肇庆学院光机电一体化综合性实验教学示范中心实验教材之一

前 言肇庆学院光机电一体化综合性实验教学示范中心实验教材之四信 号 与 系 统实 验 教 程肇庆学院电子信息与机电工程学院 编二八年九月V前 言前 言本实验教材是在刘超英、元泽怀老师编写的信号与系统实验讲义的基础上修改、并增加内容而来，是为“信号与系统”一课程配置的实验教材。严格地说，本教材只涉及连续时间系统的有关内容。对于离散时间系统，由于它们的处理方法不同，因而所用的实验设备也不同，本教材未作过深的涉及。看了本教材的一些实验内容，你可能会发现有些内容“似曾相识”，不过我们这里是以系统的概念出现的。“信号与系统”作为一门基础理论课，同时它也是电学类本科专业的一门主干课程，其实验内容必须依附于一定的实际电路。例如“信号与系统”中的标量乘法器，我们可以用一个三极管放大器来实现，也可以用一个运算放大器来实现，还可以用一个电位器进行分压而得。希望通过本实验，使学生们树立起“系统”的概念，而不要仅停留在放大器这一概念上。我们认为本实验教材有如下几个特点：特点之一，强调了信号与系统这一课程的特点，尽管实验中仍然使用的是电阻、电容、晶体管、运算放大器等常见的电子元器件，但它们构成的是标量乘法器、积分器、加法器等系统的基本单元。特点之二，增加了前后的连贯性。特点之三，增加了设计性实验内容。为了提高和发挥学生的自我实验能力，每个实验都有一部分内容由讲义中讲出原理并提出问题，具体的实验步骤由学生自己设计。完成这一部分的，才能得五分，否则最多只能得四分。特点之四，增加了一些非常实用但与本课程无关的附录，其目的是提高学生的实验技巧。在原来信号与系统实验讲义的基础上，本教材在实际电路实验部分增加了一个完整的电路设计性实验，并增加了应用Matlab进行综合仿真实验部分。Matlab在信号与系统中的应用主要包括符号运算和数值计算仿真分析。由于信号与系统课程的许多内容都是基于公式演算，而Matlab借助符合数学工具箱提供的符号运算功能，能基本满足信号与系统课程的需求，例如解微分方程、傅立叶正反变换、拉普拉斯正反变换和z正反变换等。Matlab在信号与系统中的另一主要应用是数值的计算与仿真，主要包括函数波形绘制、函数运算、冲激响应与阶跃响应仿真分析、信号的时域分析、频谱分析、s域分析和零极点图绘制能内容。数值计算仿真可以帮助学生更深入地理解信号与系统的理论知识，并为将来使用Matlab进行信号处理领域的各种分析和实际应用打下了基础。本教材电路实验部分由刘超英、元泽怀编写，Matlab仿真实验部分由陈荣荣编写。讲义中若存在理论或实验上的错误，请及时指出，以便修改，编者将十分感谢。编 者目 录目 录前 言I目 录III第一章 典型环节电路11.1实验目的11.2实验仪器11.3实验原理11.3.1标量乘法器（比例放大器）11.3.2 加法器21.3.3 积分器31.3.4 微分器41.4 实验内容41.4.1 乘法器41.4.2 积分器51.4.3 验证反相加法器61.4.4 设计性实验71.5 实验报告要求71.6 思考题7第二章 滤波器的比较研究82.1 实验目的82.2 实验仪器82.3 实验原理82.3.1 滤波器按频率特点的分类82.3.2 有源滤波器与无源滤波器92.3.3 滤波器的阶次92.3.4 带通滤波器和带阻滤波器（*）102.4 实验内容102.4.1无源滤波器与有源滤波器的比较102.4.2 一阶滤波器与二阶滤波器的比较122.4.3 低通滤波器、高通滤波器及带通滤波器（*）122.4.4 研究性实验132.5 实验报告13第三章 系统的稳定性143.1 实验目的143.2 实验仪器143.3 实验原理143.3.1 系统的稳定性143.3.2 系统流图153.4 实验内容及步骤183.5 报告要求183.6 思考题19第四章 采样与恢复204.1 实验目的204.2 实验仪器204.3 实验原理204.3.1 取样定理204.3.2实验框图与实验原理234.4 实验内容244.5 实验报告254.6 思考题25第五章 二阶系统的图形解（设计性实验）265.1 实验目的265.2 实验原理265.2.1 微分方程与参数的确定265.2.2 方程比例尺度的确定285.3 实验内容295.4 实验仪器305.5 报告要求305.6 思考题30第六章 信号的采样与恢复的仿真316.1 