《信号与系统》-第一章：绪论

信号与系统讲义第一章：绪论1第一章：绪论1.1信号与系统（信号与系统第二版（郑君里）1.1）图1-1消息（Message）：信源的输出+语义学上的理解。信号（Signal）：InformationVector（Signum），它携带或蕴含或本身即为信息。信息（Information）：消息，内容，情报（牛津英文词典）。语用层次上的信息：效用信息语义层次上的信息：含义语法层次上的信息：形式（狭义信息Shannon信息论）系统（System）：由若干个相互作用的物理对象和物理条件（统称为系统元件）组成的具有特定功能的整体。本课程要解决的两个问题：信号表示（分析）：把信号分解成它的各个组成分量或成分的概念、理论和方法，即用简单表示复杂。信号通过系统的响应：9系统分析：在给定系统的条件下，研究系统对于输入激励信号所产生的输出响应。9系统综合：按某种需要规定出系统对于给定激励的响应，并根据此要求设计系统。1.2信号分类与典型确定性信号（信号与系统第二版（郑君里）1.2，1.4）确定性信号：由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。随机信号：具有不可预知的不确定性的信号。非确定性信号模糊信号：（例：高矮，胖瘦）。周期信号：f(t)=f(t+nT)，nZ非周期信号：f(t)f(t+nT)，nZ伪随机信号：具有周期性的随机信号。周期无穷大则为随机信号。信号与系统讲义第一章：绪论2连续时间信号：在所讨论的时间区域内任意时间点上都有定义（给出确定但可能不唯一的信号取值）的信号。模拟信号：时间和取值都连续的信号。阶梯信号：时间连续、取值离散的信号。离散时间信号：只在某些不连续的时间点或区间上有定义（给出信号取值）的信号。抽样信号：幅值具有无限精度的离散时间信号。数字信号：幅值具有有限精度的离散时间信号。图1-2典型确定性信号：指数信号：()tftKe=（1-1）其中，K、为实数。正弦信号：()()sinftAt=+（1-2）其中，A为幅度，为角频率，为初相位。单边衰减正弦信号：()()()()00sin0ttftKett0。复指数信号：()stftKe=（1-4）其中：()j,st=+则有：()()()cosjsinstttftKeKetKet=+采样函数：()()sinSatfttt=（1-5）信号与系统讲义第一章：绪论3图1-3采样函数的性质：9采样函数()Sat为偶函数，在t的正、负两方向振幅都逐渐衰减，当,2,tn=null时，信号值为零。9()0Sad2tt=（1-6）9()Sadtt=（1-7）9()Sadtt=（1-8）高斯函数：()2tftEe=（1-9）图1-4高斯函数的性质：9高斯函数比任何一个多项式的倒数衰减都快，()0niiiftt=是一个高阶无穷小量。9高斯函数的傅里叶变换仍为高斯的。信号与系统讲义第一章：绪论49高斯函数为正实函数。光滑函数()1L：上任意阶导数都存在的函数的集合。奇异函数：单位斜变函数：(),00,0ttRtt=（1-15）图1-7图1-8信号与系统讲义第一章：绪论51.3冲激函数与广义函数（信号与系统第二版（郑君里）1.4，2.9）冲激函数的三种常规定义：冲激函数的狄拉克（Dirac）定义：()()d10,0tttt+=（1-16）图1-9冲激函数的广义极限定义：冲激函数是面积（强度）为1，等效宽度趋于0的函数的极限。这样的函数可以有多种，以下列出八种：a)矩形逼近()01lim22tutut+null（1-17）图1-10b)金字塔逼近()()()()01lim1|ttutut+null（1-18）图1-11信号与系统讲义第一章：绪论6c)负指数逼近()|01lim,02ttenull（1-19）图1-12d)采样函数逼近()()()sinlimSalimkkkttktkt=null（1-20）图1-13e)复指数逼近()jj11limdd22kttkktee=null（1-21）f)高斯逼近()201limttenull（1-22）g)()()22sinlimkkttktnull（1-23）h)()()22lim1nntnt+null（1-24）信号与系统讲义第一章：绪论7检验函数定义：9定义（检验函数的通俗定义，testfunction）：区间(a,b)上的光滑函数()t称为检验函数，ab。检验函数的全体记为()D。