《信号与系统》-第弍二讲

清华大学电子工程系陆建华112.2连续时间系统状态方程的建立()te()tr0b1b2b1kbkb1p12k1a2a1ka2ka2kb31pka1k1接上一讲：清华大学电子工程系陆建华2()()1122110112211teaaaabbbbbtrkkkkkkkk+=()()()()()tebbabbabbabbabkkkkkk00111022201110+=输出方程12.2连续时间系统状态方程的建立()12231112211kkkkkkkaaaaet=+#状态方程设状态变量的设状态变量的最简单的方案最简单的方案取每个积分器输出12(),(),()kttt作为状态变量作为状态变量清华大学电子工程系陆建华3()()()()()()ttetrttet=+=+ABCD简化成121010000100001kkkaaaa=A#%=1000#B()()()()0110220110,babbabbabbabkkkk=C0b=D12.2连续时间系统状态方程的建立清华大学电子工程系陆建华412.2连续时间系统状态方程的建立(三三)传输算子表达式分解建立状态方程传输算子表达式分解建立状态方程将H(p)分解不同形式的流图结构不同形式的状态方程例12-3分解传输算子、建立状态方程()3246116sHssss+=+()()()4123ssss+=+32212123sss=+解:作部分分式展开清华大学电子工程系陆建华5取积分器的输出为状态变量三个子系统并联,其中每一个子系统的形式为()()()123HsHsHs=+()/1/iiiiipHspp=+12.2连续时间系统状态方程的建立()te()tri11pi()te()tr11p1p1p123112321211123()()()+=+=tetete2132223332211()321+=tr32212()123Hssss=+清华大学电子工程系陆建华6表示成矩阵形式,各系数矩阵为：100020003=A32212=B111=C0=D12.2连续时间系统状态方程的建立A是对角阵，对角阵上元素即各展开式之根(极点)若分解为各因式相乘若分解为各因式相乘,则成则成串联串联形式形式清华大学电子工程系陆建华7()()+=+=+=+=te3332232123211223243()1=tr()141123sHssss+=+作因式分解三个子系统串联()()()123HsHsHs=取积分器的输出为状态变量()te()tr1p1p1p32111111123412.2连续时间系统状态方程的建立解:例例12-3串联结构形式建立串联结构形式建立H(p)的状态方程的状态方程清华大学电子工程系陆建华8A是三角阵,对角上的元素即各展开式之根(极点)若有重根，如何表示?可表示成矩阵形式,各系数矩阵为：321021001=A001=B100=C0=D12.2连续时间系统状态方程的建立清华大学电子工程系陆建华9()()()()()34123pHpppp+=+用并联结构形式表示时，对上式用部分分式展开()()()()()()323/27/415/821/812311Hpppppp=+对应此式的流图结构形式是什么？对应此式的流图结构形式是什么？12.2连续时间系统状态方程的建立解:例12-5对有重根的H(p)建立状态方程清华大学电子工程系陆建华10选积分器输出为状态变量：()()()11222333445523etetet=+=+=+=+=+()()123453715122488rt=+表示成矩阵形式为12.2连续时间系统状态方程的建立11123112158741p32124518()te()tr1111p1p1p1p3清华大学电子工程系陆建华111100001100001000002000003=A00111=B3715122488=C0=D当系统转移函数具有重根时，A为约当阵12.2连续时间系统状态方程的建立对角阵是约当阵的一种特殊情况同一系统同一系统选择不同状态变量A形式不同形式不同都相似清华大学电子工程系陆建华1212.3连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解第十二章系统的状态变量分析时域方法变换域方法由状态方程求系统函数借助计算机简单(一一)拉普拉斯变换解法拉普拉斯变换解法()()()()()()dtttdtttt=+=+ABerCDe两边取L()()()()()()()sssssssDECRBEA+=+=0()()()()=000021k#起始条件清华