实验目的316.2 实验要求316.3 实验原理316.4 实验内容31第七章 HiFi（高保真音响）滤波器组的设计与实现377.1 说明及基本知识377.2 滤波器组的技术说明377.3 实验内容387.3.1 设计低通FIR（有限冲激响应）滤波器387.3.2 设计低通IIR（无限冲激响应）滤波器387.3.3 设计FIR滤波器组387.3.4 设计IIR滤波器组387.4 实验步骤38第八章 倒立摆控制系统模型的仿真468.1 实验目的468.2 实验要求468.3 基本原理468.4 实验内容47附录A 集成电路HA17741及LM32450附录B 用示波器测量信号的相位差51附录C 对数坐标的自制52附录D 观测瞬态信号的一种方法：开关法53附录E 相位延迟和群延迟54附录F 滤波器的特性和比较55F.1 滤波器的特性55F.1.1 巴特沃斯滤波器55F.1.2 切比雪夫滤波器56F.1.3 椭圆滤波器58F.1.4 凯泽窗59F.1.5 等纹波FIR滤波器59F.2 各种线性滤波器的比较60第一章 典型环节电路第一章 典型环节电路1.1实验目的1. 学习构成三种典型环节（标量乘法器、加法器、积分器）的模拟电路，了解电路参数对各环节性能的影响。2. 掌握连续时间系统典型单元环节电路的实现方法。3. 了解用三种典型环节电路来模仿系统的微分方程和传输函数的方法。1.2实验仪器示波器、函数发生器、信号与系统实验箱1号板1.3实验原理典型环节电路是指以下几种基本运算器：1.3.1标量乘法器（比例放大器）这种比例放大器的输出信号是输入信号的常数倍。它分为同相比例放大器和反相比例放大器两种。 a) 反相比例放大器 b) 同相比例放大器图1-1 标量乘法器电路原理图1.3.1.1 反相比例放大器（如图1-1 a）所示） 根据“虚地”及“虚断”的概念有：（虚地），（虚地），（虚断），可得反相比例放大电路输出电压与输入电压的函数关系是： (1-1)1.3.2.2 同相比例放大器（如图1-1 b）所示） 根据“虚地”及“虚断”的概念有（推导从略）： (1-2)由于集成运算放大器输入级由差动放大电路组成，它要求两边的回路参数对称，所以集成运放反相输入端和地两点向外看的等效电阻应等于从集成运放同相输入端和地两点向外看的等效电阻。如图1-1中，。（其它电路原理相同）1.3.2 加法器输出信号等于若干输入信号之和，也可以分为反相加法器和同相加法器。 a) 反相加法器 b) 同相加法器图1-2 加法器电路原理图1.3.2.1 反相加法器 如图1-2 a) 所示，运用虚短和虚断的概念，可推出它的传递函数是 (1-3)1.3.2.2 同相加法器 如图1-2 b) 所示，它的传递函数是： (1-4)其中：。 1.3.3 积分器 如图1-3所示，输出信号是输入信号的积分量，符号为：输入、输出关系式为：。 (1-5) 图1-3 积分器 图1-4 微分器1.3.4 微分器理想的微分电路如图1-4所示，输入输出的关系为：。 (1-6) 1.4 实验内容1.4.1 乘法器（如图1-5所示） a) 反相比例放大器 b) 同相比例放大器图1-5 标量乘法器1.4.1.1 反相比例放大器 图1-5 a)构成的实验电路已经集成在实验板上，在Vi端分别输入1kHz的正弦波或方波信号，观察输出波形，按下表输入信号的Vpp值调节Vi，将测得的输出信号的Vpp值填入下表。表1-1 反相比例放大器输入Vpp（V）0.10.20.5151015输出Vpp（V）结论（输入与输出的比例关系是什么？）1.4.1.2 同相比例放大器 图1-5 b)构成的实验电路已经集成在实验板上，在Vi端分别输入1kHz的正弦波或方波信号，观察输出波形，按下表输入信号的Vpp值调节Vi，将测得的输出信号的Vpp值填入下表。表1-2 同相比例放大器输入Vpp（V）0.10.20.5151015输出Vpp（V）结论（输入与输出的比例关系是什么？）1.4.2 积分器 图1-6 积分器图1-6构成的实验电路已经集成在实验板上，找出输入/输出端口，然后完成下面的实验：1. 输入方波信号，用双踪示波器观察输入、输出波形（注意输入信号的幅度不能太大，否则会出现直流分量）。画出输入、输出波形，将输入信号和输出信号的波形进行比较，用数学理论分析结果，看一看输出是不是输入的积分？2. 