数学论文 化归思想在中学数学解题中的应用.doc

论文写作指导、各类文案代写作 QQ625880526目 录摘要. .1Abstract.11. 前言.22.化归思想的本质. . 22.1 化归的一般模式. 22.2 化归思想的典范. . 33. 中学数学解题中常见化归方法的分析.4 3.1 观察联想化归.5 3.2 变式联想化归.6 3.3 问题简单化化归.7 3.4 辅助线化归.8 3.5 整体分析化归.8 3.6 数形结合化归.9 3.7 目标定向化归. 9 3.8 函数法.104. 化归思想在中学数学解题中的运用原则与策略.11 4.1 化归思想在中学数学解题中的运用原则.11 4.2 化归思想在中学数学解题中的运用策略.11 5. 化归思想的意义与作用.146. 中学数学化归思想的教学建议.16 6.1 挖掘教材中实现化归方法的因素.166.2 提倡过程教学, 优化学生的认知结构.166.3 树立现代思维意识, 注重其他数学思想.176.4 培养学生的数学语言的应用能力.17参考文献.18致谢.19滁州学院本科毕业论文化归思想在中学数学解题中的应用摘要：化归思想是数学中的一种很重要的思想，其本质就是将问题变得简单、容易、熟悉, 达到解决问题的有利境地，通向问题解决之路。本文在对化归思想的本质进行初步介绍的基础上，着重讨论了化归思想在中学数学解题中的具体应用，并对化归思想的运用原则、策略进行了分析和概括。目的在于使教师和学生对化归思想有着更清晰的认识，重视化归思想在数学教学中的作用，这对于中学新课程改革及教育教学都有着非常重要的意义。关键词：化归思想；解题；方法；中学数学中图分类号：G642.477 The Application of Transforming Idea in Solving Middle School Mathematic ProblemsAbstract: Transforming idea is a very important thought in mathematics. Its essence is to make problems simple and easy, and become familiar with it, and leads to problem solving path. In this paper, give an introduction to transforming idea and discuss its application in mathematic problems, analysis and generalize the application principles and strategies of transforming idea. The aim is to make teachers and students have a better understanding on the transforming idea, and pay more attention to its application in mathematic teaching. It has great significance in New Curriculum Reform and mathematic teaching.Key words: Transforming idea; Problem-solving ; Methods; Middle School Mathematics 1 前 言化归思想是一种重要的数学思想。化归思想方法作为对数学知识的提炼概括和本质认识，是数学问题解决、数学学习和教学的基本思想。化归思想方法的应用可使学生所学的数学知识不再是零散的知识点，对数学问题的解决也不再是机械的模仿1。化归思想方法对学生进行有意义数学学习，形成有序的知识链，把数学知识内化为自身的认知结构及提高迁移能力有着极其重要的作用。化归思想方法作为中学数学中的一种重要的思想方法对培养学生的思维能力和数学品质方面有重要的作用，对其研究也自然很重要2。笛卡尔曾设想：将任一问题化归为代数问题，将任一代数问题化归为方程求解。