整式的运算技巧

整式的运算整式的运算 整式的加减整式的加减 一 整式的有关概念 1 单项式 单项式 1 概念 注意 单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系 例如 2 x 可以看成 1 2 x 所以 2 x 是单项式 而 2 x 表示 2 与x的商 所以 2 x 不是单项式 凡是分母中含有字母的就一定不是单项式 2 系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 例如 2 1 2 x y 的 系数是 1 2 2 r 的系数是2 注意 单项式的系数包括其前面的符号 当一个单项式的系数是 1 或 1 时 1 通常省略不写 但符号不能省略 如 23 xy a b c 等 是数字 不是字母 3 次数 一个单项式中 所有字母指数的和叫做这个单项式的次数 注意 注意 计算单项式的次数时 不要漏掉字母的指数为 1 的情况 如 32 2xy z的次数为1 326 而不是 5 切勿加上系数上的指数 如 52 2 xy的 次数是 3 而不是 8 32 2 x y 的次数是 5 而不是 6 2 多项式 多项式 1 概念 几个单项式的和叫做多项式 其含义是 必须由单项式组成 体现和的运算法则 2 项 在多项式中 每一个单项式叫做多项式的项 其中不含字母的项 叫常数项 一个多项式含有几个单项式就叫几项式 例如 2 231xy 共含有有 三项 分别是 2 2 3 1xy 所以 2 231xy 是一个三项式 注意 多项式的项包括它前面的符号 如上例中常数项是1 而不是 1 3 次数 多项式中 次数最高项的次数 就是这个多项式的次数 注意 注意 要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆 而误认为多项式的 次数是各项次数之和 例如 多项式 2242 235x yx yxy 中 22 2x y的次数是 4 4 3x y 的次数是 5 2 5xy的次数是 3 故此多项式的次数是 5 而不是 45312 3 整式 整式 单项式和多项式统称做整式 4 降幂排列与升幂排列 降幂排列与升幂排列 1 降幂排列 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起 来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列 2 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这 个多项式按这个字母的升幂排列 注意 降 升 幂排列的根据是 加法的交换律和结合律 把一个多 项式按降 升 幂重新排列 移动多项式的项时 需连同项的符号一起移动 在进行多项式的排列时 要先确定按哪个字母的指数来排列 例如 多项式 244233 32xyxyx yx y 按x的升幂排列为 422334 32yxyx yx yx 按 y的降幂排列为 423234 32yx yxyx yx 二 整式的加减二 整式的加减 1 同类项 同类项 所含的字母相同 并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同 类项 注意 同类项与其系数及字母的排列顺序无关 例如 23 2a b与 32 3b a 是同 类项 而 23 2a b与 32 5a b却不是同类项 因为相同的字母的指数不同 2 合并同类项 合并同类项 1 概念 把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项 注意 合并同类项时 只能把同类项合并成一项 不是同类项的不能合 并 如235abab 显然不正确 不能合并的项 在每步运算中不要漏掉 2 法则 合并同类项就是把同类项的系数相加 所得的结果作为系数 字母和字母的指数保持不变 注意 合并同类项 只是系数上的变化 字母与字母的指数不变 不能 将字母的指数相加 合并同类项的依据是加法交换律 结合律及乘法分配律 两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是 0 3 去括号与填括号 去括号与填括号 1 去括号法则 括号前面是 把括号和它前面的 去掉 括 号内的各项都不变号 括号前面是 把括号和它前面的 去掉 括 号内的各项都改变符号 注意 去括号的依据是乘法分配律 当括号前面有数字因数时 应先利 用分配律计算 切勿漏乘 明确法则中的 都 字 变符号时 各项都变 若不变符号 各项都不变 例如 abcabc abcabc 当出现多层括号时 一般由里向外逐层去括号 如遇特殊情况 为了简便运算 也可由外向内逐层去括号 2 填括号法则 所添括号前面是 号 添到括号内的各项都不变号 所添括号前面是 号 添到括号内的各项都改变符号 注意 添括号是添上括号和括号前面的 或 它不是原来多 项式的某一项的符号 移 出来的 添括号和去括号的过程正好相反 添括 号是否正确 可用去括号来检验 例如 abcabcabcabc 4 整式的加减 整式的加减实质上是去括号和合并同类项 其一般步骤是 1 如果有括号 那么先去括号 2 如果有同类项 再合并同类项 注意 整式运算的结果仍是整式 类型一 用字母表示数量关系类型一 用字母表示数量关系 1 填空题 1 香蕉每千克售价 3 元 m 千克售价 元 2 温度由 5 上升 t 后是 3 每台电脑售价 