（浙江专用）高考数学第四章三角函数、解三角形7第7讲正弦定理与余弦定理教学案.docx

第7讲正弦定理与余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；cos A；cos B；cos C2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin_Babsin C；(3)S，其中p(abc)疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形()(3)在ABC中，sin Asin B的充分不必要条件是AB.()(4)在ABC中，a2b21.所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在2在ABC中，若sin Asin B，则A，B的关系为_；若sin Asin B，则A，B的关系为_解析：sin Asin BabAB；sin Asin BabAB.答案：ABAB3在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_解析：由正弦定理，得sin Acos Asin BcosB，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形答案：等腰三角形或直角三角形利用正弦、余弦定理解三角形(高频考点)利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题主要命题角度有：(1)由已知求边和角；(2)三角恒等变换与解三角形角度一由已知求边和角 (1)(2020金华市东阳二中高三调研)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bcos Accos Aacos C，则tan A的值是()A2 BC2 D.(2)(2019高考浙江卷)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上若BDC45，则BD_，cosABD_【解析】(1)因为ABC中，由余弦定理得ccos Aacos Ccab.所以根据题意，3bcos Accos Aacos Cb，两边约去b，得3cos A1，所以cos A0，所以A为锐角，且sin A，因此，tan A2.(2)在RtABC中，易得AC5，sin C.在BCD中，由正弦定理得BDsinBCD，sinDBCsin(BCDBDC)sin(BCDBDC)sin BCDcosBDCcosBCDsinBDC.又ABDDBC，所以cosABDsinDBC.【答案】(1)C(2)角度二三角恒等变换与解三角形 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若cos B，求cos C的值【解】(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由cos B得sin B，cos 2B2cos2B1，故cos A，sin A，cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B. (变问法)本例条件不变，若ABC的面积S，求角A的大小解：由S，得absin C，故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B，因为sin B0，所以sin Ccos B，又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A. (1)正、余弦定理的选用解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 1ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A. B.C. D.解析：选B.因为sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以sin(AC)sin Asin Csin Acos C0，所以sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得sin C(sin Acos A)0，因为sin C0，所以sin Acos A0，所以tan A1，因为A(0，)，所以A，由正弦定理得sin C，又0C，所以C.故选B.2(2020绍兴市一中高三期末检测)ABC中，D为线段BC的中点，AB2AC2，tanCADsinBAC，则BC_解析：由正弦定理可知2，又tanCADsinBAC，则sin(CADBAD)，利用三角恒等变形可化为cosBAC，据余弦定理BC.答案：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不确定(2)若a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形【解析】(1)由正弦定理得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，则sin(BC)sin2A，由三角形内角和，得sin(BC)sin Asin2A，即sin A1，所以A.即ABC为直角三角形(2)法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得，由2cos Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理得cos A，所以，即c2b2c2a2，所以a2b2，所以ab.又因为a2b2c2ab.所以2b2c2b2，所以b2c2，所以bc，所以abc.所以ABC为等边三角形法二：利用角的关系来判断：因为ABC180，所以sin Csin(AB)，又因为2cos Asin Bsin C，所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin(AB)0.又因为A与B均为ABC的内角，所以AB，又由a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，又0C180，所以C60，所以ABC为等边三角形【答案】(1)A(2)D判定三角形形状的两种常用途径提醒“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系 1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形解析：选A.已知cos A，由正弦定理，得cos A，即sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0.又sin A0，于是有cos B0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形2已知在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2c，则ABC是()A等边三角形 B锐角三角形C等腰直角三角形 D钝角三角形解析：选C.