输入正弦波信号，分析输入信号与输出信号之间的相位关系。步骤：(1) 输入正弦波（Vpp = 0.1V, f = 1kHz）(2) 中心线为上下波形的中心，正半周、负半周以中心线为对称；(3) 画出输入与输出波形；(4) 读出输入与输出之间的时间差；(5) 计算相位差；（方法见附录B）(6) 分析输入信号对输出信号是“超前”还是“滞后”。1.4.3 验证反相加法器按图1-7连接电路。1. 以正弦信号作为输入信号，观察在以下三种情况下的输出波形：(1) 将信号从Vi1端输入，Vi2、Vi3端接地，观察Vo。 (2) 将信号从Vi1、Vi2端同时输入，Vi3端接地，观察Vo。 (3) 将信号从Vi1、Vi2、Vi3端同时输入，观察Vo。2. 以方波信号作为输入信号，重复1.中各步骤。3. 电路结构框图如图1-8所示（三角波是由图1-6积分器形成的）。在Vi1端输入方波信号，在Vi2端输入三角波信号，Vi3端接地，观察此时的输出波形，验证加法器，是否与你所想象的情形相符。注：在积分器的输出端加一个220F的电解电容，去除直流分量，效果更好。图1-7 反相加法器图1-8 加法器结构框图1.4.4 设计性实验按图1-2 b)所示连接电路，重复实验内容1.4.3中各步骤，验证同相加法器。1.5 实验报告要求整理实验中观察的各种波形和测得的数据，利用波形和数据分析并验证乘法器、加法器及积分器。1.6 思考题1. 在实验内容1.4.1中，Vi1应选择多大范围的信号，当Vi1过大时，Vo会出现何种变化？为什么？2. 实验内容1.4.4中，当Vi1和Vi2由不同的两个信号源产生信号时，加法器是否工作？示波器是否能观察到稳定的波形？为什么？7第二章 滤波器的比较研究第二章 滤波器的比较研究2.1 实验目的无源滤波器由电感、电容、电阻组成，适用于某些频率范围内使用。然而在低频范围内，由于电感体积大，重量重以及实用性能的限制，不能满足使用的要求。近年来，用有源滤波器件集成运算放大器代替电感组成的无源滤波器已被广泛应用。通过本实验我们希望达到下面几个目的：1. 认识无源滤波器与有源滤波器的区别以及各自的优缺点；2. 了解滤波器阶数对滤波器特性的影响；3. 了解滤波器按通带特点进行分类的方法。2.2 实验仪器双踪示波器、低频信号发生器、实验箱2，3号板2.3 实验原理2.3.1 滤波器按频率特点的分类滤波器是一种让某些频率的信号通过、抑制或衰减其它频率信号的部件，通过的那一部分称为通带，抑制或衰减的那一部分称为阻带。根据通带和阻带在频率域中的位置可分为低通、高通、带通、带阻或全通滤波器。设V1和V2分别是滤波器的输入和输出信号，则传递函数定义为： (2-1)式中：s可视为， (2-2)是电路的幅度响应，是电路的相位响应。图2-1 低通滤波器的幅度响应 图2-2 高通滤波器的幅度响应图2-3 带通滤波器的幅度响应 图2-4 带阻滤波器的幅度响应在图2-1，2-2，2-3，2-4中，虚线表示理想滤波器的频率特性，实线表示实际滤波器的频率特性。2.3.2 有源滤波器与无源滤波器仅由电阻、电容、电感等无源元件构成的滤波器称为无源滤波器。由无源器件再加上一些有源器件，如三极管、运算放大器等，构成的滤波器称为有源滤波器。滤波器除了有源、无源之分外，还有数字滤波器，本实验不涉及数字滤波器的内容。与无源滤波器相比，有源滤波器有许多优点，最主要的特点是它的频率特性几乎不受负载的影响。2.3.3 滤波器的阶次滤波器还有高阶和低阶之分，一般情况下，滤波器的阶次越高，其频率特性越接近理想情况。从理论上讲，滤波器的阶次n是指系统函数H(s)中分母上s的幂次。从实践上讲，一般情况下一个滤波器使用的贮能元件（指电容、电感）的多少就是该滤波器的阶次。2.3.4 带通滤波器和带阻滤波器（*）带通滤波器是以一个频率（其中）为中心、以B为带宽、其余为阻带的滤波器，其幅度响应见图2-3。图中虚线代表理想的情况，实线代表实际的响应。带通滤波器可以由一个低通滤波器和一个高通滤波器级联来构成，见图2-5。带阻滤波器衰减或抑制某一频带的信号，而通过其它频带的信号。其幅度响应见图2-4。图中虚线为理想的情况，实线为实际的情况。中心频率，带宽。带阻滤波器可以由一个低通滤波器和一个高通滤波器并联来构成，见图2-6。图2-5 带通滤波器的构成 图2-6 带阻滤波器的构成2.4 实验内容2.4.1无源滤波器与有源滤波器的比较实验步骤：1. 