李斌的论文（巧用高斯公式计算曲面积分）.doc

天水师范学院毕业论文(设计)巧用高斯公式计算曲面积分李 斌摘要：第二型曲面积分的计算有三种方法，正确运用高斯公式可以简化曲面积分的计算。本文重点分析高斯公式的条件和结论，进而阐明在曲面积分计算中如何巧用高斯公式。关键词：曲面积分 高斯公式 Abstract : The calculation of the second curved face integral calculus contains three kinds of methods and the Gauss formula of the exactitude usage can simplify the calculation of curved face integral calculus.This text point analyzes condition and conclusion of Gauss formula and then clarify in the curved face integral calculus the calculation how the Qiao use Gauss formula. Key word ：Curved face integral calculus Gauss formula在微积分课程中，有关曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点，也是一个难点问题。一、 曲面积分的定义：定义1： 设函数f (x,y,z)是定义于空间区域V的有界函数，而在V内有一块按块光滑的曲面S。（1） 把S任意分成n个小块，各小块的面积记作（i=1,2,n）。（2） 在每一小块上任意取一点。（3） 作和数：。如果不论曲面如何划分及点如何取法，和数当n 而最大的小块直径 0时有极限存在，这极限值就称为f (x,y,z)在曲面S上对面积的曲面积分（或第一型的曲面积分），记作。如果f (x,y,z)连续，则它的曲面积分存在，如果S的方程是z=z (x,y)，则，其中是S的xoy平面上的投影区域。如果S的方程由y=y (z,x) 或x=x (y,z)给出，也可以把曲面积分换成相应的二重积分。定义2： 设P (x,y,z),Q (x,y,z),R (x,y,z)是定义于空间区域V的有界函数，而在V内有一个按块光滑的有向曲面S。（1） 把S任意分成n个小块，其面积分别为（i=1,2,n），在yoz,zox,xoy面上的投影分别为。（2） 在每一小块上任意取一点。（3） 作和数：。如果不论曲面如何划分及点如何取法，和数当n 而最大的小块直径0时有极限存在，这极限值就称为函数P,Q,R在曲面S上对坐标的曲面积分（或第二型的曲面积分），记作。如果P,Q,R连续，则曲面积分存在。另外，如有向曲面反向，积分值也要相应变号。设S的方程为z=z (x,y)，而S在xoy平面上投影域为，则上侧取正，下侧取负。设S的方程为x=x (y,z)，而S在yoz平面上投影域为，则前侧取正，后侧取负。设S的方程为y=y (z,x)，而S在zox平面上投影域为，则右侧取正，左侧取负。各种类型的曲面积分，可以概括如下：定积分、二重积分、三重积分，以及对弧长的曲线积分与第一型的曲面积分，它们定义的步骤和形式是完全一样的，只是积分区域与被积函数不同而已；而第二型的曲线、曲面积分则有不同，它们用投影来构作和数，因而与方向有关。二、 第二型曲面积分的计算：第二型的曲面积分要化为三个二重积分来计算。（1） 计算，当曲面S表示成z=z (x,y)，并投影到xoy面上得区域，当曲面S指向与z轴正方向夹角小于时，称S为上侧，此时；当曲面S指向与z轴正方向夹角大于时，称S为上侧，此时。（2） 计算及，将S分别表示成S：x=x (y,z),y=y (x,z),并投影到yoz面和zox面上，分别得投影区域和，则（i），其中S的指向分别与x轴正方向夹角小于，与y轴正方向夹角小于（分别称为前侧和右侧）。（ii），其中S指向分别与x轴正方向夹角大于，与y轴正方向夹角大于（分别称为后侧和左侧）。（3） 当函数P (x,y,z),Q (x,y,z),R (x,y,z)在闭曲面S所围成的空间区域V中有一阶连续偏导数，可利用高斯公式计算，其中S取外侧。若曲面S不是闭曲面，直接进行曲面积分又较复杂，可添加曲面S,使S+ S为闭曲面，且有S上的曲面积分简单，S+ S能用高斯公式，则I=，其中V为S+ S包围的空间区域，S+ S取外侧。