x 元 降价 10 后每台售价为 元 4 某人完成一项工程需要 a 天 此人的工作效率为 思路点拨思路点拨 用字母表示数量关系 关键是理解题意 抓住关键词句 再用适当 的式子表达出来 举一反三 举一反三 变式 某校学生给 希望小学 邮寄每册元的图书 240 册 若每册图书的邮 费为书价的 5 则共需邮费 元 类型二 整式的概念类型二 整式的概念 2 指出下列各式中哪些是整式 哪些不是 1 x 1 2 a 2 3 4 S R2 5 6 总结升华总结升华 判断是不是整式 关键是了解整式的概念 注意整式与等式 不等 式的区别 等式含有等号 不等式含有不等号 而整式不能含有这些符号 举一反三 举一反三 变式 把下列式子按单项式 多项式 整式进行归类 x2y a b x y2 5 29 2ax 9b 5 600 xz axy xyz 1 分析分析 本题的实质就是识别单项式 多项式和整式 单项式中数和字母 字母 和字母之间必须是相乘的关系 多项式必须是几个单项式的和的形式 类型三 同类项类型三 同类项 3 若与是同类项 那么 a b 的值分别是 A a 2 b 1 B a 2 b 1 C a 2 b 1 D a 2 b 1 思路点拨思路点拨 解决此类问题的关键是明确同类项定义 即字母相同且相同字母的指 数相同 要注意同类项与系数的大小没有关系 解析解析 由同类项的定义可得 a 1 b 且 2a b 3 解得 a 2 b 1 故选 A 举一反三 举一反三 变式 在下面的语句中 正确的有 a2b3与a3b2是同类项 x2yz 与 zx2y 是同类项 1 与 是同类项 字母相同的项是同类项 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析解析 中 a2b3与a3b2所含的字母都是 a b 但 a 的次数分别是 2 3 b 的次数分别是 3 2 所以它们不是同类项 中所含字母相同 并且相同字母的 指数也相同 所以x2yz 与 zx2y 是同类项 不含字母的项 常数项 都是 同类项 正确 根据 可知 不正确 故选 B 类型四 整式的加减类型四 整式的加减 4 化简 m n m n 的结果是 A 0 B 2m C 2n D 2m 2n 思路点拨 思路点拨 按去括号的法则进行计算 括号前面是 号 把括号和它前面 的 号去掉 括号里各项都改变符号 解析 解析 原式 m n m n 2n 故选 C 举一反三 举一反三 变式 计算 2xy 3xy 分析 分析 按合并同类项的法则进行计算 把系数相加所得的结果作为系数 字母 和字母的指数不变 注意不要出现 5x2y2的错误 答案 答案 5xy 5 化简代入求值法 已知 x y 求代数式 5x2y 2xy2 3xy 2xy 5x2y 2xy2 思路点拨 思路点拨 此题直接把 x y 的值代入比较麻烦 应先化简再代入求值 解析解析 原式 5x2y 2xy2 3xy 2xy 5x2y 2xy2 5xy 当 x y 时 原式 5 总结升华 总结升华 求代数式的值的第一步是 代入 即用数值替代整式里的字母 第二步是 求值 即按照整式中指明的运算 计算出结果 应注意的问题是 当整式中有同类项时 应先合并同类项化简原式 再代入求值 举一反三 举一反三 变式变式 1 当 x 0 x x 2 时 分别求代数式的 2x2 x 1 的值 解解 当 x 0 时 2x2 x 1 2 02 0 1 1 当 x 时 2x2 x 1 2 当 x 2 时 2x2 x 1 2 2 2 2 1 2 4 2 1 11 总结升华 总结升华 一个整式的值 是由整式中的字母所取的值确定的 字母取值不同 一般整式的值也不同 当整式中没有同类项时 直接代入计算 原式中的系数 指数及运算符号都不改变 但应注意 当字母的取值是分数或负数时 代入时 应将分数或负数添上括号 变式变式 2 先化简 再求值 3 2x2y 3xy2 xy2 3x2y 其中 x y 1 解 解 3 2x2y 3xy2 xy2 3x2y 6x2y 9xy2 xy2 3x2y 6x2y 9xy2 xy2 3x2y 9x2y 10 xy2 当 x y 1 时 原式 9 1 10 1 2 总结升华总结升华 解题的基本规律是先把原式化简为 9x2y 10 xy2 再代入求值 化简 降低了运算难度 使计算更加简便 体现了化繁为简 化难为易的转化思想 变式变式 3 求下列各式的值 1 2x2 x 1 其中 x 2 2 mn 3m 3 2n mn 其中 m n 2 mn 3 解析解析 1 2x2 x 1 2x2 x 1 x2 x 3x2 3 4x2 4 当 x 时 原式 4 4 9 4 5 2 2 mn 3m 3 2n mn 2mn 6m 6n 3mn 5mn 6 m n 当 m n 2 mn 3 时 原式 5 3 6 2 27 类型五 整体思想的应用类型五 整体思想的应用 6 已知 x2 x 3 的值为 7 求 2x2 2x 3 的值 思路点拨思路点拨 该题解答的技巧在于先求 x2 x 的值 再整体代入求解 体现了数 学中的整体思想 解析 解析 由题意得 x2 x 3 7 所以 x2 x 4 所以 2 x2 x 8 即 2x2 2x 8 所以 2x2 2x 3 8 3 5 总结升华总结升华 整体思想就是在考虑问题时 不着眼于它的局部特征 而是将具有 共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法 运用这种方法应从 宏观上进行分析 