高等数学下册 考点总结

1 第五章第五章 定定积积分分 1 1 定积分基本公式定积分基本公式 aFbFxFdxxf b a b a 其中 xf在 a b 上连续 xF是 xf在 a b 上的一个原函数 b a dxxf a b dxxf a a dxxf 0 2 2 积分上限函数 变上限函数 积分上限函数 变上限函数 设函数 xf在 a b 上连续 并且设 x 为 a b 上的任意一点 则 x a dttfx 称为 积分上限函数 变上限函数 x a xfdttf dx d x 几个重要的求导公式几个重要的求导公式 1 x a xfdttf dx d 2 a x xfdttf dx d 3 xxfdttf dx d x a 4 xxfdttf dx d a x 5 112 2 2 1 xxfxxfdttf dx d x x 3 3 换元法 换元法 1 1 第一类换元法 第一类换元法 dxxxfdxxg b a b a xdxf b a aFbFxF b a 或令 xu 则原式 b a b a uFuduf aFbF 2 2 第 第二类换元法换元法 特别是特别是根式代换法根式代换法 b a dxxf dtttfa b 4 4 分部积分法 分部积分法 b a xdvxu b a xvxu b a xduxv 5 当 xf在 aa 上连续 2 若 xf为偶函数 则 a a a dxxfdxxf 0 2 若 xf为奇函数 则 a a dxxf0 第六章第六章定积分的应用定积分的应用 1 1 平面图形的面积平面图形的面积 1 1 直角坐标的情形 直角坐标的情形 2 2 参数方程的情形 参数方程的情形 曲边梯形的曲边由参数方程 xt yt 给出时 其面积计算公式为 2 1 tb at Aydxtdt 其中t1及t2分别曲线的起点与终点的所对应的参数值 b a dxxfA dyyA b a dxxgxfA dyyyA xfy y O a bx 图 6 1 y yx x O 图 6 3 y xOab xfy xgy 图 6 2 yx yx y xO 图 6 4 3 3 3 极坐标的情形 极坐标的情形 2 2 旋转体的体积旋转体的体积 由曲线 xfy 直线 ax babx 及x轴所围成 的曲边梯形绕x轴旋转一周而成 的旋转体的体积为 2 2 b a b a dxxfdxyV 由曲线 yx 直线 cy dcdy 与y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周 而成的旋转体的体积为 2 2 dd cc Vx dyydy 3 3 平面曲线的弧长 平面曲线的弧长 曲线 L xfy bxa 则 对应的曲线弧长为 11 2 2 b a b a dxxfdxys 曲线 L t ty tx 那么 则对应的曲线弧长为 dttts 22 曲线 L rr 则对应的曲线弧长为 drrs 2 2 dA 2 2 1 dA 2 1 2 1 2 2 y x 图6 7 xfy abO x O 图6 8 yx y c d 2 r 1 r Ox 图 6 6 r xO 图 6 5 4 第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 1 1 向量基本概念向量基本概念 向量的坐标表示式向量的坐标表示式 设 k zyxzyx aaaajaiaa 则 222 zyx aaaa 设有点 22221111 zyxMzyxM 则 12121221 kzzjyyixxMM 两点间的距离 即向量两点间的距离 即向量 21M M的模 的模 为 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxMMd 向量的模向量的模 方向余弦方向余弦 方向角方向角 k zjyixa 222 zyxa 222222222 cos cos cos zyx z zyx y zyx x 其中 是向量a 的方向角 cos cos cos称为a 的方向余弦 2 2 向量的线性运算向量的线性运算 321 a aaa b 321 b bb 则 332211 babababa 321 a a aa 3 3 两向量的数量积两向量的数量积 定义定义 cos bababa 性质性质 22 aaaa a b的充要条件是0 ba 321 a aaa b 321 b bb 则 1 12 23 3 a ba ba ba b 向量与向量的夹角 ba ba ba cos 5 一向量在另一向量上的投影 a ba bP arj b ba aP brj 4 4 两向量的向量积两向量的向量积 sin bababa 且bcac 321 321 kji bbb aaaba a b的充要条件是0 ba 几何意义几何意义 