尽管他这种理想化的通用方法没有成功，但他的这种化归思想却十分宝贵，促使他完成了解析几何的奠基工作。目前，在具体的中学数学解题中，化归思想的应用已十分普遍。但针对化归思想在解题中的应用的归纳总结和分析还不够，对其思想方法的核心，运用的原则、策略以及各种方法的比较分析还稍显欠缺，因而对于化归思想在中学数学解题中应用的研究就显得很重要。本文将从多个角度全面进行梳理总结概括并进行新的探讨，让教师更容易把握教授化归思想，使学生对化归思想有着更清晰的认识，这对于中学新课程改革及教育教学都有着非常重要的作用。2. 化归思想的本质化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。当我们面临的问题复杂、抽象、陌生时，总希望能把问题变得直观、简单、熟悉些，更希望能把问题归结到某种模式中，利用已有的经验使问题获得解决。这些愿望的实现就是问题的转化，如果在转化的过程中具有明确的方向，我们就概括地称这一过程叫问题的化归，简称化归。2.1化归的一般模式化归一般是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决3。人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得到问题A的答案，用框图可直观表示如下图1. 待解决问题 容易解决的问题 转化 ( 化归途径) （化归 对象） （化归 目标） 问题的解决 问题的解决 还原 （图1） 其中，问题B常被称作化归目标或方向，转化的手段则被称为化归途径或化归策略。笛卡尔（ReneDescartes，15961650）就曾通过化归思想方法将几何问题化归为代数问题。创立了解析几何这门新的学科。在其名著更好地指导推理和寻求科学真理的方法论中甚至给出了解决数学问题的“万能方法”：把一切问题化归为数学问题；把一切数学问题化归为代数问题；将一切代数问题化归为单个方程的求解。虽然这种方法并不存在，但恰恰体现了重要的化归思想4。“问题是数学的心脏”，数学问题的解决也是教学中的一个重要组成部分，而几乎所有的数学问题的解决都离不开化归，只是所体现的化归形式不同而已。计算题是利用规定的法则进行化归；证明题是利用定理、公理或已解决了的命题进行化归；应用题是利用数学模型进行化归，因此可以说，离开化归，数学问题的解决将寸步难行。2.2 化归思想的典范纳皮尔（Jaha Napier 15501617）通过化归思想方法使计算方法实现了一次革新：简化大数字开方运算而创立对数法。通过分析指数运算与真数的对应法则，把后者的运算任务转化为前者的运算任务，即将比较复杂的数字计算：乘方、开方、乘除等化归为简单数字的加减乘等简易，从而大大提高了计算效率5。RMI方法是我国著名数学家徐利治教授提出，是借助于映射实现的化归，是化归一般模式的进一步发展，它广泛应用于数学的各个领域，可以称为“化归思想的典范”，其结构框图如图2所示： 映象关系 结构原象关系结构 映射 求的原象 求的映象 反演（图2）【例】 已知、直接证明这个不等式是有困难的，我们采用RMI原则处理。第一次映射：两边取自然对数，于是有由此我们可得到 （因为故）.这样 ，就确定了映像目标：是减函数，如下的反演； 是减函数， 这就证明了结论。3.中学数学解题中常见化归方法的分析中学数学中，化归方法的应用无处不在。例如，在方程研究中，将简单的高次方程、分式方程、根式方程化为一元二次方程或一元一次方程组来求解。在三角函数中求任意角的某种三角函数值都是化为锐角的三角函数求解6。所以数学教学中注意化归思想的培养对学生学习数学、发展解题能力都无疑是至关重要的。而化归的实质无非是要解决两个问题：第一， 当一个问题不易直接解决时，应当把它转化为另一个较易解决的问题即从思想上、策略上认识到“需要转化”，此即化归中的 “化”。第二， 根据问题的特征确定向哪一个方向转化，才能使之归结为一个较容易解决的即从实践上确立“化”的方向，此即化归中“归”。下面就介绍几种常见的化归方法，通过具体的方法介绍和解析，让我们对化归有着更清晰直观的理解。 3.1 观察联想化归 解决任何一个数学题目，首先就要对其进行观察，并在大脑中迅速的寻找解决问题的方法，寻找方法的过程也是联想的过程。