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生活中的数学模型易拉罐和无菌砖的设计生活中的数学模型易拉罐和无菌砖的设计福建师范大学数学系李清数学是应用十分广泛的一门科学,不仅高尖端技术要用到数学,而且生活中也处处都有数学,我们日常生活中常见的两种饮料包装硬包装易拉罐和软包装无菌砖的设计中就有数学模型.例1如何使易拉罐的制造用料最省?把易拉罐假设为正圆柱体,并且不考虑制造工艺中所要求的折边这个因素.在这样的简化模型的假设下.建立数学模型:求体积固定的具有最小表面积的圆柱体.模型求解:设圆柱体的底半径为r,高为h,体积为v,表面积为A.则y=耵2.A=2r2+2巾.A(r)=2nr+2V/r=+r+v/r3.当2r=y/r,即r=V/(2r)时A(,)取得最小值32v此时h=y/=2r,即当圆柱体的轴截面为正方形时表面积最小.这个结果与常见的易拉罐的形状差距较大,原因是易拉罐的上底强度要大一些,其厚度是其它部分的3倍于是修正后表面积公式为A=3ar+2+2rrh.A(r)=4r+2V/r=41rr+Vlr+/r3ff4rV2.当4xr.:y/r,即r=时,A(r)取最小值.此时,h:y/0=4r,即罐高是底面直径的2倍时,表面积最小这与市场上可口可乐,百事可乐,健力宝等饮料的易拉罐的形状十分吻合例2如何使无菌砖的制造用料最省?把无菌砖假设为长方体.建立数学模型:求体积固定的具有最小表面积的长方体.模型求解:设长方体的长,宽,高分别为T,体积为,表面积为A.首先我们不考虑折边的因素,则有V=xyz.A=2(ay+)6_T0y2z2=6V.当sy=yz=口,即=Y=z时,A取最小值.即体积固定的具有最小表面积的长方体为正方体.实际生活中没有形状是正方体的无菌砖,所以我们需要考虑折边这个因素.把无菌砖的包装材料折边打开铺开后,可以发现是由如图所示的两个长方形粘贴而成(虚线为折叠线).从而有V=zz.A=2(+a:-y+Y):2(.rz/4+xz/4+:cz/4+rz/4+yz/2+/2+,/2+xy/2+Y)18聊:9当xz/4=yzl2=xy/2=Y,即:2y=z=2V时,A有最小值.对于实际问题,取V=250m1.则;2y=2=7.9376m,A=283.48cm3.实际测得某品牌牛奶的无菌砖数据为=6.1crn,y=4cm.=10.5cm,A=292.9cmz,显然不是最优的.我们很高兴地发现市场上确
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