9冲激函数的检验函数定义：对于()t()D，若有：()()()()()d0fttfttt=null，（1-25），则()()fttnull（1-26）冲激函数的性质：取样（筛选）：若()ft有界，且在t=0连续，则有：()()()()0fttft=（1-27）尺度变换：()()1tt=（1-28）偶函数：()()tt=（1-29）积分：()()dtuttt=（1-30）定义（积分算子）：1dptnull（1-31）为积分算子，则()()1putt=（1-32）()()dduttt=（1-33）定义（微分算子）：dpdtnull（1-34）为微分算子，则：()()ptut=（1-35）()()()()()d0ttttt=，（1-36）信号与系统讲义第一章：绪论8其中()t有界，且在t=0处连续。筛选特性：()()()()()000dtttttttt=，（1-37）()()()()100ftfttt=（1-38）其中，()ft是t的单调函数，()()0000ftft=，。证明：()t()D，考虑()()()()()()dfxxfxxx=，令()()()00,ddyfxyfxyfxx=，上式=()()()()()1dfafbyxyfx()()()()dfafbyyynull()()()000xfx=()()()00xxfxx=/，()()()()100ftfttt=#证毕若光滑函数()ft满足：()12,|0tttft=，且()01,2,.ifti=，则：()()()()1iiiftftt=（1-39）广义函数（简称广函）：定义（suppsupport承托支撑）：称supp()()|0nfxXRfx=（1-40）即()fx的非零点，为()fx的支撑。即把函数“支撑”起来的那些点集。其中，()|0nXRfx为集合()|0nXRfx的闭包。定义（检验函数的严格定义）：设Rn为开域，是上的实（复）函数，具有以下性质：1)是上的光滑函数（各阶导数处处存在）；2)supp是上的有界闭集（称为紧集）。信号与系统讲义第一章：绪论9则称是上的检验函数。检验函数的全体记为D()。例：()1,10,1xxfxx=图1-13(),+null，supp1,1f=有界闭，但在0x=处()fx的左、右导数不等，导数不存在，所以()fx不是一个检验函数。例：()1exp,110,1xxfxx=supp1,1f=是(),R+null中的有界闭集，()fx对(),xR+null无穷可导，()()fxD。定义（广函）：给定函数列()1mmfx=，若对于()xD()，均有：()()()()limmmfxxfxx=，（1-41）即：()()lim()()dmmfxxdxfxxx=（1-42）则称()fx是()1mmfx=的弱极限，或称为广义极限。反过来，称()1mmfx=弱收敛于()fx，而()fx称为D()上的广义函数。亦即：广义函数是函数序列的某种极限。冲激函数的广义函数定义：对于()xD()，若有：()()()()()()()limd0mmfxxfxxfxxt=，（1-43）则：()()()limmmfxfxx=null（1-44）为冲激函数。广函的（广义）导数：()xD()在区间,ab之外恒为0。考虑D()信号与系统讲义第一章：绪论10上的广函()fx，则有：()()()()()()()1nnnfxxfxx=，（1-45）即：()()()()()()()d1dbbnnnaafxxxfxxx=（1-46）特别地，()()()()()()()()()()110nnnxxxx=，（1-47）冲激偶()x：已知()fx连续可微，()()()()()()()()()0101nnknnkkknkxfxCfx=（1-48）特别地，()()()()()()00fxxfxfx=+（1-49），()x称为冲激偶。证明：对()xD()，()()()(),nxfxx()()()()dnxfxxx=()()()()01|nnxfxx=()()()()()001nnnkkknkxCfxx=()()()()()0100nnnkkknkCf=()()()()()()010,nnknknknkCfxx+=()()()()()()()()()0101nnknnkkknkxfxCfx=信号与系统讲义第一章：绪论11图1-14图1-15冲激偶的性质：9奇函数：()()tt=（1-50）9()d0tt=（1-51）9()()ddttt=（1-52）9()()()()()()dd00tttt=（1-53）9()()11tt=（1-54）1.4信号分解（信号与系统第二版（郑君里）1.5）直流分量与交流分量：直流分量：信号的平均值称为信号的直流分量。