自动控制理论二(上篇)

任课教师 原新 自动控制理论 二 Email yuanxin 教材 课程基本信息 自动控制原理 胡寿松科学出版社 参考书 课程基本信息 清华大学出版社 清华大学出版社 哈尔滨工业大学出版社 学时安排 数字控制系统 20 22学时 古典控制理论 2 线性系统理论 26 28学时 现代控制理论 绪论 一控制理论发展过程 古典控制理论 建立在频率法和根轨迹法基础上的理论 经典控制理论的局限性 1 它只适用于单输入单输出线性定常系统 不能描述系统内部的结构及其状态变量 对于时变系统 多输入多输出系统和复杂的非线性系统则无能为力 2 只能根据超调量 调节时间 幅值裕度 相角裕度等性能指标来设计校正装置 无法确定哪种系统最优 3 无法考虑初始条件对系统的影响 并且不便于在线使用计算机进行分析和设计 2现代控制理论 现代控制理论起源于60年代 以下述三个方面作为其形成的标志 卡尔曼 RudolfEmilKalman匈牙利数学家 1960年因提出著名的卡尔曼滤波器而闻名于世 亚历山大 李亚普诺夫俄罗斯应用数学家 1892年的博士论文 运动稳定性的一般问题 是经典名著 现代控制理论特点 研究对象 研究方法 分析手段 实现工具 多变量线性系统和非线性系统 时域法 特别是状态空间方法 现代数学 计算机 注意 尽管古典控制理论和现代控制理论各有特点 但二者是密切相关的 目前已形成了多个重要分支 包括系统辨识 自适应控制 综合自动化 非线性系统理论 模式识别与人工智能 智能控制等 经典控制理论 现代控制理论 讨论研究的内容 二线性系统理论概述 1线性系统理论的研究对象 研究对象 线性系统 线性定常系统和线性时变系统 线性系统的基本特征是满足叠加原理 2线性系统理论的主要任务 状态空间法和复频域方法 1 系统数学模型的建立 时间域模型 微分方程组或差分方程组 频率域模型 传递函数和频率响应 2 系统分析线性系统分析包含定量分析和定性分析 3 系统设计当一个系统不能满足希望的性能时 就需要对系统进行干预 调节或控制来改变原有系统 使改变后的系统满足性能要求 这样一个完整的过程称为控制系统设计或控制系统综合 上篇线性离散系统的分析与校正 Ch1离散系统分析的数学基础Ch2离散系统的数学描述Ch3离散系统分析Ch4离散系统设计 三主要学习内容 下篇线性系统的状态空间分析与综合 Ch1线性系统的状态空间描述Ch2线性系统的运动分析Ch3线性系统的可控性与可观测性Ch4线性定常系统的线性变换Ch5李雅普诺夫稳定性分析Ch6线性定常系统的反馈结构及状态观测器 四离散系统的基本概念 一 几个基本概念 二 采样控制系统 三 计算机控制系统 数字控制系统 四 连续系统与离散系统比较 一 几个基本概念 1 连续信号 在时间上连续的信号称为连续信号 连续信号随时间分段连续变化 幅值连续变化 2 离散信号 采样信号 只在某些时刻上有意义的信号 如脉冲信号 称为离散信号 离散信号仅在离散时间取值 幅值连续变化 3 数字信号 仅在离散时间取值 幅值也取离散值的信号 图1 1连续信号 图1 2离散信号 图1 3数字信号 4连续系统 系统中的所有信号都是时间变量的连续函数 5离散系统 系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码 离散系统包括 采样控制系统 脉冲控制系统 系统中的离散信号是脉冲序列形式 数字控制系统 计算机控制系统 系统中的离散信号是数字序列形式的 周期采样 信息之间的间隔是有规律的 随机采样 信息之间的间隔是随机的 本书讨论的离散系统有以下限制 1等周期采样2所有采样开关同步工作 二 采样控制系统 被控参数 给定值 图1 4 a 连续控制系统的典型结构 G0 s H s Gc s u t 图1 4 b 典型连续控制系统的结构图 图中 Gc s 是控制器的传递函数 G0 s 是被控对象的传递函数 H s 是测量变送反馈原件的传递函数 图1 5典型采样控制系统的结构图 图中 Gh s 是保持器的传递函数 采样控制系统在连续系统的闭环框图中增加了一个采样开关和一个保持器 除了采样环节和保持环节外 其余所有环节仍然为模拟器件 Gc s 仍然按连续系统的校正方法设计 在采样控制系统中 