（浙江专用）高考数学第四章三角函数、解三角形3第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学案.docx

第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.三角函数公式的变形(1)tan tan tan()(1tan tan )；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.3三角函数公式关系疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意角()(2)两角和与差的正切公式中的角，是任意角()(3)cos 80cos 20sin 80sin 20cos(8020)cos 60.()(4)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(5)存在实数，使tan 22tan .()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修4P127练习T2改编)若cos .是第三象限的角，则sin_解析：因为是第三象限角，所以sin ，所以sin.答案：2(必修4P131练习T5改编)sin 347cos 148sin 77cos 58_解析：sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77sin(5877)sin 135.答案：3(必修4P146A组T4改编)tan 20tan 40tan 20tan 40_解析：因为tan 60tan(2040)，所以tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40，所以原式tan 20tan40tan 20tan 40.答案：易错纠偏(1)不会逆用公式，找不到思路；(2)不会合理配角出错；(3)忽视角的范围用错公式1化简：_解析：原式.答案：2若tan 3，tan()2，则tan _解析：tan tan().答案：3已知，且sin，则tan 2_解析：法一：sin，得sin cos ，已知，平方得2sin cos ，可求得sin cos ，所以sin ，cos ，所以tan ，tan 2.法二：因为且sin，所以cos，所以tan，所以tan .故tan 2.答案：三角函数公式的直接应用 (1)已知，sin ，则tan()A B. C. D(2)(2020杭州中学高三月考)已知，且sin，则sin _，cos_【解析】(1)因为，所以cos ，所以tan ，所以tan.(2)因为，所以00，所以为锐角，sin，所以sin2sincos，故选B.三角函数公式的活用(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式主要命题角度有：(1)两角和与差公式的逆用及变形应用；(2)二倍角公式的活用角度一两角和与差公式的逆用及变形应用 (1)已知sin cos ，则sin2()()A. B.C. D.(2)在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，则cos C的值为()A B.C. D【解析】(1)由sin cos 两边平方得1sin 2，解得sin 2，所以sin2().(2)由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，又AB(0，)，所以AB，则C，cos C.【答案】(1)B(2)B角度二二倍角公式的活用 _【解析】法一：原式tan 30.法二：原式.法三：因为.又0，所以.【答案】三角函数公式的应用技巧运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan tan tan()(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用 1化简sin 22cos2()Acos2 Bsin2Ccos 2 Dcos 2解析：选D.原式sin cos 2cos2(sin2cos2)2cos212cos2cos 2.2若，则(1tan )(1tan )的值是_解析：1tantan()，所以tan tan 1tan tan .所以1tan tan tan tan 2，即(1tan )(1tan )2.答案：2角的变换 (1)(2020金华十校联考)已知sin 2(2)，tan()，则tan()等于()A2 B1C D.(2)(2018高考浙江卷)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.求sin()的值；若角满足sin()，求cos 的值【解】(1)选A.因为sin 2，2，所以cos 2，tan 2，tan()tan2()2.(2)由角的终边过点P得sin ，所以sin()sin .由角的终边过点P得cos ，由sin()得cos().由()得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .角的变换技巧(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(3)常用拆分方法：2()()，()，等 1已知tan()1，tan，则tan 的值为()A. B.C. D.解析：选B.tantan.2若sin 2，sin()，且，则的值是()A. B.C.或 D.或解析：选A.因为，所以2，又sin 2，故2，所以cos 2.又，故，于是cos()，所以cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()，且，故.基础题组练1计算sin 133cos 197cos 47cos 73的结果为()A. B.C. D.解析：选A.sin 133cos 197cos 47cos 73sin 47(cos 17)cos 47sin 17sin(4717)sin 30.2已知sincos，则tan ()A1 B0C. D1解析：选A.因为sincos，所以cos sin cos sin ，所以sin cos ，所以sin cos ，所以tan 1.3若，tan，则sin 等于()A. B.C D解析：选A.因为tan，所以tan ，所以cos sin .又因为sin2cos21，所以sin2.又因为，所以sin .4(2020宁波效实中学高三质检)sin 2，0，则cos的值为()A B.C D.解析：选D.cossin cos ，又因为(sin cos )212sin cos 1sin 2，0，所以sin cos ，故选D.5已知sin ，tan()，则tan()的值为()A B.C. D解析：选A.因为sin ，所以cos ，所以tan .因为tan()tan ，所以tan ，则tan().6(2020温州市十校联合体期初)若，且3cos 2sin，则sin 2的值为()A. BC. D解析：选D.3cos 2sin，可得3cos 2(cos sin )，3(cos2sin2)(cos sin )，因为，所以cos sin 0，上式化为sin cos ，两边平方可得1sin 2.所以sin 2.7(2020金华市东阳二中高三调研)设sin，则sin 2_解析：因为sin，即sin cos ，平方可得sin 2，解得sin 2.答案：8已知sin(45)，090，则cos _解析：因为090，所以454545，所以cos(45)，所以cos cos(45)45cos(45)cos 45sin(45)sin 45.答案：9若sin sin 1，cos cos ，则cos()_解析：由sin sin 1，得(sin sin )2，即sin2sin22sin sin ，由cos cos ，得cos2cos22cos cos ，得，2sin sin 2cos cos ，即cos().答案：10(2020宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若sin(x)cos(x)，则sin 2x_，_解析：sin(x)cos(x)sin xcos x，即sin xcos x，两边平方得sin2x2sin xcos xcos2x，即1sin 2x，则sin 2x，由，答案：11已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值解：(1)tan3.(2)1.12已知coscos，.(1)求sin 2的值；(2)求tan 的值解：(1)coscoscossinsin，即sin.因为，所以2，所以cos，所以sin 2sinsincos cossin .(2)因为，所以2，又由(1)知sin 2，所以cos 2.所以tan 22.综合题组练1(2020浙江五校联考)已知3tan tan21，sin 3sin(2)，则tan()()A. BC D3解析：选B.因为sin 3sin(2)，所以sin()3sin()，所以sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ，所以2sin()cos 4cos()sin ，所以tan()2tan ，又因为3tantan21，所以3tan1tan2，所以tan ，所以tan()2tan .2(2020浙江省名校协作体高三联考)对于集合a1，a2，an和常数a0，定义：为集合a1，a2，an相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为()A. B.C. D与a0有关的一个值解析：选A.集合相对a0的“正弦方差”.3若，cos2cos 2，则sin 2_解析：由已知得(cos sin )2(cos sin )(cos sin )，所以cos sin 0或cos sin .由cos sin 0得tan 1，因为，所以tan 0，所以cos sin 0不满足条件；由cos sin 两边平方得1sin 2，所以sin 2.答案：4(2020杭州模拟)已知角，的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，、(0，)，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则sin _，cos _解析：依题设及三角函数的定义得cos ，sin().又因为0，所以，sin ，cos().所以cos cos()cos()cos sin()sin .答案：5已知sin cos ，sin，.(1)求sin 2和tan 2的值；(2)求cos(2)的值解：(1)由题意得(sin cos )2，即1sin 2，所以sin 2.又2，所以cos 2，所以tan 2.(2)因为，sin，所以cos，于是sin 22sincos.又sin 2cos 2，所以cos 2，又2，所以sin 2，又cos2，所以cos ，sin .所以