直流分量()dftnull()1dbafttba（1-55）交流分量：从原信号中去掉直流分量即得到信号的交流分量。交流分量()aftnull()ft直流（1-56）交直流分解：()ft()dft+()aft（1-57）奇分量与偶分量：偶分量：()()()12eftftft=+（1-58）信号与系统讲义第一章：绪论12奇分量：()()()12oftftft=（1-59）奇偶分解：()ft=()eft+()oft（1-60）实部分量与虚部分量：实部：()()()*12rftftft=+（1-61）虚部：()()()*1j2iftftft=（1-62）虚实分解：()ft=()rft+()jift（1-63）脉冲分解：图1-16()()()()max0limiiiitiiuttutttftfttt=()()max0limiiiitiftttt=()()dft=（此式即()t的筛选特性）()()fttnull（1-64）即：信号的脉冲分解的极限形式，是信号与冲激函数的卷积。正交分解：信号可以用完备正交函数集来表示；组成信号的各分量相互正交。正交分解与脉冲分解的极限形式可以通过Fourier变换统一。1.5系统分类（信号与系统第二版（郑君里）1.6）简单复杂系统：信号与系统讲义第一章：绪论13简单系统：利用传统的简化论与还原论方法（整体等于部分和）可以处理的系统。比如，线性系统是简单系统。复杂系统：由数量适当（不多也不少）且具有局部非线性作用的个体元素（agent）组成，并能够产生整体涌现行为的适应性系统。涌现（emergence）：个体之间相互作用使整体产生新特征的现象。连续时间离散时间混合系统：连续时间系统：若系统的输入和输出都是连续时间信号，且其内部信号也未转换为离散时间信号，则称此系统为连续时间系统。离散时间系统：若系统的输入和输出都是离散时间信号，则称此系统为离散时间系统。混合系统：离散时间系统和连续时间系统混合运用的系统。即时动态系统：即时系统（无记忆系统）：如果系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，与它过去的状态（历史）无关，则称此系统为即时系统，亦称为无记忆系统。动态系统（有记忆系统）：如果系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关，则称此系统为动态系统，亦称为有记忆系统。常见的有记忆元件有：电容、电感、磁芯、寄存器等。集总参数分布参数系统：集总参数系统：由集总参数元件（在元件的空间区域内各点信号可看作常数）组成的系统，是集总参数系统。描述集总参数系统的数学模型是以时间（而非空间）为自变量的微分方程/差分方程。分布参数系统：含有分布参数元件（在元件的空间区域内各点信号不能看作常数）的系统，是分布参数系统。时变/时不变系统：时变系统：如果系统的部分或全部参数随时间变化，则称为时变系统。时不变系统：如果系统的所有参数都不随时间变化，则称为时不变系统。线性/非线性系统：线性系统：具有叠加性与均匀性（也称齐次性）的系统称为线性系统。非线性系统：不满足叠加性或均匀性的系统是非线性系统。确定/非确定系统：确定系统：系统响应随激励信号和系统状态按确定关系变化的系统。信号与系统讲义第一章：绪论14非确定系统：系统响应与激励信号和系统状态之间无确定关系的系统。如随机系统、模糊系统、混沌系统。1.6线性系统（信号与系统第二版（郑君里）1.7）系统的输入输出描述：图1-17定义（零状态系统）：初始储能为零的系统称为零状态系统，也称为初始松弛的系统。定义（冲激响应()ht）：输入为单位冲激函数时的零状态响应。()()Thttnull（1-65）因果律：9定义（因果系统）：()yt只与(t，的输入()xt有关，而与()t，的输入无关，则称该系统为因果系统。9初始松弛，因果律()T(,ytxt=()()()hthtut=（1-66）9定义（因果信号）：亦称右边信号()()()ftftut=（1-67）9定义（逆因果信号）：亦称左边信号()()()ftftut=（1-68）9定义（截取）：()xt的截取为()()()()()xtxtxtutut=（1-69）9定义（因果算子T）：对零状态算子T，若