在2号实验板上，找到一阶无源滤波器（Passive LPF），把信号发生器调在正弦信号输出位置，信号发生器接在一阶无源滤波器的输入端（Vi端），双踪示波器一探头并接在滤波器输入端，另一探头接在滤波器输出端（Vo端），按表2-1所给频率输入正弦信号，不断调节信号发生器的频率，用示波器测出输入、输出信号的幅度，把结果填入表2-1。表2-1 一阶无源滤波器输入输出信号的幅度f (Hz)10301003001K3K10K30KVi (格)Vo(格)Vo/Vi2. 在2号实验板上，找到一阶有源滤波器（1-ordor LPF）的输入/输出端，重复步骤1的测量方法，将示波器显示的情况填入表2-2。表2-2 一阶有源滤波器输入输出信号的幅度f(Hz)10301003001K3K10K30KVi(格)Vo(格)Vo/Vi3. 绘出步骤1、步骤2的幅度响应图并加以比较。（以lg(f)为横坐标，Vo/Vi为纵坐标绘图）（对数坐标的绘制见附录C） 图2-7 一阶无源滤波器 图2-8 一阶有源滤波器(1-ordor LPF)2.4.2 一阶滤波器与二阶滤波器的比较图2-9 二阶有源滤波器（2-ordor LPF）实验步骤：分别在2号实验板上，找到1-ordor LPF和2-ordor LPF的位置，重复实验2.4.1的各实验步骤，将实验数据填入两表（最好在300Hz1KHz之间增加500Hz的点，或多一、二点），并绘出两种滤波器的幅度响应图加以比较。看一看哪一个的幅度响应更接近理想滤波器。2.4.3 低通滤波器、高通滤波器及带通滤波器（*）步骤：分别按图2-10，2-11、2-12接好电路，并按实验2.4.1的各实验步骤，将实验数据填入两表，并绘出三种滤波器的幅度响应图加以比较。 图2-10 低通滤波器（2-ordor LPF） 图2-11 高通滤波器(2-ordor HPF)图2-12 带通滤波器(2-ordor BPF)2.4.4 研究性实验1. 在一阶无源滤波器和一阶有源滤波器的输出端分别加上一个负载（），重复上述实验2.4.1的测量。看一看是否影响原来滤波器的频率特性？那一个受影响？那一个不受影响？分析原因。2. 如果希望（）不影响无源滤波器的特性，重新设计原来的滤波器。2.5 实验报告1. 将上面实验内容2.4.12.4.4测得的数据分别填入六个表格；2. 分别绘出三个幅度响应图并加以比较（最好用计算机绘图）；3. 分析研究性实验的原因。13第三章 系统的稳定性第三章 系统的稳定性3.1 实验目的1. 了解系统函数、闭环系统的系统函数，会分析其稳定性；2. 了解系统函数的极点位置和频率响应的关系；3. 对简单的系统能通过调节极点位置，控制其稳定性。3.2 实验仪器示波器、函数发生器、万用表、实验箱4号板3.3 实验原理3.3.1 系统的稳定性从稳定性考虑，系统可分为稳定、临界稳定、不稳定三种情况。图3-1 系统的稳定、临界温度和不稳定示意图如果系统函数H(s)的全部极点落在s左半平面（不包括虚轴），则满足，系统是稳定的。如果系统函数H(s)的有一个以上极点落在s的右半平面，或在虚轴上且是二阶以上的极点，则，系统是不稳定的。如果系统函数H(s)的极点落在s平面的虚轴上且只有一阶，则时，h(t)趋于一个非零的常数值或是等幅震荡，系统是临界稳定的，通常把这一状态也划为稳定系列。因此稳定系统要求系统函数H(s)的极点必须满足以下两条：(1) H(s)的右半平面内不能有极点。(2) H(s)在轴上的极点是一阶的。否则系统是不稳定的。3.3.2 系统流图本实验用如下流图来验证极点位置与稳定性的关系。图3-2 系统流图图3-2中，H1(s)利用一个简单的RC串并联电路来实现。 (3-1)利用梅逊公式可推出该闭环系统的传递函数为： (3-2)请读者自行计算系统函数H(s)的零点Z1、Z2及极点P1、P2，本实验为简单起见，取R1 = R2 = R，则：零点 , ；极点 。由此可以看出，P1、P2是k的函数。当k由零逐渐增大时，二者的轨迹如图3-3所示。1. k = 3时，P1、P2位于虚轴上，系统处于临界稳定状态，时域响应表现为等幅振荡的正弦波。2. k 3时，P1、P2位于s平面右半平面，系统已不再稳定，时域冲激响应为增幅振荡的正弦波，而且k越大，P1、P2离虚轴越远，正弦波幅度增长越快，系统也越不稳定。 