复合函数求导及应用.doc

复合函数求导及应用求y(3x2)2，f(u)u2，g(x)3x2的导数1复合函数的概念对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)2复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积题型一 简单的复合函数求导问题例1求下列函数的导数：(1)y；(2)yesin x；(3)；(4)y5log2(2x1)解(1)设，u12x2，则y()(12x2)(4x)(4x) .(2)设yeu，usin x，则yxyuuxeucos xesin xcos x.(3)设ysin u，u2x，则yxyuuxcos u22cos（2x+）.(4)设y5log2u，u2x1，则y5(log2u)(2x1).复合函数的求导步骤练习 求下列函数的导数：(1)y(2x1)4； (2)y102x3； (3)ysin4xcos4x.解：(1)令u2x1，则yu4，yxyuux4u3(2x1)4u328(2x1)3.(2)令u2x3，则y10u，yxyuux10uln 10(2x3)2ln 10102x3.(3)ysin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x1sin22x1(1cos 4x)cos 4x.所以ysin 4x.题型二 复合函数与导数的运算法则的综合应用例2求下列函数的导数：(1)yx； (2).解(1)y(x)xx() .(2)yxcossinx(sin 2x)cos 2xxsin 4x，ysin 4xcos 4x4sin 4x2xcos 4x.练习 求下列函数的导数：(1)ysin2； (2)ysin3xsin x3； (3)yxln(12x)解：(1)y2sin 2sin cos sin .(2)y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x33x23sin2xcos x3x2cos x3.(3)yxln(12x)xln(12x)ln(12x) .题型三 复合函数导数的综合问题例3设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切求a，b的值解由曲线yf(x)过(0,0)点，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，得f(x)a，则f(0)1aa，此即为曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率由题意，得a，故a0.练习 有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为ys(t)5.求函数在t时的导数，并解释它的实际意义解：函数y5可以看作函数f(x)5和x(t)259t2的复合函数，其中x是中间变量由导数公式表可得f(x)，(t)18t.再由复合函数求导法则得yts(t)f(x)(t)(18t)，将t代入s(t)，得s0.875.当t时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.易错函数yxe12x的导数为_解析ye12xx(e12x)e12xxe12x(12x)e12xxe12x(2)(12x)e12x.答案y(12x)e12x函数yln在x0处的导数为_解析：ylnln exln(1ex)xln(1ex)，则y1.当x0时，y1.答案：课后练习1函数y(2 0158x)3的导数y()A3(2 0158x)2 B24x C24(2 0158x)2 D24(2 0158x)2解析：y3(2 0158x)2(2 0158x)3(2 0158x)2(8)24(2 0158x)2.2函数yx2cos 2x的导数为 ()Ay2xcos 2xx2sin 2x By2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2x Dy2xcos 2x2x2sin 2x解y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.3已知f(x)ln(3x1)，则f(1)_.解析：f(x)(3x1)，f(1).答案：4设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.解析：令yf(x)，则曲线yeax在点(0,1)处的切线的斜率为f(0)，又切线与直线x2y10垂直，所以f(0)2.因为f(x)eax，所以f(x)(eax)eax(ax)aeax，所以f(0)ae0a，故a2.答案：25求下列函数的导数：(1)ycos(x3)； (2)y(2x1)3； (3)ye2x1.解：(1)函数ycos(x3)看作函数ycos u和ux3的复合函数，由复合函数的求导法则可得yxyuux(cos u)(x3)sin u1