采样开关和保持器实现了信号采样和信号复现两个过程 数字控制系统 以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统 又称为计算机控制系统 三 数字控制系统 数字计算机 图1 6典型计算机控制系统 uh t c t 1A D转换器 模 数转换器 A D转换器 将连续的模拟信号转换成离散的数字信号的装置 包括采样过程和量化过程 e t A D转换过程 D A转换器 数 模转换器 D A转换器 将离散数字信号转换成连续模拟信号的装置 包括解码过程和复现过程 3数字控制系统的典型结构图 图1 7典型数字控制系统 4数字控制系统的特点 1 系统中含有离散数字信号 2 易于修改控制规律 控制算法 计算程序 3 具有逻辑判断功能 能够实现复杂控制规律 4 一个计算机 微型机 单片机 可控制多个回路 5 易于实现大系统协调控制 多系统联网工作 四 连续系统与离散系统比较 1 1采样过程及采样定理 第1章离散系统分析的数学基础 1 2采样信号的恢复 1 3Z变换理论 采样过程 就是把连续信号变成离散信号的过程 简称采样 1 1采样过程及采样定理 采样过程 采样周期 采样开关两次闭合的时间间隔T 采样角频率 采样频率 图1 1采样过程 采样过程分析 图1 2理想采样过程 二采样过程的数学表示 理想采样 采样开关闭合时间 0 上式表明 由一系列脉冲构成 仅表示采样发生的时刻 而e nT 则表示在nT采样时刻所得到的离散信号值 三香侬采样定理 如果连续信号e t 具有有限频谱 当采样频率 s 2 h时 可以从离散信号e nT 无失真地 香侬重构 恢复原连续信号e t 采样信号的频域描述 即采样信号的频谱 设连续信号e t 的傅立叶变换为 则可以证明离散信号的傅立叶变换为 说明 是以采样角频率为周期的函数 它建立了连续信号频谱和相应的采样信号频谱之间的关系 h h 0 h h 0 s 2 s 3 s 3 s 2 s s 1 图1 4采样信号频谱 图1 3连续信号频谱 h h 0 s 2 s 3 s 3 s 2 s s 图1 5采样信号频谱 图1 6采样信号频谱 连续频谱中的最高角频率 奈奎斯特频率 当时 离散信号的频谱是由无穷多个形状与原连续信号频谱相同的孤立频谱构成 当时 离散信号的频谱是由无穷多个形状与原连续信号频谱相同的孤立频谱构成 当时 离散信号的频谱不再由孤立谱构成 而是采样频谱中的各分量相互交叠 这种现象称为频谱混叠 它致使采样器的输出信号发生畸变 信号保持的定义 把离散信号转换为连续信号的过程称为信号保持或信号的恢复 它是采样的逆过程 信号保持的实现 实现信号保持的最好装置是具有理想滤波特性的滤波器 但在工程上难以实现 实际上实现信号保持的装置是保持器 1 2采样信号的恢复 保持器的数学描述保持器是一种时域外推装置 将输入脉冲在采样间隔时间内按某种规律保持到下一个采样时刻 并由下一个采样时刻的采样值所取代 采用如下外推公式描述保持器 t 是以nT时刻为原点的坐标 1数学表达式 图1 7零阶保持器的输出特性 二零阶保持器 表明 零阶保持器是一种按常值规律外推的装置 2零阶保持器的特性 如果把一个理想单位脉冲作为零阶保持器的输入 则其脉冲响应是幅值为1 持续时间为T的矩形脉冲 其表达式可分解为两个单位阶跃函数的和 即 1 1 T t 取拉氏变换 零阶保持器的传递函数 a b 图1 8零阶保持器的时域特性 零阶保持器的相频特性 零阶保持器的幅频特性 零阶保持器的频率特性 图1 9零阶保持器的幅频特性和相频特性 零阶保持器的特性 1 低通特性 2 相角滞后特性 3 时间滞后特性 1 3Z变换理论 一 Z变换定义 1 Z变换的定义 2 几点说明 连续信号和它的采样信号具有相同的Z变换 若两个信号在所有采样时刻上值相同 它们的Z变换相同 Z变换定义式常用于证明 二 Z变换方法 级数求和法部分分式法留数计算法 补充 1 级数求和法 主要思想是 根据Z变换定义式写出级数形式的Z变换再作级数求和 得到闭合形式的Z变换表达式 例 求指数函数的Z变换 解 由于 则 若公比 则有 2 部分分式法 主要步骤 1 先求出已知连续时间函数e t 的拉氏变换E s 2 将E s 展成部分分式之和的形式 3 对每一部分分式分别求取Z变换 则可得到E Z 