抓住问题的整体结构和本质特征 全面关注条件和结论 加 以研究 解决 使问题简单化 在中考中该思想方法比较常见 尤其在化简题 中经常用到 举一反三 举一反三 变式变式 1 已知 x2 x 1 0 求代数式 x3 2x2 7 的值 分析 分析 此题由已知条件无法求出 x 的值 故考虑整体代入 解析 解析 x2 x 1 0 x2 1 x x3 2x2 7 x 1 x 2 1 x 7 x x2 2 2x 7 x2 x 5 x2 x 1 6 6 变式变式 2 当 x 1 时 代数式 px3 qx 1 的值为 2003 则当 x 1 时 代数式 px3 qx 1 的值为 A 2001 B 2002 C 2003 D 2001 分析分析 这是一道求值的选择题 显然 p q 的值都不知道 仔细观察题目 不难 发现所求的值与已知值之间的关系 解析 解析 当 x 1 时 px3 qx 1 p q 1 2003 而当 x 1 时 px3 qx 1 p q 1 可以把 p q 看做一个整体 由 p q 1 2003 得 p q 2002 于是 p q p q 2002 所以原式 2002 1 2001 故选 A 变式变式 3 已知 A 3x3 2x 1 B 3x2 2x 1 C 2x2 1 则下列代数式中 化简结果为 3x3 7x2 2 的是 A A B 2C B A B 2C C A B 2C D A B 2C 分析分析 将 A B C 的式子分别代入 A B C D 四个选项中检验 如 A B 2C 3x3 2x 1 3x2 2x 1 2 2x2 1 3x3 2x 1 3x2 2x 1 4x2 2 3x3 7x2 2 答案答案 C 变式 4 化简求值 1 3 a b c 8 a b c 7 a b c 4 a b c 其中 b 2 2 已知 a b 2 求 2 a b a b 9 的值 分析分析 1 常规解法是先去括号 然后再合并同类项 但此题可将 a b c a b c 分别视为一个 整体 这样化简较为简便 2 若想先求出 a b 的值 再代入求值 显然行不通 应视 a b 为一个 整体 解析解析 1 原式 3 a b c 7 a b c 8 a b c 4 a b c 4 a b c 4 a b c 4a 4b 4c 4a 4b 4c 8b 因为 b 2 所以原式 8 2 16 2 原式 2 a b a b 9 a b 9 因为 a b 2 所以原式 2 9 11 类型六 综合应用类型六 综合应用 7 已知多项式 3 ax2 2x 1 9x2 6x 7 的值与 x 无关 试求 5a2 2 a2 3a 4 的值 思路点拨思路点拨 要使某个单项式在整个式子中不起作用 一般是使此单项式的系数 为 0 即可 解析 解析 3 ax2 2x 1 9x2 6x 7 3ax2 6x 3 9x2 6x 7 3a 9 x2 4 因为原式的值与 x 无关 故 3a 9 0 所以 a 3 又因为 5a2 2 a2 3a 4 5a2 2a2 6a 8 3a2 6a 8 所以当 a 3 时 原式 3 32 6 3 8 37 总结升华总结升华 解答此类题目一定要弄清题意 明确题目的条件和所求 当题目中 的条件或所求发生了变化时 解题的方法也会有相应的变化 举一反三 举一反三 变式 1 当 a x 0 为何值时 多项式 3 ax2 2x 1 9x2 6x 7 的值恒等为 4 解析 解析 3 ax2 2x 1 9x2 6x 7 3ax2 6x 3 9x2 6x 7 3a 9 x2 4 因为 3a 9 x2 4 4 所以 3a 9 x2 0 又因为 x 0 故有 3a 9 0 即 a 3 所以当 a 3 时 多项式 3 ax2 2x 1 9x2 6x 7 的值恒等于 4 变式 2 当 a 3 时 多项式 3 ax2 2x 1 9x2 6x 7 的值为多少 解析 解析 3 ax2 2x 1 9x2 6x 7 3ax2 6x 3 9x2 6x 7 3a 9 x2 4 当 a 3 时 原式 3 3 9 x2 4 4 8 已知关于 x 的多项式 a 1 x5 x b 2 2x b 是二次三项式 则 a b 分析分析 由题意可知 a 1 0 即 a 1 b 2 2 即 b 4 或 0 但当 b 0 时 不符合题意 所以 b 4 答案答案 1 4 举一反三 举一反三 变式 若关于的多项式 化简后 是四次三项式 求 m n 的值 答案 答案 m 5 n 1 方法技巧篇一方法技巧篇一 整式的加减技巧整式的加减技巧 一 根据系数特征分组合并一 根据系数特征分组合并 同类项的合并实际上是系数的加减 因此 如何根据系数的特征进行分组合并是合并 同类项时的一种技巧 例例 1 1 计算 y x y x 1 2 y x 1 2 2 x 2 3 2 y 2 x 1 2 2 y 3 2 2 x 2 3 2 y 分析分析 先去括号 得 原式 y x y x 1 2 y x 注意 1 2 2 x 2 3 2 y 2 x 1 2 2 y 3 2 2 x 2 3 2 y 这个多项式共有三类 第一类是y 系数分别是 1 和 第二类是 x 系数分 2 x 1 2 3 2 2 y 别是 和 第三类是常数项 分别是 1 和 2 各类合并时 考虑各类系数的特征 2 3 1 2 2 3 易得解法如下是最简便的 解 原式 y x y x 1 2 y x 1 2 2 x 2 3 2 y 2 x 1 2 2 y 3 2 2 x 2 3 2 y y y x x y x 1 2 1 2 2 x 3 