sin bababa 即等于以a b为邻边的平行四边形面积 5 5 平面方程平面方程 1 1 点法式 点法式0 000 zzCyyBxxA 2 2 一般式 一般式0 DCzByAx 平面一般式方程平面一般式方程0 DCzByAx中的某些系数或常数项为零时中的某些系数或常数项为零时 平面图形的特点平面图形的特点 0 D时表示平面过原点 CBA 中有一个为 0 表示与其对应的坐标轴平行 CBA 中有两个为 0 表示与其对应的坐标面平行 3 3 两平面的位置关系 两平面的位置关系 12121212 0A AB BC C 1111 12 2222 ABCD ABCD 1 与 2 重合 1111 2222 ABCD ABCD 其它斜交 4 4 平面与平面的夹角 平面与平面的夹角 6 定义 定义 两平面的夹角 两平面的法向量的夹角 通常指锐角 称为两平面的夹角 设平面 12 的法线向量分别为 1111 nA B C 和 2222 nA B C 那么平面 12 的夹角 应是 12 n n 或 12 n n 因此 cos cos 2 1 nn 按两向量夹角余弦的坐标表示式 平面 12 的夹角 可由下式来确定 1 21 212 12 222222 111222 cos cos AABBCC ABCABC nn 两平面夹角余弦公式 5 5 点到平面的距离公式点到平面的距离公式 222 000 CBA DCzByAx d 6 6 空间直线空间直线 1 1 对称式 点向式 方程 对称式 点向式 方程 p zz n yy m xx 000 2 2 参数式方程 参数式方程 设 000 xxyyzz t mnp 得方程组 0 0 0 xxmt yynt zzpt 直线的参数方程 3 3 一般式方程 一般式方程 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 方向向量 12111 222 ijk snnABC ABC 4 4 直线与直线的夹角 位置关系 直线与直线的夹角 位置关系 两直线的位置关系 两直线的位置关系 121212121212 00LLsss sm mn np p 1 1 n 2 2 n 7 111 121212 222 0 mnp LLssss mnp 定义定义 两直线的方向向量的夹角 通常指锐角 叫做两直线的夹角 直线 1 L 111 111 xxyyzz mnp 直线 2 L 222 222 xxyyzz mnp 其方向向量依次为 11112222 sm n psm np 那么 L1和 L2的夹角 就是 12 s s 或 12 s s 两者中的锐角 因此 12 cos cos s s 根据两向量的夹角的余弦公式 直线 L1和 L2的夹角 可由 121212 1212 222222 111222 cos coscos m mn np p L Ls s mnpmnp 来确定 5 5 平面与直线的夹角 位置关系 平面与直线的夹角 位置关系 定义 定义 当直线与平面不垂直时 直线和它在平面上的投影直线的夹角0 2 称为 直线与平面的夹角 当直线与平面垂直时 规定直线与平面的夹角为 2 设直线 000 xxyyzz L mnp 方向向量 sm n p 平面 0AxByCzD 法线向量为 nA B C 直线与平面的夹角为 那么 2 s n 因此sin cos s n 按两向量夹角余弦的坐标表示式 有 222222 sin AmBnCp ABCmnp 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系 直线L与平面 垂直 ABC sn mnp 直线L与平面 平行0snAmBnCp 直线L在平面 上0AmBnCp 且至少直线L上一点满足 8 0AxByCzD 6 平面束 平面束 设直线L 1111 2222 0 0 Ax B y C z D A x B y C z D 则通过直线L的所有平面 1111122222 0Ax B y C z DA x B y C z D 7 旋转曲面 柱面 8 空间曲线在坐标面上的投影曲线 第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 1 1 二元函数 二元函数 yxfz 定义域定义域 2 2 二元函数的极限 二元函数的极限Ayxf yy xx lim 0 0 3 3 偏导数 偏导数 1 1 定义 定义 0 0 yy xx x z 0 0 yy xx x f 0 0 yy xx x z 00 yxfx x yxfyxxf x lim 0000 0 0 0 yy xxy z 0 0 yy xxy f 0 0 yy xx y z 00 yxfy y yxfyyxf y