现代数学与中学数学.doc

浅谈现代数学与中学数学数学，作为一门基础学科，越来越多的应用在其他领域，其重要地位也越来越突出。另外，近年来教育改革对基础数学教育要求也提出了新的要求。我作为一名数学专业的师范生，即将走向中学数学教育岗位，更是有必要去研究了解现代数学与中学数学的关系。一、现在数学及其特点一般说来，现代数学是指19世纪30年代以后诞生的数学，从那以后发展起来的非欧几何、抽象代数、集合论、拓扑学、泛函分析、数理逻辑和数学基础等，都是现代数学内容。现代数学，跟以微积分、解析几何为基本内容的古典高等数学相比，在研究对象和研究方法上都与初等数学有显著的不同。在研究对象上，初等数学以数和三维空间的图形为主要研究对象，现代数学则以任意集合及其间的种种关系为研究对象在现代数学中，数推广成一般集合的元素；数的计算推广为集合中元素的一般运算；函数推广为集合的映射；曲面、曲线推广为一般空间的任意流行，等等。如果说，恩格斯在一百多年前所说，纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，主要是对集合论产生以前的数学研究对象的科学概括的话，那么，对现代数学而言，今天就要对“空间形式”和“数量关系”做本质上的推广。“空间形式”应理解为抽象空间的任一子集；“数量关系”应理解为集合与集合之间的一般关系。在思想观念和方法上，现代数学以集合论为基础，普遍采用公理化方法和数学结构观点进行统一处理。 集合论观点、公理化观点、结构观点和同构观点，是现代数学的基本观点。此外，电子计算机进入数学研究领域，“机器证明论”的兴起，正在改变以前人们只承认逻辑证明的传统观点。在数学语言上，现代数学全面使用集合论符号和数理逻辑符号，使其语言更加统一和形式化，因此，也更加准确和简练。在应用上，不仅现代数学在力学、物理、天文、化学、机械学等传统领域中的应用不断拓广和加深，而且对于生物学、地学、经济学，甚至语言学、历史学和社会学等原来不用或少用数学的学科领域，数学的应用也越来越广泛，越来越显得重要。现代数学发展到今天，它已经划分为基础数学、应用数学和数学技术三大部分，而数学技术是“未来高科技的核心”。二、中学数学改革的新要求中学数学，是指在中学数学教材和课外活动（数学竞赛等）中所包含的数学。因此，随着中学教材的改革和更新，随着数学竞赛活动的发展，中学数学的内容也在不断变化和发展。从上世纪末起到本世纪初，正是我国中学数学教学改革、教材全面更新的时期。九年义务教育初中数学教材已经普遍使用；与此相衔接的新编高中数学教材（试验本）1997年已经在部分省市试用，并将于1999年在全国使用与原有中学数学教材相比，新教材在编写思想和内容选择等方面，有很大的进步。首先，新编高中教材更新了内容，删减了传统初等数学中次要的、用处不大的，或者学生学习有困难的内容，如幂函数、指数方程、对数方程、一些三角恒等式、反三角函数、三角方程，以及立体几何中的梭台、圆台等；新增了向量、简易逻辑、概率统计和微积分初步。其次，改革了传统数学知识的处理方式和数学语言，广泛地使用集合符号、逻辑符号和标准计量单位和符号，使用向量代数方法证明余弦定理，处理空间线、面关系。第三，高中数学不再分科编写，而是把多科数学内容总和为一门数学教材，注意沟通各科知识之间的内在联系，注意数学知识的实际应用 。与此同时，全国中学生数学竞赛，主要是全国高中数学联赛、中国数学奥林匹克和国际数学奥林匹克（IMO）的水平不断提高，现代数学的思想和方法的参透越来越普遍和深入。这就要求中学数学教师拓宽知识面，提高综合素质。因此，高师数学专业不仅要有足够多的现代数学课程，而且要有相应的课程指导学生用现代数学思想、观点和方法，将高等数学与中学数学结合起来，同样要培养学生的数学应用意识和应用能力。三、现代数学联系中学数学的途径和方法尽管现代数学的高难度抽象性，使它与中学数学拉大了距离，但从数学发展的历史来看，现代数学是多级抽象的结果。它的原型和特例大都来自变量数学，变量数学的原型和特例又来自常量数学，而数学无疑最终还是扎根于现实世界的空间形式和数量关系之中。中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是现代数学的基础，是现代数学中许多（不是全部）概念和理论的原型和特例所在。因此，从现代数学观点来看中学数学，首先就要把现代数学中的某些概念和理论与中学数学相应的原型和特例联系起来。这样，就不仅能够加深对现代数学的理解，而且能使我们准确把握中学数学的本质和关键，从而高屋建瓴地处理中学教材，用现代数学的思想方法直到中学数学教学，提高教学质量和教学水平。现代数学事相对于传统数学而言的，它有区别于传统数学的几个特征：（1）研究对象大大扩充，研究对象的任意抽象关系，研究集合，研究结构；（2）数学思维进一步发展，抽象程度越来越高；（3）数学方法发生根本变革，公理化方法形成，并有主要位置；（4）应用领域大大扩充。目前再我们的中学教材中增添的现代数学内容主要就是以下几种：集合论、数理统计、微积分、概率统计、空间向量、算法语言和简单程序设计。在课堂教学中我们可以在解题过程中渗透现代数学中的思想，空间向量在解决立体几何问题犹如一把万能钥匙，它把立体几何问题加以量化，从而降低了思维难度，增加了可操作性，使空间向量在角和距离的处理上有着独特的优势，它最大限度的避开了思维的高强度转换，避开了各种辅助线添加的难处，代之以空间向量的计算，有利于我们较好的解决问题，不再那么烦琐，被众多师生所青睐。例如：在以棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E,F,G 分别是 B B1,CD,C C1的中点。（1）求证：AE D1F。（2）求平面A1BG 与平面 ABCD所成的角（锐角）。（3）求点 A到平面A1BG 的距离。（4）求 A A1与平面A1BG 所成的角。（5）求异面直线 AC 和 B C1的距离。分析：（1）建立空间直角坐标系。 要证明 AE D1F， 只要证明 AED1F = 0。（2）要求平面A1BG 与平面 ABCD 所成的角,只要求这两平面的法向量所成的角。（3）A A1在平面A1BG 的法向量n射影的绝对值就是点 A到平面A1BG 的距离。（4）A A1 与平面A1BG 的法向量n所成的角余角就是直线 A A1与平面A1BG 所成的角。（5）AB在 AC 和 B C1 的公垂向量上射影的绝对值就是异面直线 AC 和 B C1的距离。传统解法中求二面角、线面角、点面距离和异面直线距离都和平面的垂线有关。 与向量方法中的平面法向量本质上是一致的，所不同的是过定点作平面的垂线及异面直线的公垂线都只有唯一一条，但平面的法向量及异面直线的公垂向量可以自由移动的，这恰恰是向量的本质之一，这就给我们解题带来了自由选择的余地，这正是向量解法的绝妙之处。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为：与其说是教现代数学，不如说是现代的数学教学。即把中学数学建立在现代数学的思想基础上，用现代数学的观点、思想、方法、风格和语言进行中学数学教学，使学生的思维向现代数学的思维方向发展。以上的阐述，主要从数学学科自身的特点，用认识论的方法，站在数学教育的角度，简略地探讨了数学的文化价值。充分认识数学的文化价值，从文化的视角去审视数学，在实施素质教育的今天，不仅具有重要的理论意义，更具有重要的现实指导意义。总之，要力求将现代数学思想全面渗透入中学数学，要在高等数