2 2 x 2 3 2 y 2 3 2 y 2 x 1 2 2 y y 0 y 3 2 x 2 x 2y 3 2 x 评注评注 按系数特征合并同类项 一般是将系数为相反数的同类项分为一组 系数能够 凑整的同类项分为一组 系数是同分母的同类项分为一组 二 按整体进行合并二 按整体进行合并 如果多项式出现若干部分相同 则可以把相同的这部分视为整体进行合并 例例 2 2 计算 9 x 1 7 1 x x 1 1 2 1 2 1 2 分析分析 本题中的 1 x 可化为 x 1 x 1 可化为 x 1 2 因此 1 2 1 2 1 2 1 2 先把 x 1 作为整体进行合并 1 2 解 原式 9 x 1 7 x 1 x 1 2 1 2 1 2 1 2 9 7 1 x 1 2 1 2 x 1 2 x 3 1 2 1 2 评注评注 运用整体思想进行整式加减运算时 常常需要选择合适的 整体 然后添括 号 再进行合并 然后再去括号 再合并同类项 三 逆向合并三 逆向合并 一般情况下 在合并同类项时大多是将系数相加减 但有时反过来 视系数为 类 进行合并可以收到意想不到的效果 例例 3 3 计算 2323 2323 xxyy 6 xy 分析分析 注意到同分母的几组式子 将它们分别相加易于计算 于是 解 原式 22 22 xy 33 33 xy 6 xy x y x y 1 2 1 36 xy x y 0 111 236 评注评注 本题从系数入手 无意中构造出 x y 这个整体 然后于运用整体思想得到了 巧妙的解决 真是 无心插柳柳成荫 由上几例可见 合并同类项与有理数运算一样 如果能够先观察一下题目特征而不急 于动笔 然后针对题目特征 打破常规解法 灵活运用一些技巧 则可以起到化繁为简 事半功倍的效果 方法技巧篇二方法技巧篇二 整式的加减整式的加减 一 一 直接代入求值法直接代入求值法 例 当 时 分别求代数式的的值 0 x 2 1 x2 x12 2 xx 二 化简代入求值法二 化简代入求值法 例 已知 求代数式的值 5 1 x 3 1 y 2222 252 325 xyyxxyxyxyyx 解法 1 因式分解法 解法 2 降次法 例 2 代数式的值为 9 则的值为 643 2 xx6 3 42 xx A 7 B 18 C 12 D 9 例 3 已知 求的值 5 1 x x 2 21 x x 解法 1 平方法 解法 2 配方法 例 4 已知中 当时 则当时 y 的值是 5 3 bxaxy3 x7 y3 x A 3 B 7 C 17 D 7 三 说理题解法举例三 说理题解法举例 例 1 做游戏 猜数字 让对方任想一个数 让他做如下运算 乘 5 再加上 6 再 乘 4 再加上 9 再乘 5 把得数告诉你 然后 你只要从中减去 165 再除以 100 你 就可以说出他原来的数 用数字验证 比如 某人想的一个数是 7 那么 第一步 7 5 得 35 第二步 35 6 得 41 第三步 41 4 得 164 第四步 164 9 得 173 第五步 173 5 得 865 他告诉你 865 于是你就算出 865 165 100 7 你自己也可举例 结果 总对 你知道其中的奥妙吗 例 2 在数学自习课上 张老师出了一道整式求值题 张老师把所要求值的整式 367 233 babaa 310363 3233 ababaa 写完后 让小刚同学任意说出一组 a b 的值 再计算结果 当小刚说完 后 小莉很快说出了答案 3 同学们都感到其名其妙 觉得不可2011 2010 ba 思议 张老师满意地说 这个答案准确无误 亲爱的同学 为何能小莉快速得出结果 例 3 小明和小亮在同时计算这样一道求值题 当时 求整式的值 小亮正确求3 a 2 7a 4 14 5 2 aaa 12 2 aa 得结果为 7 而小明在计算时 错把 a 3 看成了 a 3 但计算的结果却也正确 你相信吗 你能说明为什么吗 四 探索规律题的解法四 探索规律题的解法 1 观察题目中的不变量与变量 不变量照写 变量用序号来表示 序号为 n 例 研究下列算式 你会发现什么规律 请你把找出的规律用含正整数 n 的公式表示 2 24131 2 39142 2 416153 2 525164 2 将所给的条件进行适当的变形 再找规律 例 观察等式 1 1421 22 11232 22 12443 22 4054 22 你会发现什么规律 请你把发现的规律用含正整数 n 的公式表示 3 借助于图形观察找规律 例 1 柜台上放着一堆罐头 它们摆放的形状见下图 第一层有 2 3 听罐头 第二层有 3 4 听罐头 第三层有 4 5 听罐头 根据这堆罐头排列的规律 第 n n 为正整数 层有 听罐头 用含 n 的式子表 例 2 图 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案 最上面一层有一个圆圈 以下各层均比上一层多一个圆圈 一共堆了 n 层 将图 倒置后与原图 拼成图 的形状 这样我们可以算出图 中所有圆圈的个数为 2 1 321 nn n 如果图 中的圆圈共有 12 层 1 我们自上往下 在每个圆圈中都按圈 的方式填上一串连续的正整数 1 2 3 4 则最底层最左边这个圆圈中的数是 2 我们自上往下 在每个圆圈中都按圈 的方式填上一串连续的整数 23 22 21 求图 中所有圆圈中各数的绝对值之和 4 借助于表格进行观察 例 用正方形的普通水泥砖 图中白色小正方形 和彩色水泥砖 图中灰色小正方形 按 