lim 0000 0 x z 将y看作常数对x求导数 y z 将x看作常数对y求导数 2 2 高阶偏导数高阶偏导数 函数 yxfz 的二阶偏导数为 2 2 yxf x z x z x xx 2 2 yxf y z y z y yy 2 yxf yx z x z y xy 2 yxf xy z y z x yx 9 4 4 全微分 全微分 yxfz 在点 yx的全微分为dy y z dx x z dz 5 5 多元复合函数求导法则 多元复合函数求导法则 6 6 隐函数的求导 隐函数的求导 0 xyyyxF 确定的隐函数由方程满足隐函数定理的条件 则 y x F F dx dy 0 yxzzzyxF 确定的隐函数由方程满足隐函数定理的条件 则 z x F F x z z y F F y z 7 7 偏导数在几何上的应用 偏导数在几何上的应用 1 1 空间曲线的切线和法平面 空间曲线的切线和法平面 1 设空间曲线的方程 tz ty tx 在 0000 ttzyxM 对应于 的切线与法平面方程 切向量为切向量为 000 tttT 切线方程切线方程 0 0 0 0 0 0 t zz t yy t xx 法平面方程法平面方程0 000000 zztyytxxt 2 2 空间曲线方程为 xz xy 加上xx 则变成上面的情形 000 处在zyxM切线方程为 1 0 0 0 00 x zz x yyxx 法平面方程为 0 00000 zzxyyxxx 2 2 空间曲面的切平面和法法线 空间曲面的切平面和法法线 处上点 0 000 zyxMzyxF 的切平面与法线方程 10 法向量为法向量为 000 zyxFn x 000 zyxFy 000 zyxFz 切平面方程切平面方程0 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx 法线方程法线方程 000 0 zyxF xx x 000 0 zyxF yy y 000 0 zyxF zz z 对于曲面zyxfzyxFyxfz 可表示为 8 8 多元函数的极值多元函数的极值 定理定理 必要条件必要条件 设函数 yxfz 在点 00 yx具有偏导数 且在点 00 yx处取得极 值 则它在该点的偏导数必然为零 即0 00 yxfx 0 00 yxfy 定理定理 充分条件 充分条件 设函数 yxfz 在点 00 yx的某邻域内连续 有一阶及二阶连续偏导数 又0 00 yxfx 0 00 yxfy 令Ayxfxx 00 Byxfxy 00 Cyxfyy 00 则 yxf在点 00 yx处是 否取得极值的条件如下 1 0 2 BAC时具有极值 当0 A时有极大值 当0 A时有极小值 2 0 2 BAC时没有极值 3 0 2 BAC时可能有极值 也可能没有极值 还需另作讨论 9 条件极植 第九章第九章 重积分重积分 1 1 利用直角坐标系计算二重积分 利用直角坐标系计算二重积分 1 若积分区域D可表示为 12 axb xyx 称为 X 型区域 11 2 xy a b D 1 xy D b a 2 xy 1 xy 特点 穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界交点个数至多有两个 2 1 bx ax D f x y df x y dy dx 2 1 bx ax dxf x y dy 简记为 2 如果积分区域D可表示为 12 cyd yxy 称为 Y 型区域 特点 穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界交点个数不多于两个 2 1 dx cx D f x y df x y dx dy 二重积分 2 1 dx cx dyf x y dx 简记为二次积分 3 若区域D既非 X 型区域 又非 Y 型区域 则可利用积分区域可加性 将D适当分割成 能用 X 型或 Y 型表示的小区域 1 2 i D in 4 交换二次积分顺序 2 2 利用极坐标系计算二重积分 利用极坐标系计算二重积分 D f x y d cos sin D fd d 2 yx 1 yx D c d c d 2 yx 1 yx D 12 面积元素ddxdyd d 1 积分区域D 由射线 曲线 12 12 围成 即D可用不等式表示为 12 则 cos sin D fd d 2 1 cos sin dfd 2 积分区域D 由射线 曲线 围成 曲边扇形 则D可用不等式表示为 0 所以 cos sin D fd d 0 cos sin dfd 3 若极点在积分区域D内部 即D由封闭曲线 围成 则D可用不等式表示为 02 0 cos sin D fd d 2 00 cos sin dfd 