图3-3 极点随k变化的轨迹H(s)的具体实现电路如图3-4所示，图中虚框内部分，即R1、R2、C1、C2构成H(s)，运放A在这里同时构成加法器和标量乘法器k，。当在Vi端加入冲激信号，即可在Vo端得到h(t)。 但是由于瞬态信号难以观察，本实验采用开关法来观测此瞬态信号（参见附录D）。图3-5中，虚框内部分构成一个重复频率较高的开关，利用人眼的惰性就可观测h(t)。图3-4 H(s)实现电路图3-5 观测瞬态信号实验电路3.4 实验内容及步骤1.将R8电位器的阻值调在10K左右。2.将VR的阻值调在20K左右，接上电源，在Vi端加入50100Hz左右、幅度为5V以上的方波信号或脉冲信号，调节VR并观察Vo端波形，直到示波器上出现等幅振荡的正弦波为止，用万用表测出VR值，并记下此时VR值为VRo。计算出此时的k值及H(s)的极点位置。1) a.减少VR值，使VR值略小于VRo，观察记录此时波形、周期，并测出VR值，计算K值及极点位置。b.进一步减少VR值，观察记录此时波形、周期，并测出VR值，计算K值及极点位置。2) a. 改变VR值，使VR略大于VRo，观察记录此时波形、频率，并测出VR值，计算K值及极点位置。b. 进一步增大VR值，观察记录此时波形、周期，并测出VR值，计算K值及极点位置。3. 把R8的阻值调在5K，重复步骤2，将输出波形情况与步骤2进行比较。4. 把R8的阻值调在20K，重复步骤2，将输出波形情况与步骤2进行比较。3.5 报告要求1. 认真整理实验记录，将上述实验步骤观察到的实验波形及周期填入表3-1。表中波形情况应能反映出疏密变化，并标出周期T。2. 计算R8 = 10K时的k值和极点位置，并填入表3-2，比较说明极点位置与稳定性的关系。3. 根据H(s)解出h(t)。4. 分析记录结果与理论上h(t)的异同之处。表3-1 实验波形及周期R8 = 10KR8 = 5KR8 = 20K减幅等幅增幅表3-2 R8 = 10K时的k值和极点位置VR值K值极点位置（P1，P2）对应波形图3.6 思考题1、如果实验中开关信号频率过高对实验结果有何影响？ 2、当C1 = C2 = C，R1 = aR2时，结果又怎样（a = 10,5,1/10,1/20）? 3、输入方波的幅度为什么要大于一定的值？该信号起什么作用？19第四章 采样与恢复第四章 采样与恢复4.1 实验目的由于数字电子技术的迅速发展，尤其是微型计算机在自动控制和自动检测中的应用日益广泛，用数字电路处理模拟信号的情况更加普遍了。在现代通信系统中，为了减少模拟信号在传输过程中易受干扰，提高传输质量，首先把模拟信号转换为数字信号，数码化的方法有脉冲编码调制（PCM）及增量调制（DM）。把模拟信号转换为数字信号，称作模/数转换或A/D变换，通常有四个步骤：取样、保持、量化、编码。本实验的目的是通过对模拟信号进行取样变换，最后用滤波器恢复信号，熟悉取样定理及有关电路。4.2 实验仪器示波器、低频信号发生器、实验箱5号板4.3 实验原理4.3.1 取样定理取样变换是把时间上连续变换的信号转变为时间上断续变换的信号。图4-1是取样器的原理示意图。图4-1 取样器 图4-2 取样脉冲设为连续变化信号，为周期变化的矩形脉冲，的幅度为1，在的脉冲出现时，开关K接通；无脉冲时，开关断开，此时，则取样器可看作是一个乘法器。即。设，即输入信号幅度为A的余弦信号。是幅度为1，周期为T，宽度为的矩形脉冲。即： （4-1）在上, （4-2）我们来研究的频谱：由于是偶函数，所以只有直流分量和余弦项： （4-3）由付氏变换公式得： （4-4） （4-5）从的表达式可以看出，取样后保留了原信号的成分，又增加了新的频率成分：与，其中。图4-3是取样变换波形图。图4-4是变换前及变换后的频谱成分图。如果输入信号不是单一的频率，而是一个频谱宽度为的信号，其频谱如图4-5 a)所示。经取样变换后，的频谱，如图4-5 b)所示。可见取样变换后除了有原信号的频率外，还在取样脉冲的角频率等处增加新的边带。图4-3 取样变换波形图 图4-4 取样变换频谱图为了从中恢复，可用低通滤波器将以内的信号取出。为了不失真，则边带不能与原频带重叠，因而要求：即或， 因此取样定理可表达为：对于最大频谱为的模拟信号，为了不失真地进行取样变换，要求取样脉冲的重复频率与之间满足关系：，。通常选择f的范围是：。 