《信号与系统》-第四章：信号的谱表示

信号与系统第四章：信号的谱表示第四章：信号的谱表示4.110L,tt上的傅里叶级数（信号与系统第二版（郑君里）3.1，3.2）()()010L,|dttttftftt=+()0jj22-02ddttttFeeteet+=+=+（4-32）图4-119单边指数函数：()(),0tfteut=()12211expjtgjF=+()221F=+，()1tg=（4-33）信号与系统第四章：信号的谱表示图4-129符号函数：()1,0sgn1,0ttt=，存在()()()()11Nnnnnftfautauta+=null，使()()+-d2ftftt，当时，()()1jj-1ddnnNattnanftetfaet+=null()()1jj112j2nnaaNNnneefafa+=），当时，()()()()+jj-dd022ttFftftetftet+注：1）渐近()1OF=，0。2）信号与系统第四章：信号的谱表示()()j-limlimd0tFfte+=，()()1L,ft()jlim,0tfte=，()()1L,ft（4-74）-j4-74lim0te=广义依（）4-744-74limcos0limsin0tt=广义依（）广义依（）（4-75）对常义的极限不等于零。有界变差函数（BoundVariationFunction）：9定义：设()fx是,ab上实函数，对于,ab上的任一分割T，01naxxxb=null，若()()()110,nbiiaifTfxfxV+=null（4-76）则称()fx是有界变差函数，记为BV（有界变差函数的全体）。9()fxBV()()fxfx有界可写成两个单调增有界函数之差9()fxBV，则()fx或者无界或者急剧振荡。例：在含原点的(),ab，1x，1sinx。9有界变差函数未必绝对可积。例：()1221x+，在1xnull时1x不可积。Riemann定理：若()()1L,ftab，且()fx为(),ab上BV（(),ab可有限，可无限），则()1OF=，。证明：()ftBV单调有界函数()()12,ftft，使得()()()12ftftft=，又()()1L,ftab，信号与系统第四章：信号的谱表示()()()jj12ddbbttaaFftetftet+()()()()1122cosdsindcosdsindbbbbaaaaftttfttftttftt+第二积分中值定理：若()fx在,ab上单调，()gt在,ab上可积，则,ab，使()()()()()()dddbbaaftgttfagttfbgtt=+()()()111cosdcosdcosdftttfatfbt+()()11fbfa()()11cosdcosdcosdbbaaftttfbtt+()()114sinsinsinsinfbabfb=+同理.()()()128fbfbF+()1OF=，。定理：若()()(),nftftnull存在，且有界变差，绝对可积，则()11OnF+=。证明：()()1Onft=F，即()()1jOnF=，即()11OnF+=。若()11OnF+=，则()()()1,nftftnull连续，()()nft有界。信号与系统第四章：信号的谱表示4.8相关函数与谱分析（信号与系统第二版（郑君里）6.6，6.7，6.8）相关（似）系数：9nR，,0=XYXY图4-369定义（相关（似）系数）：对2,L,xyab，定义x与y的相关系数：22,xyxyxy=（4-77）注：1）22,xyxy11xy（4-78）2）,00xyxyxy=（4-79）3）ycxxy=null1122,xyxcxxxyy=*1122,1,xycxxccxxcxx=（4-80）c为正实数，1xy=，为正相关，c为负实数，1xy=，为负相关。9正交投影误差与相关系数：正交投影误差x（或0cx）（使）2最小。信号与系统第四章：信号的谱表示图4-370ycx=，0,0xycx=0,xycxx=2002,ycxycx=*2*000,yycxycxycxx=+222222,min,xyxyyyyxxx=2222222,min11xyxyyxy=（4-81）其中，22y为投影的相对误差。若1xyyx=null（4-81）式=0；若0xyyx=（4-81）式=1。()2L,+中信号的相关函数与能谱：相关系数22,xyxyxy=，只能描述两个没有时差（时间原点相同）的函数之间的相关（似）性。9定义（互相关函数）：对()()()2,L,xtyt+，定义()()()()()()()*-,ddxyRxtytxtyttxtytt+=+null（4-82）注：1）()()()*xyRtxtyt=()()*-dxyt+=（4-83）2）共轭对称：信号与系统第四章：信号的谱表示()()()*-dyxRytxtt+=()()()*-dxyytxttR+=（4-84）9定义（自相关函数）：()()()()()*-,dxxRxtxtxtxtt+=（4-85）注：1）()()()*xxRtxtxt=（4-86）2）共轭偶对称：()()*xxxxRR=（4-87）3）()()()()2*-0ddxxRxtxttxtt+=能量（4-88）9定义（能谱（密度）：()()()()()j*dxxxxxxSRReXX+=F（4-89）注：1）()()()1jdxxxxxxRSSef+=F()()()()*0ddxxxxRSfXXf+=()()()()*-ddxtxttXXf+=（4-90）能量不变性（欧氏范数不变性/Parseval定理）2）相关函数反映的是动态的相关性，两个函数的时间原点不同。相关函数也可以归一化：()()()()()22,xyxtytRxtyt=（4-91）9定义（互谱密度）：()()()()()()*xyxySRxtytXY=FFnull（4-92）注：互谱密度没有可指称的物理意义。