如图的方式铺人行道 像这样 第 n 个图形需 要彩色水泥砖多少块 五 用字母表示数的思想五 用字母表示数的思想 用字母表示数是代数的一个重要特点 是整个中学数学最基本的知识 是从算术过渡用字母表示数是代数的一个重要特点 是整个中学数学最基本的知识 是从算术过渡 到代数的桥梁 用字母表示数能够把数量关系一般地 简明地表示出来 它是列代数式的到代数的桥梁 用字母表示数能够把数量关系一般地 简明地表示出来 它是列代数式的 基础 深刻理解用字母表示数的意义 掌握它的方法及规律 是学好代数的关键 基础 深刻理解用字母表示数的意义 掌握它的方法及规律 是学好代数的关键 例 l 如图是某个月份的日历 像图中那样 用一个十字框在图中 任意圈住五个数 如果中间的数用 a 表示 则圈住的五个数字的和 可用含 a 的代数式表示为 例 2 如图是 2002 年 6 月份的日历 现有一长方形在日历任意框 4 个数 请用一个等式表示 a b c d 之间的关系 图 图 图 图 例 3 小红对小丽说 有一种游戏 其规则是 你任想一个数 把这个数乘 2 加上 6 再把结果乘 2 再减去 8 再把结果除以 2 最后再减去你所想的数的 2 倍 你不用告 诉我你所想的数是什么 我就能知道结果 请你说明小红为什么知道结果 六 观察 比较 归纳 猜想的数学思想六 观察 比较 归纳 猜想的数学思想 例 1 观察按下列顺序排列的等式 1109 11219 21329 31439 41549 猜想 第 n 个等式 n 为正整数 可以表示成 例 2 衢州市是中国历史文化名城 衢州市烂柯山是中国围棋 文化的重要发样地 如图是用棋子摆成的 巨 字 那么第 4 个 巨 字的棋子数是 按以上规律继续下去 第 n 个 巨 字所需要棋子数是 例 3 观察图中的四个点阵 s 表示每个点阵中的 点个数 按照图形中的点的个数变化规律 猜想 第 n 个点阵中的点的个数 s 为 A B 23 n13 n C D 14 n34 n 例 4 按一定的规律排列的一列数依次为 2 1 3 1 10 1 15 1 26 1 35 1 按此规律排列下去 这列数中的第 7 个数是 用整数 n 表示第 n 个数是 七 整体思想七 整体思想 所谓整体思想 就是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体 加以确定 解所谓整体思想 就是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体 加以确定 解 决 这样往往能使问题的解答简洁 明快 在求代数式的值时 有时问题中的量或字母没决 这样往往能使问题的解答简洁 明快 在求代数式的值时 有时问题中的量或字母没 有直接给出 往往考虑使用有直接给出 往往考虑使用 整体思想整体思想 来解答 来解答 1 1 整体化简整体化简 例 已知 求的值 3 ba5 cb 222 cacbba 2 2 整体变形求解整体变形求解 对于某些比较复杂的条件 如果对其进行整体变形 则可收到事半功倍的效果 对于某些比较复杂的条件 如果对其进行整体变形 则可收到事半功倍的效果 例 1 若 则的值为 0 2 aa200722 2 aa 例 2 当时 求代数式的值 4 ba ba 3 4 2 ba ba ba ba 八 方程思想八 方程思想 例 1 若与是同类项 求的值 32 2 1 ba x64 3bayxyyxy 3333 2443 例 2 若两个单项式与的和仍是一个单项式 则 m n m ba 23 2 1 3 nnb a 九 分类讨论思想九 分类讨论思想 所谓分类讨论思想 是对事物分情况加以讨论的思想 它是根据事物的特点按照某一所谓分类讨论思想 是对事物分情况加以讨论的思想 它是根据事物的特点按照某一 标准不重复 不遗漏地对事物分别归类 分类讨论思想既是一种重要的数学思想 也是一标准不重复 不遗漏地对事物分别归类 分类讨论思想既是一种重要的数学思想 也是一 种解题策略 对于同学们良好的思想品质的形成具有重要意义 种解题策略 对于同学们良好的思想品质的形成具有重要意义 例 1 若 则 2 3 ba ba 例 2 化简 3 bb 4 十 数形结合思想十 数形结合思想 在列代数式时 常常能遇到另外一种类型题 给你提供一定的图形 通过对图形的观在列代数式时 常常能遇到另外一种类型题 给你提供一定的图形 通过对图形的观 察探索 搜集图形透露的信息 并根据相关的知识去列出相应的代数式 察探索 搜集图形透露的信息 并根据相关的知识去列出相应的代数式 例 如图 已知小正方形的边长 圆弧的半径均为 a 计算图中阴影部分的面积 练习题 练习题 一 填空题一 填空题 1 在校举行的运动会上 小勇和小刚都进入了一百米决赛 小勇用了 x 秒 小刚用了 15 秒 小勇获得了冠军 小勇比小刚快 秒 2 计算 2xy y y xy 3 在代数式 1 ab 2 3 1 a 中单项式有 多项式有 22 32 4 5 6 21 7 8 323 xyya bbpq x 整式有 4 根据去括号法则 在下面各式中方框里填 或 号 1 a b c a b c 2 a b c d a b c d 5 当 x 2 时 代数式 x2 2x 1 的值是 6 把多项式 2x2 3x x3 2 按 x 的降幂排列是 7 有理数 a b c 在数轴上的位置如图测所示 则 a b a c 8 已知 a 3 3与 b 1 互为相反数 那么 a b 9 如图测 用黑白两种颜色的正方形纸片 按黑色纸片数逐渐加 