只有在观察的基础上才能进行合理、恰当的联想，否则就可能产生方向上的错误。所以我们应当认真观察，并进而合理联想。 【例1】 设 ，求证：+【分析一】从结论入手进行观察，确定化归的方向，容易观察到左边每一项的下均为两个正数的平方和，联想到基本不等式：（0 , 可将左端化为不含根号的代数式，易见,两边分别相加左。注意： 即题：求证其中 【分析二】结论四项中的共同特征应当联想到复数的模和向量的模。令，则左=或令，左=【分析三】联系到两点间的距离当是自然的，考虑到， 在坐标系中两不等式的边界正好构成正方形 A B在正方形中取一点则， 即结论。O C【分析四】由条件可以联想到余弦函数令 则左=从上例可以看出化归的思维模式基本不受学科的限制，应用范围甚广。3.2 变式联想化归代数中涉及的内容相当一部分是数式为形，通常所遇到的数学难题，其难解之处也在于题中所给的形式较为陌生。针对这一特点，当化归受阻时，首先应考虑将所给式子进行变形，然后根据变形后的式子特征进行联想往往可以找到化归途径。【例2】求函数的最小值。【分析一】直觉观察，不易找到化归途径，对右边变形，可化归为其特征可以促使我们联想到：复数的模，向量的模以及两点间的距离，这些信息确立了化归的方向。 令 则。 “”成立的条件：与共线，易得时。MM0B（2，-1）A（0，3）（）【分析二】利用向量解法: 记= = = 如图当=。3.3 问题简单化化归 复杂问题简单化是数学解题中运用普遍的思考方法.一个难以直接解决的问题往往通过对问题的深入观察和研究,转化成简单的问题迅速求解.因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法于问题的解决。 【例3】 实系数一元二次方程( 0) 有两个虚根、,设、 在复平面内的对应点是 、,求以、 为焦点,且经过原点的椭圆的长轴长。【分析】这是一道涉及到代数、解析几何内容的综合题. 它可分解转化为如下几个简单问题 (1) 方程问题. 因为方程有两虚根 、,所以,即 且, 、为共轭复数 (2) 复数问题. ,因为、 互为共轭复数,所以 , ,= (3) 几何问题. 由椭圆定义知长轴长. 3.4 辅助线面化归 同平面几何问题一样，当题中的条件较为分散，隐蔽时，作辅助线、辅助面常可把图形中分散的元素集中起来，进而建立起条件与结论的联系，使隐蔽的条件明朗化。【例4】 正三棱锥底面边长为，两侧面所成的二面角为，求：其体积与侧面积。【分析】要求体积与侧面积，需求高与斜高，作底面 （如图）首先把二面角转化为平面角DBEOCAV，易证 面 即为平面角于是此题可化归为以下几个平面几何问题。 在等腰中 求。在中 求在中，已知、，求（）在中，已知、，求、 。3.5 整体分析化归 将一个式子视为一个整体, 从而给问题带来转机, 可获得奇妙的整体效应, 整体分析主要包括: 整体代入和整体处理, 其关键在于产生或寻找能给问题带来转机的整体, 即换元法解决问题,显得简洁、明快, 这就是整体代入所产生的效应。【例5】对于一切大于1的自然数n ，.【分析】进行整体处理, ( ,由的特征再引入一个整 则AB. 故只需证明. 即化归为证明,对一切自然数,显然 所以. 3.6 数形结合化归 数形结合是指用函数图像、圆锥曲线的几何性质、图形的特性、数的性质等使数与形相互渗透,以达到解决问题的目的. 该思想方法的实质正是通过对同一数学对象进行代数释义与几何释义的互补,实现“形”与“数”的语义转换,将“形”解释为“数”,利用“数”的知识解决“形”的问题;将“数”解释为“形”, 利用“形”的知识解决“数”的问题。 【例6】对满足的所有实数对求的最大值与最小值。 【分析】将等价化归为 .它表示中心为(4 ,2) , a = 2 , b = 1 ,且长、短轴分别平行于x 轴和y 轴的椭圆和其内部区域. 如图2所示,显然, 是点( x , y) 与原点连线的斜率, 的最大值与最小值即为直线=与椭圆相切的两斜率值,将 代入椭圆方程 y 4 2 0 2 4 x 3.7 目标定向化归目标定向指的是在解题时紧盯目标,由目标的特征,特性来确定化归的方向,找准变形目标,直至达到目标。【例7】 求证：【分析】按由繁到简的原则应当左右，注意目标特征。