a) X(t)的频谱图 b) Y (t)的频谱图图4-5 频宽为时的频谱图4.3.2实验框图与实验原理4.3.2.1 实验框图 本实验利用图4-6所示框图完成信号的取样与恢复。图4-6 信号取样与恢复框图4.3.2.2 实验原理 取样变换电路见于图4-7。图4-7 实验电路原理图图中单结晶体管T1与发射极电阻，电容组成多谐振荡器。改变100K电位器的值，可改变振荡频率。与基极B2相接的200p电容及10K电阻起微分作用，进一步将脉冲变窄，从而产生了。T2为取样开关，取样脉冲到达时导通，其发射极输出幅度正比于输入信号的值，因此T2发射极的输出信号可视为，它是被调幅的周期信号，从而完成了抽样，即。运算放大器及其电阻、电容组成二阶低通滤波器，用来恢复。4.4 实验内容1. 检查无误后通电。2. 将小于1V， f = 400Hz的正弦信号加在输入端。3. 用示波器观察电路中的A点，测脉冲周期及脉宽并作记录。4. 用示波器观测B点抽样波形，记下此时信号频率及一周期内抽样次数。5. 用示波器观察频率为400Hz时，C点恢复后的波形。分别改变原输入信号为方波、三角波，重复3、4、5步骤。6. （设计性实验）改变低频频率（大于2kHz）观测B点波形及参数（作法同4），观察并记录C点波形。4.5 实验报告1. 整理实验中测得的数据；2. 绘出各点的波形图；3. 绘出改变抽样信号频率后的恢复信号波形与原信号比较。4.6 思考题1. 简述取样定理，并说明为什么要求。2. 若为1kHz的正弦信号，取样脉冲频率为10kHz，则低通滤波器的截止频率应选择多大。25第五章 二阶系统的图形解第五章 二阶系统的图形解（设计性实验）5.1 实验目的1掌握求解系统响应的一种方法图形解。2研究系统参数变化对响应的影响。5.2 实验原理5.2.1 微分方程与参数的确定一些实际的系统微分方程可能是高阶的或一阶的微分方程，求解系统的响应是很费时间甚至是困难的，由于描述各种不同系统（如电系统，机械系统）的微分方程有非常相似之处，而又可以用电系统模仿各种非电系统，所以用基本运算单元可获得该实际系统响应的图形解，这种装置又称为“电子模拟计算机”，运用它能较快地求解系统的微分方程，并能用示波器将求解结果显示出来，改变微分方程的初始条件和参数，可以很快得到在不同的初始条件下和不同参数下的方程的解。现以二阶系统为例说明如下：系统的微分方程为： （5-1）即： （5-2）可以按图5-1所示的流图来描述它。图5-1 系统流图在前面的实验中，已经对构成系统的各种基本单元，如加法器，标量乘法器，积分器作过理论分析和实验，利用这些基本单元，就可构成图5-1流图给出的系统，如图5-2所示。图5-2 二阶系统微分方程模拟电路在图5-2中，A1构成加法器和积分器1，A2构成积分器2，100K电位器构成标量乘法器-a1,A3构成标量乘法器-a0，也就是说，图5-2所示的电路对应于式（5-1）所给出的微分方程。U2对应于式（5-1）中的响应Y。在X端加入激励，在U2端就可以观察到一个响应U2 (t)，这个U2 (t)就是（5-1）微分方程的解Y(t)波形。由模拟电路可得模拟方程： （5-3） （5-4） （5-5）在上式中：，整理得： （5-6）与式（5-1）相比较有： （5-7）只要适当的选择模拟装置元件参数，可使模拟方程和实际系统的微分方程完全相同。5.2.2 方程比例尺度的确定实际系统响应的变化范围可能很大，持续时间可能很长，但运算放大器的输出电压范围是有限的，大致在10V之间。积分时间受RC元件数值的限制，也不能太长，因此要合适的选择变量的幅度比例尺度和时间比例尺度,使得： （5-8） （5-9）式中Y和t为实际系统方程中的变量和时间，和为模拟方程中的变量和时间，的单位由和Y的单位决定，由和t决定。例：二阶微分方程为： （5-10）Y表示位移，如选，则：由于，这就意味着，模拟方程中每变化10V相当于实际方程Y变化1cm.t表示时间，如选=0.001，这就意味着=0.001t，即模拟方程中的1毫秒相当于实际方程的1秒。把及代入（5-10）式，得： （5-11）（5-11）式是（5-10）式经过幅度和时间变换后得到的方程，它们的变换值如前所述，分别是10和0.001。与式（5-2）相比较：所以，取：， , 使满足上式。5.3 实验内容本实验选用的模拟方程为： （5-12）式中U(t)为阶跃函数。