1 的规律拼成一列图案 1 第 4 个图案中有白色纸片 张 2 第 n 个图案中有白色纸片 张 10 如果代数式 2y2 3y 7 的值是 8 那么代数式 4y2 6y 9 的值为 二二 化简下列各题 1 5a4 3a2b 10 3a2b a4 1 2 2 2x2 9y 3 5x2 4y 3 a2 ab 2ab b2 2 a2 b2 三 化简求值 1 2x 4x 2y 3x 2y 1 其中 x 3 y 2007 2 xy 2y2 2 4xy 3y2 x2y 5 3y2 x2y 其中 x 1 y 2 2 5 四 某服装厂生产一种西装和领带 西装每套定价 200 元 领带每条定价 40 元 厂方在 开展促销活动期间 向客户提供两种优惠方案 买一套西装送一条领带 西装和领带 都按定价的 90 付款 现某客户要到该服装厂购买西装 20 套 领带 x 条 x 20 1 若该客户按方案 购买 需付款 元 用含 x 的代数式表示 若该客 户按方案 购买 需付款 元 用含 x 的代数式表示 2 若 x 30 通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算 3 当 x 30 时 你能给出一种更为省钱的购买方案吗 试写出你的购买方法 整式的加减整式的加减 提高测试题提高测试题 姓名姓名 班级班级 学号学号 一 一 填空题 本题填空题 本题 2020 分 每小题分 每小题 4 4 分 分 仅当a b c 时 等式a a x x2 2 bxbx c c x x2 2 2 2x x 3 3 成立 仅当b c 时 5x 3y 2与 23 x by c是同类项 煤矿十月份生产a 吨煤 比九月份增产 45 煤矿九月份生产煤 吨 当 3 a 4 时 化简 a 3 a 6 得的结果是 它是一个 数 n张长为acm 的纸片 一张接一张的贴成一个长纸条 每张贴合部分的 长度都是bcm 这个纸条的总长应是 cm 二二 计算下列各题 本题 计算下列各题 本题 3030 分 每小题分 每小题 1010 分 分 5 5a a n n a a n n 7 7a a n n 3 3a a n n 解 2 2x x3 3 3 3x x2 2 6 6x x 5 5 x x3 3 6 6x x 9 9 解 9 9x x 159 159 4 4x x 1111y y 2 2x x 1010y y 2 2x x 解 三 先化简再求代数式的值 5 5a a 2 2 a a 2 2 5 5a a 2 2 2 2a a 2 2 a a 2 2 3 3a a 其中 其中a a 2 1 解 a a 4 4 3 3a a b b 6 6a a 2 2b b2 2 3 3a a b b2 2 4 4a a b b 6 6a a 2 2b b 7 7a a 2 2b b2 2 2 2a a 4 4 其中 其中a a 2 2 b b 1 1 解 四 本题 10 分 已知a 且x为小于 10 的自然数 求正整数a的值 2 15 x 解 五 本题 10 分 代数式 15 a b 2的最大值是多少 当 a b 2 3 取最小值时 a 与b 有什么关系 解 六 本题 10 分 当a 0 b 0 时 化简 5 b b 2a 1 a 解 整式的乘法整式的乘法 一 幂的乘法运算 一 幂的乘法运算 一 知识点讲解 一 知识点讲解 1 1 同底数幂相乘 同底数幂相乘 nm aa 推广 都是正整数 nn nnnnnnnn aaaaa 3213211 n nnnn 321 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 注意底数可以是多项式或单项式 如 235 ababab A 注意 正确处理运算中的 符号 避免以下错误 如 等 例例 1 1 计算 1 2 52 xx 389 2 2 2 3 4 mm aa 11523 xyxyyx 变式练习 变式练习 1 a16可以写成 A a8 a8 B a8 a2 C a8 a8 D a4 a4 2 已知那么的值是 32 x3 2 x 3 计算 1 a a3 a5 2 52 xx 3 4 x y n x y m 1 223 3xxxx 5 n m m n 2 n m 4 2 2 幂的乘方 幂的乘方 n m a 推广 都是正整数 321 3 21 nnn n nn aa 321 nnn 幂的乘方 底数不变 指数相乘 如 1025 3 3 幂的乘方法则可以逆用 即 mnnmmn aaa 如 23326 4 4 4 例例 2 2 计算 1 103 5 2 23 m a 3 4 5 2 2yx 532 mnnm 变式练习 变式练习 1 计算 x5 7 x7 5的结果是 A 2x12 B 2x35 C 2x70 D 0 2 在下列各式的括号内 应填入 b4的是 A b12 8 B b12 6 C b12 3 D b12 2 3 计算 1 2 43 m 3 2 2 4 aa 3 4 m3 4 m10m2 m m3 m8 5342 ppp 3 3 积的乘方 积的乘方 n ab 推广 n m nnn n m aaaaaaaa 321321 积的乘方 等于各因数乘方的积 如 523 2zyx 51015552535 32 2 zyxzyx 注意 正确处理运算中的 符号 避免以下错误 如 等 二 典型例题 二 典型例题 例例 3 3 计算 1 ab 2 2 3x 2 3 332 3 cba 4 5 32 3 yx 20082009 3 