注意 常用时间函数的Z变换表参见教材表7 2 可挑重要的重点记忆一下 3 留数计算法 补充的内容 已知连续时间函数e t 的拉氏变换E s 及全部极点 则e t 的Z变换可由下面留数计算求得 式中 K E s 的不相同极点的个数 ri 极点si的阶数 T 采样周期 例 用留数法求单位斜坡函数e t t的Z变换 解 e t 的拉氏变换式为 显然 只有一个二重极点 即s 0 r 2 K 1 故 三 Z变换的性质 1 线性定理 若 a为常数 则 说明 Z变换过程满足齐次性与均匀性 表明Z变换是一种线性变换 2 实数位移定理 平移定理 1 实数位移的含意 指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期 其中向左平移为超前 向右平移为滞后 2 实数位移定理 如果函数e t 是可拉氏变换的 其Z变换为E z 则有 滞后定理 负偏移定理 超前定理 正偏移定理 其中 k为正整数 说明 实数位移定理的作用相当于拉氏变换中的微分和积分定理 算子有明确的物理意义 z k代表时域中的滞后环节 它将采样信号滞后k个采样周期 zk代表超前环节 它将采样信号超前k个采样周期 表征了对脉冲序列的kT时刻脉冲的预报 a z k环节的延迟作用 b zk环节的超前作用 3 复数位移定理 如果函数e t 是可拉氏变换的 其Z变换为E z 则有 含义 函数e t 乘以指数序列的Z变换就等于在e t 的Z变换表达式中 以取代原算子z 例 计算的Z变换 解 计算 查表 得到 所以 4 终值定理 如果函数e t 的Z变换为E z 函数序列e nT n 0 1 2 为有限值 且极限存在 则函数序列的终值 例 设Z变换函数为 试用终值定理计算e nT 的终值 解 的2个极点为 则在单位圆内 则由终值定理得 5 卷积定理 设x nT 和y nT 为两个采样函数 其离散卷积定义为 则卷积定理 若 必有 说明 卷积定理指出 两个采样函数卷积的Z变换 就等于这两个采样函数相应Z变换的乘积 这说明时域上的卷积关系对应着频域上的乘积关系 四 Z反变换 Z反变换 已知信号的Z变换表达式E z 求相应的离散序列e nT 的过程 记为 注意 进行反变换时 信号序列仍是单边的 即当n 0时 e nT 0 Z反变换法 幂级数法部分分式法反演积分法 1 幂级数法 多项式除法 长除法 综合除法 主要思想 将E z 表示为按z 1升幂排列的两个多项式之比 对上式直接作综合除法 得到按升幂排列的幂级数展开式 如果所得到的无穷幂级数是收敛的 则按Z变换定义可知 故的脉冲序列表达式为 例用幂级数法求下列函数的Z反变换 解 将给定的E z 表示为 利用综合除法得 所以 采样函数 2 部分分式法 查表法 具体实现步骤如下 1 设已知的E z 无重极点 先将E z z展开成部分分式之和 式中 是E z 的极点 是 是E z z在极点zi处的留数 2 由上式E z 写出的部分分式之和 3 逐项查Z变换表 得到 4 写出已知E z 对应的采样函数 例7 13用部分分式求 下列函数的Z反变换 或表示为 即 解 解 如果部分分式法使用不当 计算很困难 如上例采用如下计算步骤就很麻烦 即 3 反演积分法 留数法 已知连续时间函数e t 的Z变换式为E z 可证明连续时间函数e t 在t nT时刻的采样值e nT 可由下面的反演积分计算 式中 k E z 的不相同极点的个数 zi E z zn 1的极点 i 1 2 k ri 极点zi的阶数 例用留数计算法求下列函数的Z反变换 解 E z 有两个极点 其阶数分别为 极点处的留数分别为 2 1线性差分方程 第2章离散系统的数学模型 2 2脉冲传递函数 离散系统的数学定义 2 1线性差分方程 1离散系统 将输入序列r n n 0 变换为输出序列c n 的一种变换关系 称为离散系统 记作 注意 讨论离散系统时 仅关注采样时刻上的各信号间的关系 2线性离散系统 如果离散系统满足叠加原理 则称为线性离散系统 3线性定常离散系统 输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统 称为线性定常离散系统 也称作线性时不变离散系统 本章所研究的离散系统为线性定常离散系统 可以用线性常系数差分方程描述 