因为2c，所以由正弦定理可得2sin C，而22，当且仅当sin Asin B时取等号，所以2sin C2，即sin C1.又sin C1，故可得sin C1，所以C90.又因为sin Asin B，可得AB，故三角形为等腰直角三角形，故选C.与三角形面积有关的问题(高频考点)求解与三角形面积有关的问题是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题主要命题角度有：(1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形；(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题角度一求三角形的面积 (1)(2020台州市高考模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a1，2bc2acos C，sin C，则ABC的面积为()A. B.C.或 D.或(2)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_【解析】(1)因为2bc2acos C，所以由正弦定理可得2sin B sin C2sin Acos C，所以2sin(AC)sin C2sin Acos C，所以2cos Asin Csin C，所以cos A，所以A30，因为sin C，所以C60或120.A30，C60，B90，a1，所以ABC的面积为12，A30，C120，B30，a1，所以ABC的面积为11，故选C.(2)在ABC中，ABAC4，BC2，由余弦定理得cosABC，则sinABCsinCBD，所以SBDCBDBCsinCBD.因为BDBC2，所以CDBABC，则cosCDB .【答案】(1)C(2)角度二已知三角形的面积解三角形 (1)(2020杭州市七校高三联考)设ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若ABC的面积为S，且Sa2(bc)2，则_(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A，b2a2c2.求tan C的值；若ABC的面积为3，求b的值【解】(1)因为ABC的面积为S，且Sa2(bc)2a2b2c22bcbcsin A，所以由余弦定理可得2bccos A2bcbcsin A，所以44cos Asin A，所以4.故填4.(2)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C，所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得tan C2.由tan C2，C(0，)，得sin C，cos C.因为sin Bsin(AC)sin，所以sin B.由正弦定理得c，又因为A，bcsin A3，所以bc6，故b3.角度三求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题 (1)(2020浙江“七彩阳光”联盟联考)已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足SABCa2，则的最大值为()A.1 B.C.1 D.2(2)(2020绍兴市一中期末检测)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acos Ccb.求角A的大小；若a3，求ABC的周长l的取值范围【解】(1)选C.根据题意，有SABCa2bcsin A，应用余弦定理，可得b2c22bccos A2bcsin A，令t，于是t212tcos A2tsin A于是2tsin A2tcos At21，所以2sint，从而t2，解得t的最大值为1.(2)由acos Ccb得sin Acos Csin Csin B，又sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以sin Ccos Asin C，因为sin C0，所以cos A，又0A，所以A.由正弦定理得b2sin B，c2sin C，labc32(sin Bsin C)32sin Bsin(AB)3232sin，因为A，所以B，所以B，所以sin，则ABC的周长l的取值范围为(6，32与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式(2)已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解 1在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若，sin B，SABC，则b的值为_解析：由ac，由SABCacsin B且sin B得ac5，联立解得a5，c2，由sin B且B为锐角知cos B，由余弦定理知b225425214，b.答案：2已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4Sa2(bc)2，bc8，则S的最大值为_解析：由题意得4bcsin Aa2b2c22bc，又a2b2c22bccos A，代入上式得2bcsin A2bccos A2bc，即sin Acos A1，sin1，又0A，所以A，所以A，所以A，Sbcsin Abc，又bc82，当且仅当bc时取“”，所以bc16，所以S的最大值为8.答案：83ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解：(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240.解得c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面积与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.核心素养系列9数学运算三角形中最值问题一、求角的三角函数值的取值 若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C 的最小值是_【解析】由sin Asin B2sin C，结合正弦定理可得ab2c，所以cos C( a b时取等号)，故cos C的最小值是.【答案】 在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大小；(2)求cos Acos C的最大值【解】(1)由余弦定理和已知条件可得cos B，又因为0B，所以B.(2)由(1)知AC，所以cos Acos Ccos Acoscos Acos Asin Acos Asin Acos.因为0A，所以当A时，cos Acos C取得最大值1.此类问题主要考查余弦定理、三角形内角和定理、辅助角公式以及三角函数的最值和基本不等式；解此类问题的关键是熟练地运用余弦定理、两角差的正余弦公式以及辅助角公式 二、求边的最值 (1)在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_(2)如图，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，ABBC1，ACCD，ACCD，当ABC变化时，BD的最大值为_【解析】(1)因为，所以AB2sin C，BC2sin A，因此AB2BC2sin C4sin A2sin4sin A5sin Acos A2sin(A)，因为(0，2)，A，所以AB2BC的最大值为2.