3 1 变式练习 变式练习 1 如果 ambn 3 a9b12 那么 m n 的值等于 A m 9 n 4 B m 3 n 4 C m 4 n 3 D m 9 n 6 2 下列运算正确的是 A B C D 22 xxx 22 xyxy 632 xx 422 xxx 3 已知xn 5 yn 3 则 xy 3n 4 计算 1 a 3 2 2x4 3 3 2 4 104 4 5 6 3 23 3yx 32222 2 2 baba 105 4125 0 7 8 333 3 1 3 2 9 4 244 aaa 2 4 3x 4 同底数幂的除法法则 同底数幂的除法法则 都是正整数 且 nmnm aaa nma 0 nm 同底数幂相除 底数不变 指数相减 如 3334 baababab 练习 1 计算 26 aa 25 aa 2 计算 89 1 1 aa 3 计算 23 mnnm 4 下列计算正确的是 A y 7 y 4 y3 B x y 5 x y x4 y4 C a 1 6 a 1 2 a 1 3 D x5 x3 x2 5 计算 的结果 正确的是 4 3 2 5 aaa A B C D 7 a 6 a 7 a 6 a 6 若 则等于 53 x 43 yyx 2 3 A B 6 C 21 D 20 25 4 5 零指数 零指数 即任何不等于零的数的零次方等于 1 1 0 a0a 二 整式的乘法 二 整式的乘法 一 知识点讲解 一 知识点讲解 1 单项式单项式单项式单项式 1 系数相乘作为积的系数 2 相同字母的因式 利用同底数幂的乘法 作为一个因式 3 单独出现的字母 连同它的指数 作为一个因式 注意 注意 积的系数等于各因式系数的积 先确定符号 再计算绝对值 相同字母相乘 运用同底数幂的乘法法则 只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用 单项式乘以单项式 结果仍是一个单项式 如 xyzyx32 32 二 典型例题 二 典型例题 1 下列计算的结果正确的是 A x2 x 2 x4 B x2y3 x4y3z x8y9z C 4 103 8 105 3 2 109 D a b 4 a b 3 a b 7 2 计算 5ax 3x2y 2的结果是 A 45ax5y2 B 15ax5y2 C 45x5y2 D 45ax5y2 3 2xy2 x2y 5a3bc 3ac2 1 3 5ab2x a2bx3y 3a3bc 3 2ab2 3 10 2 4 已知 am 2 an 3 则 a3m n a2m 3n 5 若单项式 3a2m nb2与 4a3m nb5m 8n同类项 那么这两个单项式的积是多 少 2 单项式单项式多项式多项式 单项式分别乘以多项式的各项 将所得的积相加 注意 注意 单项式与多项式相乘 积仍是一个多项式 项数与多项式的项数相同 积是一个多项式 其项数与多项式的项数相同 运算时要注意积的符号 多项式的每一项都包括它前面的符号 在混合运算时 要注意运算顺序 结果有同类项的要合并同类项 如 3 32 2yxyyxx 二 典型例题 二 典型例题 1 4a b2 2b 3x2y 2x 1 2xy 2 3a2b 4ab2 5ab 1 2ab2 3 4a3 12a2b 7a3b3 4a2 4 3x 2x2 x 4 5 先化简 再求值 3a 2a2 4a 3 2a2 3a 4 其中 a 2 6 先化简 再求值 2 a2b ab2 2 a2b 1 ab2 2 其中 a 2 b 2 3 多项式多项式多项式多项式 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 注意注意 运算的结果一般按某一字母的降幂或升幂排列 二 典型例题 二 典型例题 1 2x 3y 3x 2y 2 x 2 x 3 x 6 x 1 3 5x 2x 1 2x 3 x 5 2 4 3x 2y 2x 3y x 3y 3x 4y 5 的展开式中 项的系数是 2 6 xa xxb 2 x 6 要使多项式 不含关于 x 的二次项 则 p 与 q 的关 2 2 系是 A 相等 B 互为相反数 C 互为倒数 D 乘积为 1 7 若 x a x 2 x2 5x b 则 a b 8 若 a2 a 1 2 则 5 a 6 a 9 当 k 时 多项式 x 1 与 2 kx 的乘积不含一次项 10 已知中不含 3 次项 试确定的值 2232 2363xxaxxx a 11 2x 1 2x 1 5x x 3y 4x 4x2 y 其中 x 1 y 2 5 2 三 乘法公式 三 乘法公式 一 知识点讲解 一 知识点讲解 1 平方差公式 baba 变式 1 2 abba baba 3 4 baba baba 2 完全平方公式 2 ba 公式变形 1 abbaabbaba2 2 2222 2 3 abbaba4 22 abbaba4 22 4 5 abbaba4 22 2 2222 bababa 二 典型例题 二 典型例题 例例 2 2 计算 1 x 2 x 2 2 5 a 5 a 3 4 52 52 yxyx 2222 33xyyx 5 6 20021998 422 2 xxx 变式练习 变式练习 1 直接写出结果 1 x ab x ab 2 2x 5y 2x 5y 3 x y x y 4 12 b2 b2 12 5 2x 3 3 2x 6 a5 b2 a5 b2 2 在括号中填上适当的整式 1 m n n2 m2 2 1 3x 1 9x2 3 