 在24h内能构筑成第二道防线 1 根据下列条件 求相应的等差数列 an 的前n项和Sn 2 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔 往上每一层都比它下面一层多放一支 最上面一层放120支 这个V形架上共放着多少支铅笔 解 由题意可知 这个V形架上共放着120层铅笔 且自下而上各层的铅笔数组成等差数列 记为 答