第十一章第十一章微分方程微分方程 1 1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 定义定义凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 定义定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的阶 通解通解 微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 A D o 1 2 Ao D D o A 13 特解特解 确定了通解中任意常数以后的解 2 2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 dy xy dx 3 3 齐次方程 齐次方程 4 4 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程 dy P x yQ x dx 常数变易法常数变易法 把齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数 并通过确定待定函数而求得方 程解的方法 称为常数变易法 5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 1 微分方程 微分方程 n yf x 1 特点 特点 等号右边仅是x的函数 f x 左边只含有未知函数的n阶导数 方法 方法 逐次积分法 2 微分方程微分方程 yf x y 2 特点 特点 不明显含有未知函数y的二阶方程 解法 解法 作变量代换 令 yp x 则 yp x 3 微分方程 微分方程 yf y y 3 特点 特点 不明显含有自变量x的二阶方程 解法 解法 作变量代换 令 yp y 则 2 2 d ydp dydp yp dy dxdydx 6 线性微分方程的解的结构 线性微分方程的解的结构 1 二阶齐次方程解的结构 二阶齐次方程解的结构 0yP x yQ x y 4 定理定理 如果 1 xy与 2 xy是方程 2 的两个线性无关的特解 则 2211 yCyCy 21 C C为 任意常数 就是方程 4 的通解 2 二阶非齐次线性微分方程的解的结构 二阶非齐次线性微分方程的解的结构 yP x yQ x yf x 5 14 将方程 4 叫做与非齐次方程 1 对应的齐次方程 定理定理 设 y是二阶非齐次线性方程 5 的一个特解 Y是与对应的齐次方程 4 的通解 那么 yYy 是二阶非齐次线性微分方程 5 的通解 7 二阶常系数齐次线性方程解法 二阶常系数齐次线性方程解法 求二阶常系数齐次线性微分方程0 qyypy的通解的步骤 1 写出方程 2 的特征方程 2 0rprq 2 求出特征方程的两个根 12 r r 3 根据根的不同情况 按下表写出微分方程 2 的通解 特征方程的根特征方程的根 微分方程的通解微分方程的通解 12 r r两个不等实根 12 12 r xr x yC eC e 12 cossin x yeCxCx 12 rrr 两个相等实根 12 rx yCC x e 1 2 ri 一对共轭复根 第十二章第十二章无穷级数无穷级数 1 1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质 n n n uuuu 21 1 部分和部分和 n n k kn uuuus 21 1 若ssn n lim 则称级数级数 1n n u收敛 收敛 其和为s 若 n n s lim不存在 则称级数级数 1n n u发散发散 此时没有和 15 性质性质若级数 1n n u收敛 则0lim n n u 注注 常用它判断级数发散 即若0lim n n u 或不存在 则级数 1n n u发散 2 2 三个重要级数 三个重要级数 等比 或几何 级数等比 或几何 级数 0 n n aq当1 q时收敛 当1 q时发散 调和级数 1 1 n n 发散 p 级数级数 1 1 n p n 当1 p时收敛 当1 p时发散 3 3 正项级数敛散性的判定正项级数敛散性的判定 定义定义若0 n u 则称 1n n u为正项级数正项级数 1 1 比较判别法 比较判别法设正项级数 1n n u和 1n n v 常数0 c 且从某项起恒有 nn cvu 若 1n n v收敛 则 1n n u也收敛 若 1n n u发散 则 1n n v也发散 比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式 设正项级数 1n n u和 1n n v 若l v u n n n lim l0 0 n v 则有 l0时 则 1n n u与