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文档简介

均值不等式均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为HnGnAnQn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。中文名均值不等式外文名mean inequality表达式HnGnAnQn应用学科数学适用领域范围不等式定义被称为均值不等式。即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。其中：，被称为调和平均数。，被称为几何平均数。，被称为算术平均数。，被称为平方平均数。证明关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设A0，B0，则，且仅当B=0时取等号。注：引理的正确性较明显，条件A0，B0可以弱化为A0，A+B0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）。原题等价于：, 当且仅当时取等号。当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即, 当且仅当时取等号。那么当n=k+1时，不妨设是、.中最大者，则设，根据引理，当且仅当且时，即时取等号。利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等等方法。推广一般形式设函数()；。是上的连续单调递增函数。时，。可以注意到，minanHnGnAnQnmaxan仅是上述不等式的特殊情形。特例对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）对非负实数a,b，有，即对非负实数a,b，有对非负实数a,b，ab,有对非负实数a,b，有对实数a,b，有对实数a,b,c，有对非负数a,b，有对非负数a,b,c，有在几个特例中，最著名的当属算术几何均值不等式（AM-GM不等式）
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