角度， 名称，正余弦余弦 项数，两项一项由目标确定化归方向：选用倍角公式化为，选公式时，尽可能选与余弦函数联系密切的公式。左= = =右3.8 函数法将实际问题转化为数学问题，使之能用数学理论解决具体的实际问题。解答数学应用问题。要善于调整应用题中的条件关系和题型结构，使问题化难为易，化繁为简。若有些较复杂的应用题采用直接设元列方程转化较困难，则可合理地设置间接未知数来设法进行转化，以寻求解决问题的新途径7。【例8】某织布工厂有工人200名，为改善经营，增设制衣项目，已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件需布1.5米，将布直接出售每米可获利2元，将布制成衣出售，每件可获利25元，若每名工人只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人制衣，问该厂一天所获总利润S（元）最多为多少？【分析】该厂一天所获总利润包括两部分，分别是一天制衣所获利润和剩余布所获利润。由此可得S254x+230(200x) 1.54x=28x+12000这样就将获利问题转化为x和S的一次函数关系。但要注意其中的x受到x200的限制，还应满足一个条件，即生产中的布必须不少于制衣所需布的数量，所以还有30(200x)1.54x，得x,而制衣工人数量是整数，故制衣工人最多可安排166人。这样可获取最大总利润为28166+12000=16648(元)【例9】李伟从家里骑摩托车到火车站，若每小时行30千米，那么他比火车开车时间早到15分钟。若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟。现在李伟打算在火车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应该是多少？【分析】若设直接未知数即在火车站开车前10分钟到达火车站，李伟骑摩托车的速度应为x千米/时，列方程相当困难。但若设李伟从家出发到火车开车时间为y小时，则由距离相等可十分方便的列出方程30(y)=18(y+)，所以y=1则x=27千米/时。当然本题也可设李伟从家到火车站的路程为z，先求z再求x.化归方法之间彼此密切联系, 只是表现形式有所侧重, 总的来说, 化归方法就是把未知问题转化为已知问题, 把陌生问题转化为熟悉问题、把繁杂问题转化为简单问题。而这里所说的转化, 不是无目的活动, 问题的内部结构和相互之间的联系, 决定了处理这一问题的方式、方法。因此充分揭示问题间的内部联系、分析问题、创造条件、实现转化是化归的关键8。4化归思想在中学数学解题中的运用原则与策略4.1 化归思想在中学数学解题中的运用原则 化归的思想方法是多种多样的，但是，目标是一致的：将问题变得简单、容易、熟悉, 达到解决问题的有利境地，通向问题解决之路。若要实施好某种化归, 使得这种化归是行之有效的, 就必须遵循相应的原则，而不能随心所欲，盲目进行9。一般说来,化归应遵循以下若干基本原则:（1）熟悉化原则：将生疏问题化为熟悉问题，熟悉问题以建立起标准解答模式。（2）简单性原则：将复杂的问题从结构形式，问题处理方式上化归为简单问题。通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 （3）直观化原则：将一些含糊的、抽象的、深奥的问题转化为比较具体的、直观的、浅显的问题来解决。 （4）和谐统一原则：将要解决的问题化归为在形式上和谐，在量、形等方面趋于统一，使问题的条件与结论表现的更加清楚，以利于解决问题。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。4.2 化归思想在中学数学解题中的运用策略解决数学问题的思维过程，实质上是将数学问题中的信息情景，经过加工、调节，使之回到初始状态或符合最基本的数学模型，从而是问题还原到已知的知识领域，获得解决。当看到一个待解决的问题时却常常面临不知如何选择恰当的化归手段化为已解决的问题，这时就应熟练应用化归策略将待解决问题进行有效化归10。