二线性常系数差分方程及其解法 1线性常系数差分方程 n阶后向差分方程 n阶前向差分方程 后向差分方程 时间概念清楚 便于编制程序 前向差分方程 便于讨论系统阶次 使用Z变换法计算初始条件不为零的解 2线性差分方程的解 1 迭代法 了解 利用递推关系求解 2 Z变换法 利用Z变换求解 具体步骤 根据Z变换实数位移定理对差分方程逐项取Z变换 求差分方程解的Z变换表达式C z 通过Z反变换求差分方程的时域解c k 已知系统差分方程 初始状态和r k 如下 例 试用Z变换法计算输出序列c k k 0 解 超前差分方程c k 2 5c k 1 6c k r k 与迭代法比较 Z变换法得到通项式 脉冲传递函数的定义 2 2脉冲传递函数 在零初始条件下 系统输出采样信号的Z变换 与输入采样信号的Z变换之比 注意 在输入端必须有采样开关 实际开环离散系统 系统的输出往往是连续信号而不是采样信号 此时 可在系统输出端虚设一个理想采样开关 虚设的采样开关与输入采样开关同步工作 并具有相同的采样周期 虚设的采样开关是不存在的 它只表明了脉冲传递函数所能描述的只是输出连续函数在采样时刻上的离散值 二脉冲传递函数的物理意义 脉冲传递函数的含义是 系统脉冲传递函数G z 就等于单位脉冲响应序列K nT 的Z变换 三 脉冲传递函数求法 连续系统的脉冲传递函数G z 可以通过其传递函数G s 来求取 具体处理为 根据Z变换表 可以直接从G s 得到G z 而不必逐步推导 即定义G s 的Z变换 四 开环系统脉冲传递函数 1 采样拉氏变换的重要性质 若采样函数的拉氏变换E s 与连续函数的拉氏变换G s 相乘后再离散化 则E s 可以从离散符号中提出来 即 采样函数的拉氏变换具有周期性 即 1 串联环节之间有采样开关 开环系统脉冲传递函数 2 有串联环节时的开环系统脉冲传递函数 2 串联环节之间无采样开关 开环系统脉冲传递函数为 3 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数 零阶保持器的开环离散系统 上图的等效开环系统 4 有并联环节时的开环系统脉冲传递函数 并联环节的开环系统脉冲传函数为 五 闭环系统脉冲传递函数 注意 在求离散控制系统的闭环脉冲传递函数时 要根据采样开关的实际情况进行具体分析 对偏差信号进行采样的系统 可求得系统的闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数 不对偏差信号进行采样的系统 只能求出系统输出采样信号的Z变换函数C z 1 对偏差信号进行采样的系统 对偏差进行采样的闭环离散系统结构图 1 闭环离散系统对于输入量的误差脉冲传递函数 2 闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数 3 闭环离散系统的特征方程 结论 对偏差信号进行采样的离散系统其闭环脉冲传递函数与连续系统的闭环传递函数形式上很相似 注意 2 不对偏差信号进行采样的系统 不对偏差进行采样的闭环离散系统结构图 E s C s 结论 不对偏差信号进行采样的离散系统不能求出脉冲传递函数 只能求出系统输出采样信号的Z变换函数C z 3 闭环系统的脉冲传递函数计算 注意采样开关位置 列写出方框图中信号间 Y z GH z E z C z G z E z E z R z Y z 图7 26 的关系式 绘制出离散系统方框图或信号流图 Y z H z C z C z G z E z E z R z Y z 表7 3 7 N z G1G2 z X z C z G1 z X z X z R z Y z N z Y z G3 z C z 题7 10 a G1 z G3 z X z 输入端无采样开关系统的C z 计算 XR z RG1 z C z G2 z X z X z XR z XY z XY z G2HG1 z X z 表7 3中 第2项 表7 3 第5项 XR z RG1 z C z G3 z X2 z X2 z G2 z X1 z XY z G3HG1 z X2 z X1 z XR z XY z 表7 3 第6项 CR z RG z C z RG z GH z C z CY z GH z C z