如图 边长为 a 的正方形中有一个边长为 b 的小正方形 若将图 1 的阴影部分拼成一个 长方形 如图 2 比较图 1 和图 2 的阴影部分的面积 你能得到的公式是 4 计算 1 2 baba5252 2 3 2 3 22 b a b a 3 4 m2n 2 m2n 2 7 6 9 7 1 10 5 6 a b c a b c 2222 5252baba 5 已知 求的值 02 6 22 yxyx5 yx 例例 3 3 填空 1 x2 10 x 5 2 2 x2 16 4 2 3 x2 x x 2 4 4x2 9 3 2 例例 4 4 计算 1 2 x 2 2 2 2 2 yxyx 3 4 22 1 2 1 x 2 999 例例 5 5 已知 求 2 1 2 x x x x 1 3 1 1 2 2 x x 例例 6 6 化简求值 其中 22 32323232babababa 3 1 2 ba 变式练习 变式练习 1 设 则 P 的值是 pnmnm 22 23 23 A B C D mn12mn24mn6mn48 2 若是完全平方式 则 k kxx 6 2 3 若 a b 5 ab 3 则 22 ba 4 若 则代数式的值为 2 1 2 x52 2 xx 5 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式 例如 根据图甲 我们可以得到两 数和的平方公式 你根据图乙能得到的数学公式是 222 2 bababa 6 已知 1 5 1 2 2 a a a a 7 计算 1 3a b 2 2 3x2 5y 2 3 5x 3y 2 4 4x3 7y2 2 5 3mn 5ab 2 6 a b c 2 7 8 2 8 79 22 yxyx 8 化简求值 其中 22 2 2 2 12 xxxx 2 1 1 x 9 已知 求下列各式的值 1 2 49 2 yx1 2 yx 22 yx xy 整式的除法整式的除法 整式的除法分为单项式除以单项式和多项式除以单项式 主要进行公式计算 单项式的除法 单项式相除 把它们的系数相除 同底数幂的幂相减 作为商的一个因式 对于只在 被除式里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式 再把所得的商相加 单项式除以多项式 用多项式先除以单项式的每一项 再将所得的商相加 合并同类 项后取倒数 注意 是整个多项式取倒数 而不是每一项分别取倒数后合并 二 典型例题 二 典型例题 例题例题 下列计算 正确的是 C A x4 x3 x B x6 x3 x2C x x3 x4D xy3 2 xy6 练习 练习 1 下列计算正确的是 D A 2a2 a2 3a4B a6 a2 a3C a6 a2 a12 D a6 2 a12 2 若 3x 4 9y 7 则 3x 2y的值为 A A B C 3 D 4 7 7 4 2 7 例 例 先化简 再求值 其中 22 2222xyxyx yxy 1 10 25 xy 练习 练习 1 4x4y2 2xy 2 3 2 a2 3 a3 4 5x2y 5xy2 5 ym 2n 6 ym 2 6 5my2z m2y3z4 7 16a3 24a2 8a2 8 m n 2 m n m n 2 10 计算 8x4y 12x3y2 4x2y3 4x2y a b a b a4 a2b2 b4 b6 a6 3 ab 2 3a 2 ab 3 12a3b2 2mn 2 m2 n2 m2n2 3 m3n4 3m2n4 162m 82n 4m 43 n m 1 4xn 1yn 2 2 xn 2yn 1 因式分解因式分解 定义 定义 把一个多项式在一个范围 如有理数范围内分解 即所有项均为有理数 化为几 个整式的积的形式 这种式子变形叫做这个多项式的因式分解因式分解 也叫作把这个多项式分解 因式 1 意义 意义 是中学数学中最重要的恒等变形之一 它被广泛地应用于初等数学之中 在数 学求根作图 解一元二次方程方面也有很广泛的应用 是解决许多数学问题的有力工具 特性 特性 因式分解方法灵活 技巧性强 学习这些方法与技巧 不仅是掌握因式分解内 容所必需的 而且对于培养解题技能 发展思维能力都有着十分独特的作用 学习它 既 可以复习整式的四则运算 又为学习分式打好基础 学好它 既可以培养学生的观察 思 维发展性 运算能力 又可以提高综合分析和解决问题的能力 基本结论 基本结论 分解因式与整式乘法为相反 高级结论 高级结论 在高等数学上因式分解有一些重要结论 在初等数学层面上证明很困难 但是理解很容易 1 因式分解与解高次方程有密切的关系 对于一元一次方程和一元二次方程 初中 已有相对固定和容易的方法 在数学上可以证明 对于一元三次方程和一元四次方程 也 有固定的公式可以求解 只是因为公式过于复杂 在非专业领域没有介绍 对于分解因式 三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法 只是比较复杂 对于五次以上的一般多项 式 已经证明不能找到固定的因式分解法 五次以上的一元方程也没有固定解法 2 所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解 所有的二次 或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解 这看起来或许有点不可思议 比 如 x4 1 这是一个一元四次多项式 看起来