9定理（相关定理）：对()()()2,L,xtyt+，有信号与系统第四章：信号的谱表示()()()*xyRXY=F（4-93）注：()()()()()*-0d,xyRxtyttxtyt+=()()()*j-edxyRXYf+=()()()()()*-0d,xyRXYfXY+=()()()(),xtytXY=（4-94）即()2L,+中傅里叶变换具有内积不变性。在()()xtyt=时，即为能量不变性。功率有限信号的相关函数与功率谱：周期信号等不是能量有限信号。设()()0xtxtnT=，()()2L,222TTTTxtxtutut=+（4-95）（T不一定为0T）()()()*22dTTTRxtxtt=（4-96）9定义：对功率有限信号，定义：()()1limxxTTRRTnull()()*221limdTTTxtxttT=（4-97）9定义（功率谱（密度）：()()()()*221limdTTxxxxTSRxtttT=FF（4-98）9()()()*2210limdTTxxTRxtxttT=（4-99）为功率。注：功率有限信号的性质与能量有限信号的性质相似，只是物理含义不同。线性定常系统的输入输出相关分析：信号与系统第四章：信号的谱表示图4-38()()()ythtxt=()()()*yyRtytyt=()()()()*htxthtxt=()()()()*hthtxtxt=()()hhxxRtRt=（4-100）()()()yyhhxxSSS=（4-101）4.9匹配滤波器（信号与系统第二版（郑君里）6.9）问题的提法：滤波：在信号白噪声（噪声干扰）中分离信号。匹配滤波：以发现信号为目的。维纳滤波：以克隆信号为目的。需要解决的问题：在加性白噪声的背景下把信号很好的分离。白噪声：()int()()()()*221limdTTiiTRntnttNT=null（4-102）()()iNRN=F为常数（4-103）图4-39信号与系统第四章：信号的谱表示匹配滤波器：图4-409定义：()02002ttst=null信号的瞬时功率|噪声的平均功率（4-104）为在0tt=时刻的（瞬时）峰值信噪比，其中：()()()02*20021limdTTnTRtntntT=，()()0000|ttstst=，()200st为()0st在0tt=时刻的瞬时功率。9定义（匹配滤波器）：在加性白噪声背景下，使瞬时信噪比最大的线性滤波器谓之匹配滤波器。9定理（匹配滤波器）：在加性白噪声背景下，对()ist实现匹配滤波器的系统冲激响应：()()*0ihtkstt=()()()0j*tiHhtkSe=F（4-105）其中，0k，0t为观测时刻，()()iiSst=F。证明：()()()02*0jjdnRNHHf+=()2jdNHf+=常数()()()0j00jdtistHSef+=()()()022j00jdtistHSef+=()()02-j*j,tiHSe=()()022-j*22jtiHSe()()22jddiHfSf+=信号与系统第四章：信号的谱表示()()22002distSf+=当()()0j*jtiHkSe=()()()-1*0ihtHkstt=F时，取最大值。注：（1）图4-41当000tTtT时，系统为非因果的；当000tTtT时，系统为因果的。（2）图4-42在观测时刻，读取卷积输出的峰值。（3）()2maxdiSfN+=，其中：max0bEn=，()iS为输入信号功率谱，()2diSf+为输入信号功率，N为输入白噪声的功率谱密度。匹配滤波与相关接受等价：()()()()()*00iiiststhtstkstt=（4-106）信号与系统第四章：信号的谱表示()()()*00diiiskststttkRt+=+=图4-43思考：上面讨论的是()()iNRN=F常数的情况，若()iN常数，而是的函数，求使瞬时信噪比最大的（广义）匹配滤波器()?ht=4.10等效带宽，等效时宽，Heisenberg测不准（不确定）原理（信号与系统第二版（郑君里）6.10）带宽（f），时宽（t）的定义不唯一，与()ft，()ftF的特点和应用场景有关。ftC（4-107）按波形与谱结构定义：9()()()()()SaccccfttFuu=+图4-444t=，2f=，2ft=。9()2Sact三角窗8t=。按信号特征参数定义：信号与系统第四章：信号的谱表示()()()221tfteutF=+图4-451t=，2=，2t=()()020lg3dBFF=等效矩形时宽与等效矩形带宽：9若()0ft，()()0maxtfft=，()0F，()()0maxtFF=，则定义等效矩形时宽：()()d0tfttf+=，定义等效矩形带宽：()()d0fFfF+=，则1ft=。图4-46证明：()()()()j000|d|dtFFftetftt+=()()()()j0|d|dtttfftFefFf+=代入即得1ft=。9设()ft是变号函数，()F是复变函数，且()()0maxtftft=，信号与系统第四章：信号的谱表示()()0maxFF=，定义：()()0dtfttft+null，()()0dfFfF+null，则1ft。Heisenberg测不准原理：9对()()2L,ft+，()()222ftft归一化瞬时功率，()()222FF归一化能谱密度，()()22ftF=，()()222dtfttft+null几何中心，()()2221d2FF+null()()222FF的几何中心，()()()222221dttfttft+=时间集散，()()()222221d2fFF+=频率集散。9定理：对()()2L,ft+，()2lim0tftt=，则12ft，且等号成立时，()ft为高斯信号。证明：设()(),0,0=，令()()2222ftFf=，()()2222421dd2tftfttFf+=()()22421ddtfttfttf+=()()2421dtftfttf+信号与系统第四章：信号的谱表示()224211d2tfttf+=()()22242|d44fttfttf+=即：12tf，为使等号成立，()()ftktft=(