(2)设ACB，则ABC2，DCB，由余弦定理可知，AC2AB2BC22ABBCcosABC，即ACDC2cos ，由余弦定理知，BD2BC2DC22BCDCcosDCB，即BD24cos21212cos cos2cos 22sin 232sin3.由0，可得2，则23，此时，因此(BD)max1.【答案】(1)2(2)1边的最值一般通过三角形中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解有时也可利用均值不等式求解 三、求三角形函数的最值 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B2ab，若ABC的面积Sc，则ab的最小值为_【解析】在ABC中，2ccos B2ab，由正弦定理，得2sin Ccos B2sin Asin B又A(BC)，所以sin Asin(BC)sin(BC)，所以2sin Ccos B2sin(BC)sin B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B，得2sin Bcos Csin B0，因为sin B0，所以cos C，又0C，所以C.由Scabsin Cab，得c.由余弦定理得，c2a2b22abcos Ca2b2ab2abab3ab(当且仅当ab时取等号)，所以3ab，得ab48，所以ab的最小值为48.【答案】48利用三角函数的有关公式，结合三角形的面积公式及正、余弦定理，将问题转化为边或角的关系，利用函数或不等式是解决此类问题的一种常规方法 基础题组练1ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2ac，c2a，则cos C()A. BC. D解析：选B.由题意得，b2ac2a2，ba，所以cos C，故选B.2已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcos Cc(13cos B)，则sin Csin A()A23 B43C31 D32解析：选C.由正弦定理得3sin Bcos Csin C3sin Ccos B，3sin(BC)sinC，因为ABC，所以BCA，所以3sin Asin C，所以sin Csin A31，选C.3在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，a3，SABC2，则b的值为()A6 B3C2 D2或3解析：选D.因为SABC2bcsin A，所以bc6，又因为sin A，所以cos A，又a3，由余弦定理得9b2c22bccos Ab2c24，b2c213，可得b2或b3.4在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsin Aacos B0，且b2ac，则的值为()A. B.C2 D4解析：选C.在ABC中，由bsin Aacos B0，利用正弦定理得sin Bsin Asin Acos B0，所以tan B，故B.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，即b2(ac)23ac，又b2ac，所以4b2(ac)2，求得2.5(2020杭州市高三期末检测)设点P在ABC的边BC所在的直线上从左到右运动，设ABP与ACP的外接圆面积之比为，当点P不与B，C重合时()A先变小再变大B当M为线段BC中点时，最大C先变大再变小D是一个定值解析：选D.设ABP与ACP的外接圆半径分别为r1，r2，则2r1，2r2，因为APBAPC180，所以sinAPBsinAPC，所以，所以.故选D.6在ABC中，|3，则ABC面积的最大值为()A. B.C. D3解析：选B.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为|3，所以bccos Aa3.又cos A11，所以cos A，所以0sin A，所以ABC的面积Sbcsin Atan A，故ABC面积的最大值为.7在ABC中，A，b2sin C4sin B，则ABC的面积为_解析：因为b2sin C4sin B，所以b2c4b，所以bc4，SABCbcsin A42.答案：28若锐角ABC的面积为10，且AB5，AC8，则BC等于_解析：由面积公式，得SABACsin A10，所以sin A.因为 A(0，)，所以A.由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A2564258cos49，所以BC7.答案：79(2020温州市高考模拟)在ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，记S为ABC的面积，若A60，b1，S，则c_，cos B_解析：因为A60，b1，Sbcsin A1c，所以解得c3.由余弦定理可得a，所以cos B.答案：310(2020金丽衢十二校联考模拟)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，acos Bbcos A，4S2a2c2，其中S是ABC的面积，则C的大小为_解析：ABC中，acos Bbcos A，所以sin Acos Bsin Bcos A，所以sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)0，所以AB，所以ab；又ABC的面积为Sabsin C，且4S2a2c2，所以2absin C2a2c2a2b2c2，所以sin Ccos C，所以C.答案：11在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解：(1)由题意知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，故sin Bsin C.因为0B90，0C0，则cos B，故a5.(2)由(1)知，sin B，由Sacsin B9，得c6.由b2a2c22accos B13，得b.故ABC的周长为11.综合题组练1在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b1，a2c，则当C取最大值时，ABC的面积为()A. B.C. D.解析：选B.当C取最大值时，cos C最小，由cos C，当且仅当c时取等号，且此时sin C，所以当C取最大值时，ABC的面积为absin C2c1.2在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，a，a2.若b1，3，则c的最小值为()A2 B3C2 D2解析：选B.由a，得sin C由余弦定理可知cos C，即3cos Csin C，所以tan C，故cos C，所以c2b22b12(b)29，因为b1，3，所以当b时，c取最小值3.3已知在锐角ABC中，角A，B