根据此模拟方程以及实验原理，由学生自己进行如下实验：1. 根据（5-12）模拟方程，推导出原二阶微分方程。2. 根据（5-12）模拟方程确定电路的有关参数（C1、C2已给出）。3. 根据电路参数值选择元器件并连接好电路。（提示：电路中三个运算放大器可用一块LM324提供，LM324的具体引脚见附录A所示）4. 在输入端R11处输入方波信号，其频率f = 100Hzkz左右， = 10V,观察并记录实验波形，分析并观察模拟系统的零状态响应。在阶跃输入时，观察输出波形，读出等于0ms,2ms,4ms时的值，与实际中t = 0s,2s,4s时的Y值相比较，即验证波形是否与方程的解相符。5.4 实验仪器双踪示波器、函数信号发生器、稳压电源、万用表，元器件等5.5 报告要求1. 给出从示波器上观察到的波形，再解出二阶方程并绘出解的图形，把由模拟方程所得的图形解和原二阶微分方程的解相比较（注：图形解中的1毫秒对应于原二阶微分方程的1秒，10V对应原二阶微分方程的1cm）。回答思考题。2. 总结用基本单元求解系统时域响应的要点。5.6 思考题1. 为使输出波形幅度增大，应改变哪些参数值？改变这些参数值后，对输出波形的形状有何影响？2. 为使输出波形的振荡频率提高，应改变哪些参数？改变这些参数后，对输出波形的形状有何影响？31第六章 信号的采样与恢复的仿真第六章 信号的采样与恢复的仿真6.1 实验目的本实验用MATLAB语言编程实现，仿真实现信号的采样与恢复的功能。对连续信号进行采样，在满足采样定理和不满足采用定理两种情况下对连续信号和采样信号进行频谱分析；从采样信号中恢复原信号，对不同采样频率下的恢复信号进行比较分析，验证香农采样定理。教材中给出了实验的程序，但鼓励学生仅以此为参考，根据自己的理解自行编写。6.2 实验要求1. 产生连续时间信号2. 以正弦信号为例，对产生的连续时间信号进行采样，并进行频谱分析，和连续信号的频谱进行分析比较。改变采样频率，重复以上过程。3. 设计低通滤波器，采样信号通过低通滤波器，恢复原连续信号，对不同采样频率下的恢复信号进行比较，分析信号的失真情况。6.3 实验原理实验原理已在信号的采样与恢复的实际电路操作的实验讲义叙述，这里不再重复。香农采样定理：为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍，即。6.4 实验内容1. 更改Matlab的当前路径为设定的目标文件夹。2.建立一个新的m文件，输入以下程序。% 产生模拟信号的时域波形图 %close all;clear;clc;N = 1024;t = linspace(0,1,N);fm = input(请输入正弦信号的频率(Hz)，fm = ) %设定正弦信号频率T = 1/fmx = sin(2*pi*fm*t); %生成正弦信号figure,subplot(2,1,1),plot(t,x); grid on; %作正弦信号的时域波形xlabel(时间(sec);ylabel(正弦信号值);title(正弦信号y=sin(2*pi*,num2str(fm),*t)的时域波形);%3. 运行程序后，Command Window中出现对话：“请输入正弦信号的频率(Hz)，fm = ”， 输入fm的值后按Enter键，得出信号的时域波形。继续键入以下程序，得到原信号的频谱图，如图6-1所示（此例中选择fm = 2 Hz）。注意观察频谱图峰值对应的角频率值，看是否与理论值一致。图6-1 模拟信号的时域波形和频谱图% 生成信号的频谱 %M = 500;k = -M:M;W = pi*k/(M*dt);Fw = dt*x*exp(-j*t*W); %傅立叶变换的数值计算subplot(2,1,2),plot(W,abs(Fw); grid on;axis(-4*pi*fm 4*pi*fm 0 1.2*max(abs(Fw)xlabel(频率（Omega）);ylabel(abs（Fw）)title(正弦信号y=sin(2*pi*,num2str(fm),*t)的频谱);%4. 继续输入以下程序，Command Window中继续出现对话：“请输入抽样频率(Hz):fs =”，输入自己定义的抽样频率，观察原信号经抽样后的时域波形及抽样信号的频谱，可修改axis的范围观察单个周期的信号采样情况。