《信号与系统》-习题课_1_2008

1信号与系统习题课助教：张丹华清华大学电子工程系2008.4.152一、判断2nnnajbF=*nnFF=具有性质：，1、实周期信号的指数形式傅立叶级数的系数nnab其中和分别为信号余弦分量和正弦分量的幅度。由P91，利用an是n的偶函数，bn是n的奇函数的性质3()()()()01001011112cos2sintTnttTntaftntdTbfttdT+=由于：*22nnnnnnnnaabbajbajbFF=+=于是：所以，命题正确。42关于广义函数的莱布尼兹公式2()()2()2()()dutdutututtdtdt=3222()()()()()2()()()()()3()()dutdutdutututdtdtdtuttuttututt=+=+=正确吗？523()()()ututut=事实上，()2()()3()().?tuttutt=()()()fgxdfgdgdffgdxdxdx=+设、为的广义函数，并不存在通常意义下的导数，那么并不总是成立。具体解释需要用到广义函数的阶数等概念。63、设系统的输入为x(t)，2()(1)tytext=输出为，则该系统是时变因果系统。判断因果系统：现在的响应是否等于现在的激励以前的激励判断线性系统：先线性运算，再经系统是否等于先经系统，再线性运算判断时不变系统：时移再经系统=?先经系统再时移72()(1)tytext=先经系统，再延迟为02()00()(1)ttyttextt=200(1)()texttytt先延迟，再经系统为时变系统t时刻响应只取决于t时刻以前的激励因果系统所以，命题正确。8222()3()4()()dddrtrtrtetdtdtdt+=4、已知系统微分方程为()()etut=(0)1r=(0)1r=则此系统的各起始条件在起始点都没有发生跳变。书后练习题9()22()2()3()4()()etutddrtrtrttdtdt+=由于()()()()(0)(0)()()()(0)(0)()()(0)(0)rtatbtcutrrartatbutrrbrtautrrc+=+=+=利用函数匹配设：1002bc=解得：a，在起始点发生了跳变。105、33sin(),1()()0,tXxt=与其它构成傅立叶变换对。由于是判断题，所以只需检验特殊点。针对此题，我们检验0点，x(t)为非负信号，必有直流，而题给频谱0点却为0值，由此发现矛盾,所以命题不正确。11二、()xt()X()X242424已知信号的频谱如图2所示：试求信号时域波形的表达式。()xt12该图为两个三角频谱相减而成，即12()()()XXX=()X131112222222()()()18484()62()24132(2)12()22()8cos()3xtFXFXttSaSaSatSatSatt=由傅里叶变换的对称性，()()()()2ftFjFtf查傅里叶变换表，三角脉冲的傅里叶变换可得：14另解：感兴趣的同学可以课下练习()X242424215三、非均匀抽样问题考察非均匀抽样间隔系统，如图5.1所示：()xt()st()ft1()yt()H2()yt3()yt()zt16假设：i)()xt2mmf=是带限的，截止角频率为其频谱为如图5.2所示的三角形状；()Xmm17()stt1mTf+1mTf+T1mf1mf()st14mTf=ii)是非均匀间隔的周期单位冲激序列，如图5.3所示，其中()costftT=,0()0,0,0jHj=()X03E020E00203求的时域表达式。()xt29()X03E020E00203利用傅里叶变换的性质巧妙求解，将问题分解为简单步骤，回避复杂运算考查傅里叶变换的卷积性、对称性、频移性、时移性等合理使用已有的结论；或用“巧劲”得到需要的结果30Step1：卷积定理令其中12()()()XXX=102()sin()XE=000020000,1,2()(3),230,3X将分解为简单函数的组合()X卷积特性12()()*()xtxtxt=1()?xt=2()?xt=31Step2：对称性&频移特性110000()22()22222XFtjExtttjEtt=+=+()()1100110022()sin()()sin()22()XtXEXtEFFXtjE=+变量更换傅里叶变换()()()()2()()2FtftFFtff32Step3：对称性&频移特性梯形傅里叶变换公式(P381)1()ftt10320202032()()()()()000012000020338sinsin3444sinsin2F+=2()X10300200203对称性()()()100202sinsin22Fttgttt=频移性()()()00332220002034sinsincos22jtjtxtgteetttt=+=33Step4：卷积（时移）()X03E020E0020310022()2jExttt=+()()00202034sinsincos22ttxttt=()1200022000()()*()3211sinsincos2222xtxtxtttjEttt=+342()X10300200203扩展思路：多种不同的求解方法求的不同思路2()xt(5)“两个矩形卷积-梯形”+“频移”(6)分段矩形的积分-一阶微分定理(7)冲激函数的两次积分-二阶微分定理(1)大梯形减去三角形(2)大三角减去两个三角(3)四个三角形叠加(4)“三角减三角”+“频移”35八、已知一LTI系统的零极点分布如图所示，且当输入信号为时，系统稳态输出的直流分量为2。()1xt=(1)求该系统的系统函数()Hs(2)求系统的幅频特性和相频特性()Hj()(3)若输入信号为，求系统稳态响应()()3sin33ettut=+()ytj36考查系统函数、幅频特性及相频特性、稳态响应的概念。注意求稳态响应时利用输入信号为正弦信号这一特点来简化计算(1)列出零极点：1()p=二阶1z=设系统函数为()()211sHsks=+根据已知可得()02Hj=2k=()()2221sHss=+37(2)分别计算的模和相位()Hj()()2221jHjj=+()()2221211jHjj=+()()2arg22arg13arctanjj=+=注意的主值区间为()arctanfxx=()/2,/2arg22arctanj=()222arg12arctanarctan1j+=+38(3)对于L