数列基础知识点和方法归纳

数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），推论公式：an=am+n-mdn,mN*，nm等差中项：成等差数列,an=an-1+an+12,2an=an-1+an+1n2等差数列前项和：性质：是等差数列（1）若，则（下标和定理） 注意：要求等式左右两边项数相等（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；（3）若三个成等差数列，可设为；（4）若是等差数列，且前项和分别为，则；（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数的等差数列，有， .（7）项数为奇数的等差数列，有, ， .2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.推论公式：an=amqn-mn,mN*且nm等比中项：成等比数列，或.等比数列中奇数项同号，偶数项同号 an2=an-1an+1n2等比数列前n项和公式： Sn=na1q=1a11-qn1-q=a1-anq1-qq1性质：是等比数列（1）若，则(下标和定理) 注意：要求等式左右两边项数相等。（2）仍为等比数列,公比为。. （3）是正项等比数列，则logcan是等比数列。 注意：由求时应注意什么？时，；时，.3.求数列通项公式的常用方法（1) 定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列）（2） 已知或，求。 例：数列的前项和求数列的通项公式; 解：当时 ， 当时 数列的通项公式为练习：设数列的前项和为，且求数列的通项公式。 （3）求差（商）法例：数列，求 解： 时， 时， 得：，练习：在数列an中，a1=1，a1+a222+a332+ann2=annN*, 求数列an的通项公式。(4)累乘法 形如an+1an=fn的递推式由，则两边分别相乘得， 例：数列中，求 解 ，又，.练习：已知a1=3,an+1=3n-13n+2an(n1), 求数列an的通项公式。（5）累加法形如 an+1-an=fn的递推式。由，求，用迭加法时，两边相加得 例：已知数列满足a1=1,an=an-1+3n-2n2,1求a2与a3的值。 （2）求数列的通项公式 练习：已知数列中， ，（）求数列的通项公式；（6）构造法形如（为常数，）的递推式。可转化为等比数列，设令，是首项为为公比的等比数列，例：已知数列满足，.求数列的通项公式； 解：（1）， 而，故数列是首项为2，公比为2的等比数列， ，因此练习1：已知数列an中a1=12,an+1=3an+3，求数列的通项公式。练习2：已知数列满足，求数列的通项公式。（7）倒数法例：，求由已知得：，为等差数列，公差为， 练习：已知数列的首项，a1=1。an+1=anan+2nN*求数列的通项公式。总结：公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法。4. 求数列前n项和的常用方法（1）定义法：如果已知数列为等差或者等比数列，这用对应的公式求和等差数列前项和：等比数列前n项和公式： Sn=na1q=1a11-qn1-q=a1-anq1-qq1常见公式：Sn=k=1nk=12nn+1 1+3+5+2n-1=n2 12+22+32+n2=16nn+12n+1 , 13+23+33+n3=14nn+12（2）错位相减法给Sn=a1+a2+a3+an两边同乘以一个适当的数或者式，然后把所得的等式与原等式相减，对应项互相抵消，最后得出前n项的和Sn.一般适用于为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比. 例： 时，时，练习：已知数列是等差数列，是等比数列，且， （1）求数列和的通项公式（2）数列满足，求数列的前项和(2) 裂项法把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和。常见形式：若是公差为的等差数列，则1anan+1=1d1an-1an+1 12n-12n+1=1212n-1-12n+1 1nn+1n+2=121nn+1-1n+1n+2 1a+b=1a-ba-b 1n+k+n=1kn+k-n 如：是公差为的等差数列，求解：由练习：已知数列的前n项和， 求数列的通项公式； 求数列的前n项和。（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 相加练习已知，则 由原式（3） 分组求和法有一类数列，既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆分开，可分为几个等差或等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可。一般适用于为等差数列，为