参考文献-Mathematica软件在数学教学中的应用探索

第29卷第6期计算机应用与软件Vol.29No62012年6月ComputerApplicationsandSoftwareJun2012Mathematica软件在数学教学中的应用探索孔祥强(菏泽学院数学系山东菏泽274000)收稿日期:20111212。2011年山东省统计局重点课题项目(KT11048);菏泽学院重点教改项目(200825)。孔祥强，助教，主研领域:应用数学。摘要Mathematica软件是专门进行数学类计算的软件，其主要功能是符号运算功能和绘图功能。在高等数学的教学过程中引入Mathematica软件，有利于增强教学内容的直观性，激发学生学习数学的兴趣，提高解决实际问题的能力。关键词Mathematica软件高等数学绘图中图分类号TP317G434文献标识码AEXPLORINGAPPLICATIONSOFMATHEMATICASOFTWAREINMATHEMATICSTEACHINGKongXiangqiang(DepartmentofMathematics，HezeUniversity，Heze274000，Shandong，China)AbstractMathematicasoftwareistheoneespeciallyusedformathematicscomputation，anditsmainfunctionsarethesymbolicoperationanddrawingTheintroductionofMathematicasoftwareinteachingprocessofcollegemathematicsbenefitstheintuitionofstrengtheningtheteachingcontents，inspiringstudentsinterestintheirmathematicsstudiesandenhancingstudentscapabilitiesinsolvingpracticalproblemsKeywordsMathematicasoftwareHighermathematicsDrawing0引言随着科学技术迅速的发展，高等数学课程在相关行业和领域的作用逐步突出，人们对应用数学知识解决实际问题的诉求日见强烈。因此，用科学计算的方法解决遇到的问题是高等数学课程所面临的重要课题，在高等数学的教学过程中引入数学软件是十分必要的，进而培养学生应用计算机进行科学的计算1。Mathematica软件是一种数学分析型软件，以符号计算见长。其主要优势有:(1)Mathematica具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能，可以绘制高等数学中出现的函数图形;(2)Mathematica简洁易用，在熟悉命令的基础上就可以使用;(3)Mathematica具有很强的渲染效果，可充分调动学生学习的积极性;(4)Mathematica交互性好，能实时地得出结果2。在高等数学的教学过程中应用软件，可以激发学生学习高等数学课的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力，对培养学生的创造性思维、意识和实践能力具有特殊的作用。本文通过典型实例，深入探讨了Mathematica软件在高等数学教学中的具体应用。1利用Mathematica软件辅助图形提高教学效果11Mathematica软件在微分中值定理中的应用高等数学中的微分中值定理，在理论上和应用上都十分重要，只从理论上分析和解释学生不易掌握，利用Mathematica软件，可很好地验证定理的结论。案例1在区间0，1上验证函数f(x)=arctanx对拉格朗日中值定理的正确性。输入:fx_:=ArcTanx;Plotfx，x，100，100a=0;b=1;Solvefx(fbfa)/(ba)，x;N%输出:x0522723，x0522723得到结果如图1所示。图1函数f(x)=arctanx的图形从图1可发现函数的几个显著特征:(1)f(x)=arctanx在0，1上连续;(2)在0，1上曲线光滑(可导);(3)f(0)=0，142计算机应用与软件2012年且函数有界。从结果中明显地看出，值0522723介于0，1之间，因此验证了拉格朗日中值定理。若用手工计算会比较麻烦，且结果也不准确。12Mathematica软件在求函数渐近线中的应用函数的渐近线分三种情形水平渐近线垂直渐近线和斜渐近线。若limx+f(x)=A或limxf(x)=A，则y=A是y=f(x)的一条水平渐近线;若limxx0+f(x)=或limxx0f(x)=，则x=x0是y=f(x)的一条垂直渐近线;若k=limxf(x)x0，b=limx(f(x)kx)，则y=kx+b是y=f(x)的斜渐近线。在求函数的渐近线时，学生总是忘记其中的一种，利用Mathematica软件画出图形，可更好地认知渐近线的存在情形。案例2求函数y=x3(x1)2的渐近线。输入:fx_:=x3/(x1)2;m=Limitfx，x1n=Limitfx，xInfinityk=Limitfx/x，xInfinityb=Limitfxk*x，xInfinitygx_:=x+2;Plotfx，gx，x，10，10，PlotRangeAutomatic输出:12得到结果如图2所示。图2函数y=x3/(x1)2及其渐近线图形从结果中得出，x=1为函数的铅直渐近线;无水平渐近线;y=x+2为斜渐近线。13Mathematica软件在作变限积分函数图形方面的应用变限积分函数是一类特殊形式的函数，它是连接众多知识的纽带。对于变限积分函数的概念，学生往往理解得不透彻，分不清楚变限积分函数是关于谁的函数。利用Mathematica软件画出函数图形，从而可直观地观察出函数的形态。案例3作函数f(x)=x0cost22dt的图形。输入:fx_:=IntegrateCosPit2/2，t，0，x;Plotfx，x，55，55，PlotStyleAbsoluteThickness1，AspectRatio12输出:得到结果如图3所示。图3函数f(x)=x0cost22dt的图形14Mathematica软件在求微分方程数值解方面的应用微分方程的数值解一般情况下不易求出，利用软件可得到在指定范围内的数值解，并且作出的积分曲线很好地反映了解的情况。