大学电子工程系陆建华13()()()()sssBEAI+=0()()()()()ssssBEAIAI110+=整理得整理得()()()()()110ssss=+RCIACIABDE()()()()()()()()()()()11100tssstssetet=+BErCCBDLLL代入输出方程代入输出方程最关键的一步是求(sI-A)-112.3连续时间系统状态方程的求解()1()ss=IA零输入零状态令特征矩阵清华大学电子工程系陆建华1412.3连续时间系统状态方程的求解(二二)时域解法时域解法定义矩阵指数01!tkkketk=AA22112!kktttk=+IAAA！kk的方阵1ttttttteeeedeeedt=AAAAAAAIAA主要性质主要性质清华大学电子工程系陆建华15求解状态方程()()()dtttdt=+ABe()()()()=000021k#12.3连续时间系统状态方程的求解两端乘以e-At()()()tetettetttBeAAAA=dd积分()()ddtetetttBeAA=乘以eAt()()00()dttete=AABe()()()00()dttttee=+AABe()()0tteet=+AABe清华大学电子工程系陆建华16()()()0tteett=+AACCBDe()()tt=+CDe输出r(t)()()()0tt+CCBeDe零输入零状态h(t)与拉氏变换法对应()1tes=AIAL特征矩阵Characteristicmatrix()1-1tse=AIAL状态转移矩阵Statetransitionmatrix12.3连续时间系统状态方程的求解时域法求eAt拉氏变换法求(sI-A)-1求解过程中本质相同清华大学电子工程系陆建华1712.3连续时间系统状态方程的求解(三三)由状态方程求系统函数由状态方程求系统函数由拉氏变换法解零状态响应时()()1()zssss=+RCIABDE单输入单输出时,解得11矩阵1111111()()()()kkkkssss=+RHCIABDE1()()adjsss=IAIAIA其中根就是H(s)极点清华大学电子工程系陆建华18用差分代替微分用差分代替微分第十二章系统的状态变量分析12.4离散时间系统状态方程的建立离散时间系统状态方程的建立111(1)()()kkkmkkmnnn+=+ABx111()()()rmrkrkmnnn=+yCDx111()()()kkkmkmkdtttdt=+ABe111()()()rmrkrkmttt=+rCDe连续离散()n()n1/E是延迟器代替连续中的积分器清华大学电子工程系陆建华1912.5离散时间系统状态方程的求解离散时间系统状态方程的求解第十二章系统的状态变量分析(一一)矢量差分方程的时域求解矢量差分方程的时域求解离散系统状态方程(1)()()nnxn+=+AB000(1)()()nnxn+=+AB000(2)(1)(1)nnxn+=+AB2000()()(1)nxnxn=+AABB320000()()(1)(2)nxnxnxn=+AABABB000(3)(2)(2)nnxn+=+AB清华大学电子工程系陆建华2012.5离散时间系统状态方程的求解给定给定n0k=n：0()()nnk=+00110()()nnkikinnx+=+AAB00110()()nnnniinnxi=+AAB如果选如果选n0=0，则则n0110()(0)()()(1)nnniinunxiun=+AAB零输入零状态()()()ynnxn=+CD110(0)()()(1)()()nnniiunxiunxnun=+CACABD零输入零状态(nn0)清华大学电子工程系陆建华21称为称为离散系统离散系统的的状态转移矩阵状态转移矩阵即为单位冲激（样值）响应利用凯莱哈密顿定理()n用表示nA类似于连续中的teA令x(n)=()n1(1)()nunn=+CABD110()0()()nnniihnin=+CACABD(二二)Ann的计算的计算（略，详见书P341页）12.5离散时间系统状态方程的求解清华大学电子工程系陆建华22(三三)离散系统状态方程的离散系统状态方程的z变换解变换解(1)()()()()()nnxnynnxn+=+=+ABCD()(0)()()()()()zzzzXzYzzXz=+=+ABCD11()()(0)()()()()(0)()()()zzzzXzYzzzzXzXz=+=+IAIABCIACIABD两边取z变换12.5离散时间系统状态方程的求解清华大学电子工程系陆建华23