因此，第二型的曲面积分的计算方法有：（一）通过投影法化为二重积分。（二）利用两类曲面积分之间的联系进行转化。（三）利用高斯公式。一般来说，曲面积分的计算较之曲线积分更为复杂，因而更需要考虑适当的简化方法，优先选用高斯公式是一个基本的考虑。三、 高斯公式：高斯公式是沟通三重积分与第二型曲面积分之间的桥梁。设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成，若函数P,Q,R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则当S取外侧时，有高斯公式：。利用高斯公式，可以把沿三维区域边界的第二型曲面积分转换成为在这区域上的三重积分。在利用高斯公式计算曲面积分时，注意两种积分算法的不同，曲面积分是直接将S的表达式代入积分式，而三重积分则不能如此计算。在高斯公式的条件中，要求积分区域S的正侧是外侧，这是相对于S所围成的空间区域V来说的。如果我们考虑由球面：和球面：所围成的空间区域V，则其边界曲面S相对于V的外侧应是的内侧与的外侧。【例1】 求曲面积分，其中S是在第一卦限中部分的上侧面。解法1 直接计算原式=解法2 用高斯公式计算，先补上平面、，成为闭合曲面,此题由于方向向内，用高斯公式时须加负号，于是=+=【例2】 计算曲面积分其中S是由曲线绕y轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与y轴正方向的夹角恒大于。分析 第二型曲面积分计算时，需分别投影到三个坐标平面再进行二重积分的计算，除特殊情况外，相当繁琐。因此利用高斯公式转化为三重积分计算。不是封闭曲面往往采用补面的方法来计算。旋转面的方程是，当y=3时，最简单是上平面上的圆域：，法线方向与y轴相同。解： 补：，设和S所围成的区域为V，由高斯公式得：应用高斯公式时易出的差错：（1） 搞不清P、Q、R是对什么变量求偏导；（2） 不满足高斯公式的条件，用公式计算；（3） 忽略了S的取向，注意是取闭曲面的外侧。【例3】 计算曲面积分，其中S是由曲面及两平面z=R，z=R(R0)所围成的立体表面的外侧。分析 在一个闭合曲面上的第二型曲面积分，看来可以利用高斯公式简捷地计算，且慢！被积函数，均在原点不连续，原点在曲面包围的区域内，这不符合高斯公式的条件，此题不能用高斯公式计算，只能直接计算。解： 设、依次为S的上下底和圆柱面部分，因为、在yoz平面上的投影面积为零，在xoy平面上的投影面积为零，故记、在xoy平面上的投影为：则记在yoz平面上的投影面积为：,则所以，原积分正确使用高斯公式应注意两点：（1） S为封闭曲面，取外侧。若S不是封闭曲面，有时可以引入辅助曲面S，使S+ S成为取外侧或取内侧的封闭曲面，进而采用高斯公式。取内侧时高斯公式应取“”号，取外侧时高斯公式应取“+”号，辅助曲面S应尽量简单，容易计算其上第二型的曲面积分，一般情况下尽量选择平行于坐标面的平面。例如取z=常数，则dydz=0，dzdx=0，只需计算即可。（2） 要注意P (x,y,z),Q (x,y,z),R (x,y,z)在区域V内要有连续的一阶偏导数，否则高斯公式不适用。【例4】 设对于半空间x0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有,其中函数f (x)在(0,+)内具有连续的一阶导数，且，求f (x)。解: 由题设和高斯公式得，其中V为S围成的有界闭区域，当有向曲面S的法向量指向外侧时，取“+”号；当有向曲面S的法向量指向内侧时，取“”号。由S的任意性，知即，求解该一阶线性非齐次微分方程得。由于，故必有，即c+1=0，从而c=1，于是。【例5】 求曲面积分，其中S为的外侧。解： 用直接积分法显然是很麻烦的，现只有选择用高斯公式了。仔细观察一下，发现曲面S所围区域中有原点(0，0，0)。显然被积表达式中P，Q，R在原点均不连续。为了应用高斯公式，需将奇点(0，0，0)“挖掉”。令：，其中正数充分的小，使在S所围的区域内部，并设取内侧。于是，其中V是由与S所围成的区域（复连通域且（0，0，0）V）。通过计算知此三重积分中的被积函数为0，故。现用的方程来化简被积表达式，得，其中为所围的区域：，于是。通过前面的讨论，运用高斯公式来计算第二型曲面积分可以简化曲面积分的计算，当然这与被积式及积分曲面的特点密切相关。 参考文献1 裴礼文.数学分析中的典型问题与方