C z CR z CY z 第3章离散系统分析 3 1离散系统的稳定性与稳态误差 3 2离散系统的动态性能分析 3 1离散系统的稳定性与稳态误差 一 S域到Z域的映射 S域到Z域的映射关系为 S域中的任意点用直角坐标表示为 映射到Z域则为 因此 S域到Z域的基本映射关系式为 即 z的模仅对应于s的实部 z的幅角仅对应于s的虚部 图3 1S平面虚轴在Z平面上的映射 1 等 线映射 图3 2S平面和Z平面上的等 轨迹 2 等 线映射 图3 3S平面和Z平面上的等 轨迹 3 等线映射 图3 4S平面和Z平面上的等轨迹 图3 5左半S平面上的主要带在Z平面上的映射 S平面和Z平面的映射关系可以总结如下 图3 6S平面与Z平面的映射关系 当且仅当离散系统特征方程D z 0的全部特征根zi均分布在Z平面的单位圆内 或者所有特征根的模均小于1 即 zi 1 则相应的线性定常离散系统是稳定的 二 离散系统稳定的充分必要条件 1 稳定性定义 当扰动作用消失后 系统恢复到原平衡状态的性能 2 离散系统稳定的充分必要条件 例1 设离散系统如下图 其中 H s 1 T 1s 试分析系统的稳定性 三 离散系统的稳定性判据 1 w域中的劳思稳定判据 1 w变换 双线性变换 图3 7Z平面与w平面的映射关系 具体步骤 求离散系统在Z域的特征方程 D z 0 进行w变换 得w域的特征方程 D w 0 对w域的特征方程 应用劳思判据判断系统稳定性 例2 例7 28 设闭环离散系统如图所示 其中T 0 1s 求系统稳定时K的界值 2 劳思稳定判据 2 朱利稳定判据 设离散系统n阶闭环特征方程为 利用特征方程系数 按P353表7 4方法构造 2n 3 行 n 1 列朱利阵列 表3 1朱利矩阵 在朱利阵列中 第2k 2行 即偶数行 各元是2k 1行 即奇数行 各元的反序排列 从第三行起 阵列中各元的定义如下 例4 例7 29 已知离散系统闭环特征方程试用朱利稳定判据判断系统的稳定性 四采样周期和开环增益对闭环离散系统稳定性的影响 连续系统的稳定性取决于系统的开环增益K 系统的零极点分布和传输延迟等因素 但是 影响离散系统稳定性的因素 除与连续系统相同的上述因素外 还会受到采样周期T的影响 因为在两个采样时刻之间 离散系统处于开环控制 所以 将稳定的连续系统进行采样 所得到的离散系统不一定稳定 例6 例7 30 设有零阶保持器的系统如图所示 试求 1 当采样周期T分别为1s和0 5s时 系统的临界开环增益Kc 2 当r t 1 K 1 T分别为0 1s 1s 2s 4s时 系统的输出响应c kT 解 1 当T 1s时 系统在0 K 2 4时稳定 即Kc 2 4 当T 0 5s时 系统在0 K 4 37时稳定 即Kc 4 37 这说明 当采样周期一定时 加大开环增益会使离散系统的稳定性变差 甚至使系统变得不稳定 2 K 1时 T分别取0 1s 1s 2s 4s时的系统输出响应c kT 如下图所示 这说明 当开环增益一定时 采样周期越长 丢失的信息越多 对离散系统稳定性及动态性能均不利 甚至可使系统不稳定 五 离散系统的稳态误差 图3 9单位反馈离散系统 可利用Z变换的终值定理计算采样瞬时的稳态误差 离散系统的稳态误差 误差信号的稳态分量e 例7 例7 31 系统如下图所示 试求 1 r t 1 t 2 r t t时的系统稳态误差 六 离散系统的型别与静态误差系数 在离散系统中 由于把开环脉冲传递函数G z 具有z 1的极点数作为划分离散系统型别的标准 即把G z 中z 1极点数为0 1 2 的系统 分别称为0型 型和 型离散系统等 r t e t e t E z c t c t 图3 11单位负反馈离散系统 该系统误差脉冲传递函数为 若系统是稳定的 则可用Z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差 即 1 单位阶跃输入时的稳态误差 当系统输入为r t 1 t 时 其Z变换函数 稳态误差 式中 称为静态位置误差系数 对0型系统 对 型或 型以上系统 2 单位斜坡输入时的稳态误差 当系统输入为r t t时 其Z变换函数 稳态误差 式中 称为静态速度误差系数 对0型系统 对 型系统 为有限值 为有限值 对 型及以上系统 3 