（1） 映射策略：根据数学内部之间的联系，凡具有这种映射对应关系的两个数学问题关系结构是同构的（同构是指在数学对象之间定义的一类映射，它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在关系。）其中一个正确就意味另一个也正确。常用的映射有： 欧氏平面到有序实数对集合上的映射。在中学数学中这样的映射关系有以下几种：点数对直线圆 这一过程中实质是将几何问题化归为代数问题，所用的化归方法称之为解析法，如两直线交点问题化归为方程组的问题；判断两条直线垂直问题化归为判断两直线的斜率是否为倒数等。 平面直角坐标系到复数集上的映射 其中基本的映射关系有： 几何点 过点的直线 以为中心的半径为的圆（2） 语义转化策略：数学一个显著的特点就是形式化，学习数学就是学习一种特定含义的形式化语言。同一数学形式可表示不同的语义，相同数学语义的内容也可用不同的数学语言形式表示。中学数学中较为常见的语义转化有代数与几何即“数”与“形”的语义相互转化，其实质是“通过对同一数学对象进行代数释义和几何释义的互补，实现“数”与“形”的语义转换。” 【例1】 解方程 【分析】 这是一个关于的一元三次方程，但通过观察可以看出因此问题可以转化为关于的一元二次“方程”，将看成常数。 原方程可化为： 解关于“”的方程： 解以上两个简单方程可得出原方程的解。（3） 特殊化与一般化策略：当待解决问题比较困难，一时难以找到解决方法时，通常的做法是先解决它的特殊情况，然后再把这种过程推广到一般情况中。一般化是与特殊化相反的一个过程。其化归过程为：先将待解决问题转化为更为一般的新问题来解决，最后再将这个问题特殊化就得到问题的解。 【例2】 在直角中，为三边长， 求证 【分析】 先从特殊，具体的入手来验证所要证明的结论， 当时，因为 所以 当时，因为 所以 从以上特例可以看出这道题的证明方法： 所以 （4） 分解策略：分解就是将待解决的问题分解成几个承前启后，互相呼应的小问题或将图形分离成易于分析讨论的若干个互相契合的图形。通过对小问题或简单图形寻找化归途径最后得到问题的解决。【例3】解方程【分析】去掉绝对值，将问题分解成3个方程： 当时， 当时， 当时， 由方程解得而,所以方程无解； 由方程中可知所有在为的解都为方程的解； 由方程可得,而，所以方程无解。 5.化归思想的意义与作用 数学思想方法是伴随着数学的产生而产生, 并随着数学和数学教育科学的发展而发展的。任何一个重大数学成果的取得都与数学思想方法的突破分不开。中学数学中主要涉及的数学思想方法有: 符号化思想、模型化思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程的思想、化归思想等。在这些数学思想方法中, 化归思想是核心。化归思想方法统领着众多数学思想方法，是数学中最基本的思想方法，它着眼于揭示联系实现转化，在迁移转化中达到问题的规范化。其它各种思想方法大多渗透有化归思想。化归思想在数学解题中的普遍应用,可以说在中学数学解题过程中,这种思想无处不在11。在数学课堂教学中挖掘和渗透化归思想,对于培养学生良好的思维品质,逐步形成优良的数学观念,提高数学素养,具有十分重要的意义,同时也是培养学生创新能力的重要手段。现代学习理论中的认知同化理论认为, 数学学习主要是有意义的学习, 如果原认知结构中的某些观念与新知识具有实质的、非人为的联系, 可根据新旧知识的逻辑关系, 把原有的认知结构主动地与新知识相互作用, 形成新的认知结构, 而作用的方式主要是“同化”或者“顺应”, 它们是数学学习的基本形式。一般来说, 多数“有意义”的数学学习是通过同化实现的。根据奥苏伯尔的认知同化理论, 同化学习主要有三种模式: 归属学习模式、总括学习模式、并列结合学习模式。化归方法在学生认知结构的构建过程中起着积极的作用。（1）归属学习模式当学生已有的观念在包摄和概括水平上高于新问题所涉及的知识时, 把新问题归属于原认知结构并使之相互联系的过程便构成了归属学习模式, 它可分为派生归属学习模式与相关归属学习模式, 化归方法主要广泛运用于后者。【例1】 设【分析】 学生在学过韦达定理后，已建立起一元二次方程根与系数的认知结构，只需根据原问题的特征，进行适当的化归，可使问题同化于一元二次方程问题。 