程序执行结果如图6-2所示。图6-2 原信号经抽样后的时域波形及抽样信号的频谱% 原信号经抽样后的时域波形及抽样信号的频谱 %fs = input(请输入抽样频率(Hz):fs = )f_s = fs/T; % 若一个周期抽样的抽样频率为fs，则令图像中所有T个周期的抽 % 频率为fs/TTs = 1/f_s % 抽样间隔为1/f_stt = -1:1/f_s:1; f1 = cos(2*pi*fm*tt);F1 = Ts*f1*exp(-j*tt*W);figure,subplot(2,1,1),stem(tt,f1); grid on;title(fs=,num2str(fs),Hz抽样信号), xlabel(时间(sec)subplot(2,1,2),plot(W,abs(F1)-Ts); grid on;axis(-4*pi*f_s 4*pi*f_s 0 1.2*(max(abs(F1)-Ts)title(fs=,num2str(fs),Hz抽样信号的FT变换)%5. 设计低通滤波器。继续输入以下程序，Command Window中出现对话：“请输入低通滤波器的截至频率(Hz)：Fs = ”，输入自定义的低通滤波器截至频率，注意思考截至频率的选取范围。本程序应用巴特沃兹滤波器原理设计，得到巴特沃兹低通滤波器的幅频特性，如图6-3所示。图6-3 巴特沃兹低通滤波器Matlab执行程序如下：% 设计巴特沃兹低通滤波器 %Fs = input(请输入低通滤波器的截至频率(Hz)：Fs = )Wp = Fs*2*pi;Ws = Fs*1.5*2*pi;Rp = 1;Rs = 17;n,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s);z,p,k=buttap(n);b0,a0=zp2tf(z,p,k);b,a=lp2lp(b0,a0,Wn);bz,az=bilinear(b,a,10);h,w=freqs(b,a);figure, plot(w/(2*pi),20*log10(abs(h); grid on;xlabel(频率(Hz); ylabel(幅频响应(dB);xlim(0,50); ylim(-30,1);title(巴特沃兹低通滤波器，截止频率,num2str(Fs),Hz)%6. 观察滤波后恢复的波形，如图6-4，注意观察原波形及滤波后恢复波形的差异。Matlab执行程序如下：图6-4 原波形及恢复后的波形比较% 原波形与恢复波形的时域比%f5=filter(bz,az,f1);figure,plot(t,x);hold on;plot(tt,f5,g);legend(原来的波形,滤波后的波形)title(原波形及恢复后的波形比较，fs/fm = ,num2str(fs/fm);axis(0 1 -1 1),grid on;%7. 分别定义fs为fm的1.5、2、3、5、10、20、倍执行程序，观察频谱的混叠现象，并根据实验结果分析香农采样定理（奈奎斯特频率的选择）。注意采用不同的原信号频率与抽样频率时，教程中给出的参考程序某些相应的参数可能要做出修改，根据实验中的实际情况定义不同的值，例如Wp、Ws等。8. 修改程序中原信号产生命令，分别用方波、三角波重复以上实验。（提示：Matlab中可用“square”产生周期性方波信号，用“sawtooth”产生周期性三角波或锯齿波函数）37第七章 HiFi（高保真音响）滤波器组的设计与实现第七章 HiFi（高保真音响）滤波器组的设计与实现7.1 说明及基本知识在本实验中，我们将应用Matlab的SPTool设计一个带有三组频带的HiFi的滤波器组，并应用Simulink实现滤波器组的功能并进行测试。在某些HiFi系统里，音频信号被划分为数字域里的若干频带，在输送到扩音设备之前，每个频带都单独地经过数/模转换和放大，比如三功放与三线路。图（一）示意了一个三功放三线路HiFi系统的信道。图7-1 HiFi系统示意图7.2 滤波器组的技术说明采样频率Fs = 44.1 kHz， 以CD标准为例。表7-1 滤波器组的技术说明滤波器截至频率fc（Hz）阻带频率fs（Hz）通带允许起伏Rp（dB）阻带衰减Rs（dB）低通300900350带通300, 3000100, 9000350高通300010003507.