单位加速度输入时的稳态误差 当系统输入为时 其Z变换函数 稳态误差 式中 称为静态加速度误差系数 对0型及 型系统 对 型系统 为有限值 为有限值 对 型及以上系统 关于稳态误差 注意以下几个概念 系统的稳态误差只能在系统稳定的前提下求得 如果系统不稳定 也就无所谓稳态误差 稳态误差为无限大并不等于系统不稳定 只表明该系统不能跟踪所输入的信号 上面讨论的稳态误差只是由系统的构造及外界输入作用所决定的原理误差 并非是由系统元部件精度引起的 3 2离散系统的动态性能分析 离散系统的时间响应采样器和保持器对系统性能的影响闭环极点与动态响应的关系 一 离散系统的时间响应 离散系统的时域指标的定义与连续系统的时域指标相同 即假定外作用为单位阶跃函数1 t 用系统的阶跃响应来定义离散系统的时域性能指标 这些性能指标主要包括上升时间tr 峰值时间tp 调节时间ts和超调量 等 具体步骤 1 2通过Z反变换 得到系统阶跃响应的输出脉冲序列c t 3根据单位阶跃响应曲线就可以方便地分析离散系统的动态和稳态性能 例7 32 系统如图所示 T 1秒 r t 1 t 分析离散系统的动态和稳态性能 解 长除法得c nT n 0 1 2 如下 根据c n 的数值可以得到近似的离散系统时 域性能指标 峰值时间tp 4秒 超调量 40 调节时间ts 12秒 0 05 ts 15 5秒 0 02 二采样器和保持器对动态性能的影响 该离散系统的性能劣于原连续系统 就是说 采 样器和保持器使系统的动态性能降低 若某系统是一连续系统的对应离散系统 则 连续系统的闭环传递函数为 是对应的连续系统 在例7 32中除去采样开关和零阶保持器 就 单位阶跃响应为 离散系统与连续系统的阶跃响应比较如下 若在例7 32中保留采样开关 除去零阶保持 该离散系统的闭环脉冲传递函数为 则系统的单位阶跃响应为 长除法得c nT n 0 1 2 如下 器 就可以了解零阶保持器的作用 0 000 0 632 1 097 1 207 1 117 1 014 0 964 0 970 0 991 1 004 1 007 1 003 1 000 1 000 1 000 为便于比较 将三条响应曲线绘制在一起 带零阶保持器的离散系统 连续系统 仅有采样开关的采样系统 采样器和保持器对动态性能的影响 1 采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小 但使超调量增大 故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度 2 零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长 超调量和振荡次数也增加 这是因为除了采样造成的不稳定因素外 零阶保持器的相角滞后降低了系统的稳定程度 三 闭环极点与动态响应的关系 在闭环极点与动态响应的关系上 离散系统要比连续系统复杂得多 离散系统闭环脉冲传递函数的极点在Z平面上的分布情况 对系统的动态响应具有重要影响 了解闭环极点与动态响应的关系 才能分析和设计离散系统 1 正实轴上的闭环单极点 2 负实轴上的闭环单极点 3 Z平面上的闭环共轭复数极点 Re 图3 15闭环实极点分布与相应的动态响应形式 由图3 15可见 闭环实极点分布与相应动态响应形式的关系如下 若闭环实数极点位于Z平面的右半平面 则输出动态响应形式为单向正脉冲序列 实极点位于单位圆内 脉冲序列收敛 且实极点越接近原点 收敛越快 实极点位于单位圆上 脉冲序列等幅变化 实极点位与单位圆外 脉冲序列发散 若闭环实数极点位于Z平面的左半平面 则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列 实极点位于单位圆内 双向脉冲序列收敛 且实极点越接近原点 收敛越快 实极点位于单位圆上 双向脉冲序列等幅变化 实极点位于单位圆外 双向脉冲序列发散 Re 图3 16闭环复数极点分布与相应动态响应形式 由图3 16可见 闭环共轭复数极点分布与相应动态响应形式的关系如下 位于Z平面上单位圆内的共轭复数极点 对应输出动态响应的形式为振荡收敛脉冲序列 但复极点位于左边单位圆内所对应的振荡频率 要高于右边单位圆内的情况 总结 