令的两个根，根据题意得：故像这类新给的数学问题并没有地完全蕴含在旧的认知结构中，需运用化归方法进行适当的调整和扩展，使新的问题纳入原有的认知结构中，即可产生同化作用，这在现行中学教材中随处可见。（2）归总学习模式在学生认知结构中已经形成的若干个观念基础上, 进一步学习一个包摄命题, 就是归总学习模式。它主要是根据命题的本质特征与已有的认知结构行类比、分析, 作出各种肯定或否定的实例, 以达到问题的解决。【例2】 若对任意的正实数恒有，则下列各式中错误的是： 【分析】 依据条件，满足性质的初等函数，在概括程度上已高出了学生原有的观念。利用化归方法中的特殊化方法，取,检验为所需要答案。（3）联合学习模式当问题与认知结构中原有的观念处于并列关系, 但它们在有意义学习中能产生联合的意义, 这种同化过程称为联合学习同化模式。产生联合学习同化模式的外部条件是新问题具有逻辑意义, 内部条件是原数学认知结构中已具备某种观念, 它们的合理结合, 可以导致问题的解决。化归方法在数学问题解决的应用中最为广泛的就是联合学习模式。【例3】 设且求的最值。【分析】 通过研究问题的直观背景，可将原问题化归成一元二次函数的最值问题。使问题与学生已有的认知结构中的有关观念联系起来。建立起同化新问题的固定点，促进问题的转化。由得到又因为是此函数的单调递增区间，得到当时，6.中学数学化归思想的教学建议化归是一种思考问题的方法与思路，是一种重要的数学思想，但这一思想，最重要的在于应用。当你不能再化归时，就是我们建立新概念、开辟新途径的时候了。但任何一个新概念的建立，又常常是用化归的方法解决的。要让学生尽快并熟练地掌握这一方法，既要教师通过几个典型课例做好专题讲座，又要在一段时间内进行必要的强化训练，数学的化归思想与方法，应该是初等教育阶段数学教学的一个主要任务掌握了这一方法的学生，就能够学会数学学好数学，就能大大提高数学思维的品质，所以教师的教学就显得异常重要。 在充分肯定化归方法在数学学习和研究中的重要作用的同时, 也应注意到, 它主要是一种解决问题的方法, 而不是发现问题的方法。这是化归法本身的局限性。另外, 应用化归方法解决数学问题时, 还受到学生认知结构的限制以及其它数学能力的制约。因此, 在教学过程中, 我们应从以下几个方面入手, 形成与发展学生的化归思想。6.1 挖掘教材中实现化归方法的因素数学思想是教材体系的灵魂, 它支配着整个教材。使数学概念、命题、问题的解决相互紧扣, 相互支持, 从而组成一个完整的联合体系。化归方法在中学教材中出现的频数相当大。教师应根据教材内容, 化隐为显, 把握化归方法, 采用循序渐进的教学原则, 结合不同阶段的知识教学, 有意识地反复孕育和渗透化归方法。6.2 提倡过程教学, 优化学生的认知结构我国的基础教育是素质教育,最终目的是全面培养学生的数学素质。培养学生形成各种数学能力是提高数学素质的根本途径。因此, 必须改变重结果、重知识链的教学方式, 建立起重知识的发生过程、重能力链的教学方式, 并以数学科学和学科体系为背景, 整体设计教学过程, 引导学生积极参与课堂教学, 充分发挥学生学习的主动性, 使学生知识结构与认知结构相统一, 形成一定的数学意识和创造能力。在教学中, 一方面应让学生始终处于一种积极、创造的状态,通过自己多方面的活动来发现有关的知识, 另一方面教师应引导学生加强反思, 巩固已获得的知识, 以利于新知识、新问题以同化或顺应的方式纳入学生已有的数学认知结构中,提高学生的思维水平，形成良好的数学认知结构10。也只有建立了良好的数学认知结构, 才能较自觉地进行知识的迁移, 并运用化归方法中熟悉化、简单化、和谐化原则来解决数学问题。 6.3 树立现代思维意识, 注重其他数学思想 如前所述, 化归方法是一种数学思想方法, 有它的局限性, 在渗透化归方法的同时, 应加强其他思想方法的渗透, 将各种思想方法合理结合, 灵活运用。当前, 培养学生的思维能力是数学教师的重要任务。数学思维能力直接影响着各种数学思想方法在教学中的渗透。因此, 在教学过程中, 应该变单向性思维方式为多向性思维方式, 有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题；变静态思维方式为动态思维方式,揭示前后知识的联系与变化, 培