案例4求微分方程y=ysin(2x+y)满足初始条件y(0)=1的数值解。输入:s=NDSolveyx=yxSin2x+yx，y0=1，y，x，0，10PlotEvaluateyx/s，x，0，10，PlotRangeAll输出:yInterpolatingFunction0，10，得到结果如图4所示。图4方程y=ysin(2x+y)的数值解图形从图4可看出解的范围和分布情况。2利用Mathematica软件辅助教学较复杂的计算，培养学生的学习兴趣数值计算在理论上算法多、公式多、计算量大，从而使得教学过程中的推导繁琐、枯燥，缺乏直观性。有很多的计算，从数据到数据，单调乏味，十分影响学习兴趣，在没有软件辅助计算时，都是非常困难的，甚至是不可能的。因此，无论是老师还是学生，都希望在这方面有所突破，建立快速通道，Mathematica软件提供了很好的途径3。案例5求不定积分x21+x槡25+11x2dx，并作出结果的图形。第6期孔祥强:Mathematica软件在数学教学中的应用探索143输入:Integrate(x2*Sqrt1+x2)/(5+11*x2)，xPlot%，x，5，5输出:124211x1+x槡2+ArcSinhx槡230ArcTan槡65x1+x槡2得到结果如图5所示。图5不定积分x21+x槡25+11x2dx的一条积分曲线该结果不易推导，但软件可轻松实现。案例6求函数f(x)=x32x23x+1的一阶导数和二阶导数，并描绘f(x)的单调区间、凹凸区间和拐点。fx_:=x32x23x+1;Dfx，xD%，xt1=Plotx32x23x+1，x，5，5t2=Plot3x24x3，x，5，5t3=Plot6x4，x，5，5Showt1，t2，t3，PlotRange5，5，AspectRatioAutomatic得到结果如图6所示。图6函数f(x)=x32x23x+1及其一阶和二阶导函数图形从图6不难理解，f(x)、f(x)和f(x)之间的关系，形象地展示了单调性、凹凸性、增减性等函数一些基本性质，并得出导数和原函数的关系，直观地看出极值极点、拐点的意义。案例7求三次积分22dx4x槡24x槡2dy2x2+y槡2(x2+y2)dz。输入:fx_，y_，z_:=x2+y2;t1=0;t2=2Pi;r1t_:=0;r2t_:=2;z1t_，r_:=r;z2t_，r_:=2;Integrater*fr*Cost，r*Sint，z，t，t1，t2，r，r1t，r2t，z，z1t，r，z2t，r输出:16p53利用Mathematica软件，验证结论的正误，理解高等数学中概念之间的区别和联系高等数学中的不少知识比较抽象，推导也比较复杂，并且计算量大，教师往往把主要的精力放在理论的分析和推导上，不易使学生掌握。可通过Mathematica软件计算，得到精确的结果，便于对理论的验证。案例8求极限limxxsin1x和limx0xsin1x，并比较计算的结果。输入:fx_:=xSin1/x;Limitfx，xInfinityPlotfx，x，10000，10000Limitfx，x0Plotfx，x，001，001输出:10得到结果如图7、图8所示。图7x时，函数f(x)=xsin1x的变化趋势图8x0时，函数f(x)=xsin1x的变化趋势从图7可以看出，当x时，函数的极限为1;从图8看出，当x0时，函数极限为0。通过图7和图8，学生可深刻地理解这两种极限之间地区别，加深对极限概念的理解。案例9设函数f(x)=x3x0sinxx0，判断f(x)在x=0处的连续性和可导性。fx_:=Ifx0，x3，Sinx;Plotfx，x，2，2得到结果如图9所示。图9分段函数f(x)=x3x0sinxx0的图形144计算机应用与软件2012年从图9看出，f(x)在x=0处连续。Limit(Sinxf0)/x，x0，Direction1Limit(x3f0)/x，x0，Direction1结果分别为1和0，即f(x)在x=0处的右导数为1，左导数为0，故在x=0处不可导。gx_:=Whichx0，3x2，x0，CosxPlotgx，x，2，2得到结果如图10所示。图10分段函数g(x)=3x2x0cosxx0的图形从f(x)的导函数g(x)的图10中看出，g(x)在x=0处间断，即验证了f(x)在x=0处不可导。该例体现了一元函数连续和可导的关系，使学生加深了对两个概念的理解，也验证了教材上定理的正确性。4利用Mathematica软件，作空间解析几何中的图形向量代数和空间解析几何一章中，要绘制空间曲线、空间曲面的图形，及空间曲面所围成的空间区域的图形等，用手工绘图是相当困难的，用Mathematica软件可快速作出图形，借助于直观图形可加深学生对知识的理解，从而达到激发学生学习兴趣的目的。在二重积分和三重积分的计算中，也要用到这些知识，因此，掌握常见二次曲面的图形十分必要4。案例10作出z=tan(xy)的图形5。Plot3DTanx*y，x，0，3，y，0，3，PlotPoints40得到结果如图11所示。图11函数z=tan(xy)的图形案例11作出x2+y2+z2=1与x2+y2=x的交面。r1=ParametricPlot3DSinu*Cosv，Sinu*Sinv，Cosu，u，0，Pi，v，0，2Pir2=ParametricPlot3D(Cost)2，Cost*Sint，z，t，0，2Pi，z，0，12Showr1，r2得到结果如图12所示。图12球面x2+y2+z2=1与柱面x2+y2=x的交面5结语在Mathematica软件环境下，数学问题中的条件可变性和快速自动化的一系列特点，不但激发了学生的学习兴趣，而且有利于将思考的焦点转移到有创造性的方案设计和深层次的思考层面;Mathematica软件的直观性，便于学生接受，加深了对所学知识的理解，同时也扩展了传统的思考方式，起到了传统方法不可替代的作用6。在高等数学的教学过程中，应恰当地结合Mathematica软件的功能，使学生乐于学习，逐步激发学习的兴趣，培养学生的创造性思维方式，锻炼学生应用所学解决实际问题的能力。Mathematica软件在高等数学课程中的应用是一项系统工程，应坚持不懈地进行推广。参考文献1陈怀琛大学理工科要把“