离散系统的动态特性与闭环极点的分布密切相关 当闭环实极点位于Z平面上左半单位圆内时 由于输出衰减脉冲交替变号 故动态过程质量很差 当闭环复极点位于左半单位圆内时 由于输出衰减高频振荡脉冲 故动态过程性能欠佳 因此 在离散系统设计时 应该把闭环极点安置在Z平面的右半单位圆内 且尽量靠近原点 第4章离散系统设计 离散系统设计是指在给定系统性能指标的条件下 设计出控制器的控制规律和相应的数字控制算法 其实 设计离散系统 即计算机控制系统 主要就是设计数字控制器 数字控制器的设计方法 经典法 状态空间设计法 模拟化设计方法离散化设计方法 模拟化设计方法 间接设计法 该方法忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器 在S域中按连续系统进行初步设计 求出连续控制器 然后再通过某种近似 将连续控制器变换为数字控制器 离散化设计方法 直接数字设计法 该方法将被控对象和保持器组成的连续部分离散化 求出系统的脉冲传递函数 然后直接应用离散控制理论的一套方法进行分析和综合 设计出满足控制指标的数字控制器 4 1模拟化设计方法 模拟化设计方法是假定采样频率足够高 这样就可以忽略采样器和保持器的影响 从而将数字控制系统看成是连续控制系统 用连续系统设计理论 设计满足要求 并留有足够余地的连续控制器 再选用适当的离散化方法 获取所需的数字控制器 一 模拟化设计步骤 R s C s 图4 1连续控制系统 R s C s D s 图4 2数字控制系统 任务 用连续系统的设计方法确定D s 再由D s 求出图4 2中所示的数字控制器D z D s 4 1模拟化设计方法 模拟化设计的大致步骤是 用连续系统的设计理论确定D s 采用合适的离散化方法由D s 求D z 检查图4 2所示系统的性能是否满足要求 将D z 化为差分算式 并编制计算机程序 需要时进行仿真 检查系统设计与程序编制是否正确 连续控制器离散化的基本思想是 在采样周期很小的条件下 寻找一个与原连续控制器D s 在输入输出关系上近似的数字控制器D z 二 连续控制器的离散化 带有零阶保持器的Z变换法 差分变换法 后向差分法前向差分法 双线性变换法 1 带有零阶保持器的Z变换法 原理 该方法是在原连续控制器的基础上串联一个虚拟的零阶保持器 再进行Z变换 从而得到D s 的离散化形式D z 图4 3带有零阶保持器的离散化过程 带有零阶保持器的Z变换法特点 若D s 稳定 则D z 也稳定 不能保持D s 的频率响应 加虚拟保持器的目的 使该数字控制器的输入更逼近D s 的输入 从而D z 的响应能更加真实地反映原连续控制器的响应 2 差分变换法 该方法的基本思想是 把给定的连续控制器的传递函数化为微分方程 再将其化为等价的差分方程 连续控制器D s 在时间域里用微分方程来表示 当把微分运算用等效差分来近似 就可以得到一个逼近给定微分方程的差分方程 这种等效差分有后向差分 前向差分等方法 1 后向差分法 后向差分的特点 D s 稳定 D z 也稳定 不能保持D s 的频率响应 图4 5S平面到Z平面的后向差分变换 2 前向差分法 前向差分的特点 使稳定的D s 变换为不稳定的D z 故很少使用 图4 7S平面到Z平面的前向差分变换 3 双线性变换法 Tustin图斯汀变换 梯形变换 双线性变换的特点 D s 稳定 D z 也稳定 不能保持D s 的频率响应 图4 9S平面到Z平面的双线性变换 4 2最少拍离散系统设计 离散化设计方法又称直接数字设计法 该方法把控制系统按数字化进行分析 求出系统的脉冲传递函数 然后按离散系统理论设计数字控制器 常见的离散化设计方法有w域波特图设计法 直接设计法等 这里主要介绍如何利用直接设计法的思想进行最少拍随动系统设计 一 数字控制器的脉冲传递函数 R s R s e t C s C s 图4 12具有数字控制器的离散系统 闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数的关系 数字控制器的脉冲传递函数为 直接设计法设计数字控制器的主要思路是 根据对离散系统性能指标的要求 构造闭环脉冲传递函数或误差脉冲传递函数 然后利用关系式确定数字控制器的脉冲传递函数D z 并加以实现 由此可见 问题归结为如何构造和 二 最少拍系统设计 Deadbeatsystem简称DB 拍 通常称离散系统中的一个采样周期为一拍 最少拍 随动 系统定义 是指在典型输入作用下 能以有限拍结束瞬态响应过程 拍数最少 且在采样时刻上无稳态误差的随动系统 对最少拍系统的要求是 1 对典型输入信号的稳态误差等于零 2 对典型输入信号的过渡过程在最少个采样周期内结束 3 数字控制器是物理可实现的 4 闭环系统和数字控制器是稳定的 1 对典型输入信号稳态误差为零的条件 典型输入可表示为如下一般形式 根据Z变换的终值定理 离散系统的稳态误差为 上式表明 使为零的条件是中包含有的因子 即 A z 是不含 1 z 1 因子的z 1的多项式 F z 是不含 1 z 1 因子的待定的z 1的多项式 2 使过渡过程时间最短的条件 由脉冲传递函数的物理含义可知 可以看作是系统单位脉冲响应序列的Z变换 而对于一个物理系统 如果该系统对输入的响应迅速 表现在该系统的单位脉冲响应衰减的快 相应的以z 1为变量的展开式的项数就少 因此 从对典型输入的调节时间尽量短来考虑 要求以z 1为变量的展开式的项数应尽量少 3 D z 的物理可实现条件 D z 要是物理可实现的 则要求其分母多项式的阶次大于等于分子多项式的阶次 由于所以的分母与分子多项式阶次之差应大于 等于G z 的分母与分子多项式的阶次之差 才能保证D z 的物理可实现性 当G z 中出现纯延迟环节时 设计时应让中包含G z 中的纯延迟环节 从而保证D z 是物理上可实现的 即 当G z 中的含有单位圆上和单位圆外零 极点的处理方法 1 G z 中含有位于单位圆上及单位圆外的极点时 由可知 G z 中有单位圆上或单位圆外的极点时 为保证稳定 设计时应让的零点中含有G z 的不稳定极点 4 闭环系统和数字控制器稳定的条件 由可知 G z 中有单位圆上或单位圆外的零点时 要保证D z 稳定 设计时应该让的零点中含有G z 的不稳定零点 2 G z 中含有位于单位圆上及单位圆外的零点时 在最少拍设计时 及的选取应遵循下述原则 1 的分子中必须包含 1 z 1 m因子 保证系统稳态误差为零 2 以z 1为变量的展开式的项数应尽量少 保证随动系统为最少拍系统 3 的分母与分子多项式阶次之差应大于 等于G z 的分母与分子多项式的阶次之差 保证D z 是物理可实现的有理多项式 4 的零点必须包含G z 中位于单位圆上及单位圆外的极点 保证闭环系统稳定 5 的零点必须包含G z 中位于单位圆上及单位圆外的零点 保证控制器D z 稳定 6 中必须包含G z 中的纯延迟环节 保证控制器是物理可实现的 三 典型的最少拍系统设计 所谓典型最少拍系统设计 是指在G z 无延迟 且不含不稳定零点和不稳定极点 即不含单位圆上和单位圆外的零极点 且G z 的分母多项式最多比分子多项式高一次这样的条件下 设计最少拍系统在不同典型输入作用下的数字控制器脉冲传递函数D z 注 在上述条件下构造和时 只需考虑六条设计原则中的前三条即可 故取就可满足前三点要求 1 单位阶跃输入时设计最少拍系统的数字控制器D z 当r t 1 t 时 则 得数字控制器脉冲传递函数为 误差脉冲序列和输出脉冲序列的Z变换为 根据Z变换的定义式 知 图4 13最少拍系统的单位阶跃响应序列 说明 最少拍系统经过一拍便可完全跟踪输入r t 1 t 这样的离散系统称为一拍系统 其调节时间ts T r t 2 单位斜坡输入时设计最少拍系统的数字控制器D z 当r t t时 则 得数字控制器脉冲传递函数为 误差脉冲序列和输出脉冲序列的Z变换为 根据Z变换的定义式 知 图4 14最少拍系统的单位斜坡响应序列 说明 最少拍系统经过二拍便可完全跟踪输入r t t 这样的离散系统称为二拍系统 其调节时间ts 2T 3 单位加速度输入时设计最少拍系统的数字控制器D z 当时 则 得数字控制器脉冲传递函数为 误差脉冲序列和输出脉冲序列的Z变换为 根据Z变换的定义式 知 图4 15最少拍系统的单位加速度响应序列 说明 最少拍系统经过三拍便可完全跟踪输入 这样的离散系统称为三拍系统 其调节时间ts 3T 四 两点说明 1 最少拍系统的调节时间 只与所选择的的形式有关 而与典型输入信号的形式无关 例5