勾股定理的逆定理及应用

1 勾股定理的逆定理及应用 下面有三组数分别是一个三角形的三边长三角形的三边长 a b c 5 12 13 7 24 25 8 15 17 回答这样两个问题 1 这三组数都满足 a2 b2 c2吗 2 分别以每组数为三边长作出三角形 用量角器量一量 你能猜测最大的角的度数吗 入 门 测 试 1 如图 湖的两端有 A B 两点 从与 BA 方向成直角的 BC 方向上的点 C 测得 CA 130 m CB 120 m 则 AB 为 A 30 m B 40 m C 50 m D 60 m 2 一个圆柱形的油桶高 120 cm 底面直径为 50 cm 则桶内所能容下的最长的木棒长为 A 5 cm B 100 cm C 120 cm D 130 cm 3 国庆假期中 小华与同学去玩探宝游戏 按照如图所示的探宝图 他们从门口 A 处出发先 往东走 8 km 又往北走 2 km 遇到障碍后又往西走 3 km 再向北走到 6 km 处往东拐 仅走了 1 km 就找到了宝藏 则门口 A 到藏宝点 B 的直线距离是 A 20 km B 14 km C 11 km D 10 km 4 你听说过亡羊补牢的故事吧 为了防止羊的再次丢失 牧羊人要在高 0 9 m 宽 1 2 m 的长 方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板 则这条木板至少需 m 长 5 历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形 其中两个全等的直角三角形边 AE EB 在一条直线上 证明中用到的面积相等关系是 A S EDA S CEB B S EDA S CEB S CDE 2 C S四边形 CDAE S四边形 CDEB D S EDA S CDE S CEB S四边形 ABCD 6 6 直角三角形的性质 直角三角形的性质 有一个内角为 有一个内角为 两个锐角 两个锐角 两条直角边的 两条直角边的 等于斜边的 等于斜边的 1 熟练掌握勾股定理的逆定理 2 应用三角形相关知识的解决直角三角形中的计算及证明问题 一个三角形 满足什么条件一定就是直角三角形呢 一个三角形 满足什么条件一定就是直角三角形呢 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a a b b c c 满足满足 a a2 2 b b2 2 c c2 2 那么这个三角形是直角三角形 那么这个三角形是直角三角形 勾股数 勾股数 满足满足 a a2 2 b b2 2 c c2 2的三个正整数 称为勾股数的三个正整数 称为勾股数 观察右图 用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足观察右图 用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a a b b c c a b c b a c 1 2 3 古埃及人曾用下面的方法得到直角 古埃及人曾用下面的方法得到直角 他们用他们用 1313 个等距的结把一根绳子分成等长的个等距的结把一根绳子分成等长的 1212 段 一个工匠同时握住绳子的第段 一个工匠同时握住绳子的第 1 1 个个 结和第结和第 1313 个结 两个助手分别握住第个结 两个助手分别握住第 4 4 个结和第 个结和第 个结 拉紧绳子 就会得 个结 拉紧绳子 就会得 到一个直角三角形 直角就在第到一个直角三角形 直角就在第 4 4 个结处 按照这种做法真能得到一个直角三角形吗 个结处 按照这种做法真能得到一个直角三角形吗 基础演练基础演练 1 如果线段 a b c 能组成直角三角形 则它们的比可能是 A 3 4 7 B 5 12 13 C 1 2 4 D 1 3 5 2 将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数 则得到的三角形是 A 是直角三角形 B 可能是锐角三角形 C 可能是钝角三角形 D 不能确定 一组勾股数的倍数一定是勾股数吗 一组勾股数的倍数一定是勾股数吗 为什么为什么 3 有一组勾股数 知道其中的两个数分别是 17 和 8 则第三个数是 4 如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图 根据图中标出的尺寸 单位 mm 计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 mm A B C D 3 4 5 12 13 巩固提升巩固提升 一个零件的形状如图所示 按规定这个零件中一个零件的形状如图所示 按规定这个零件中 A 和和 DBC 都应为直角 工人师傅量都应为直角 工人师傅量 得这个零件各边尺寸如图所示 这个零件合格吗 得这个零件各边尺寸如图所示 这个零件合格吗 1 以下列各组数据为边长作三角形 其中能组成直角三角形的是 A 3 5 3 B 4 6 8 4 C 7 24 25 D 6 12 13 2 在 ABC 中 A B C 的对边分别为 a b c 且 a2 b2 c2 则下列说法正确的是 A C 是直角 B B 是直角 C A 是直角 D A 是锐角 3 如图 正方形网格中的 ABC 若小方格边长为 1 则 ABC 的形状为 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 以上答案都不对 4 木工做一个长方形桌面 量得桌面的长为 60 cm 宽为 32 cm 对角线长为 68 cm 则这个桌面 填 合格 或 不合格 5 在 ABC 中 a 3 b 7 c2 58 则 S ABC 6 九章算术 中的 折竹抵地 问题 今有竹高一丈 末折抵地 去根六尺 问折高者几何 意 思是 一根竹子 原高一丈 一丈 10 尺 一阵风将竹子折断 其竹梢恰好抵地 抵地处离竹子底 部 6 尺远 问折断处离地面的高度是多少 设折断处离地面的高度为 x 尺 则可列方程为 A x2 6 10 x 2 B x2 62 10 x 2 C x2 6 10 x 2 D x2 62 10 x 2 7 赵爽弦图 巧妙地利用面积关系证明了勾股定理 是我国古代数学的骄傲 如图所示的 赵 爽弦图 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形 设直角三角形较长直角 边长为 a 较短直角边长为 b 若 a b 2 21 大正方形的面积为 13 则小正方形的面积为 A 3 B 4 C 5 D 6 8 已知 已知 三角形的三边分别为三角形的三边分别为 5 12 13 则这个三角形是 则这个三角形是 9 三条线段 三条线段 m n p 满足满足 m2 n2 p2 以这三条线段为边组成的三角形为 以这三条线段为边组成的三角形为 10 如图 在 ABC 中 AB 13 BC 10 BC 边上的中线 AD 12 求 1 AC 的长度 2 ABC 的面积 勾股定理 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 5 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a a b b c c 满足满足 a a2 2 b b2 2 c c2 2 那么这个三角形是直角三角形 那么这个三角形是直角三角形 1 1 由于 由于 0 30 3 0 40 4 0 50 5 不是勾股数 所以不是勾股数 所以 0 30 3 0 40 4 0 50 5 为边长的三角形不是直角三角形为边长的三角形不是直角三角形 2 由于 由于 0 5 1 2 1 3 为边长的三角形是直角三角形 所以为边长的三角形是直角三角形 所以 0 5 1 2 1 3 是勾股数 是勾股数 3 下列几组数据能作为直角三角形的三边的有下列几组数据能作为直角三角形的三边的有 1 9 12 15 2 15 36 39 3 12 35 36 4 12 18 22 4 一个三角形的三边的长分别是 15cm 20cm 25cm 则这个三角形的面积是 cm2 A 250 B 150 C 200 D 不能确定 5 如图 在 ABC 中 AD BC 于 D BD 9 AD 12 AC 20 则 ABC 是 A 等腰三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 直角三角形 6 如图 在一块平地上 张大爷家屋前 9 m 远处有一棵大树 在一次强风中 这棵大树从离 地面 6 m 处折断倒下 量得倒下部分的长是 10 m 出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大 树砸到 大树倒下时会砸到张大爷的房子吗 请你通过计算 分析后给出正确的回答 A 一定不会 B 可能会 C 一定会 D 以上答案都不 对 7 为了迎接新年的到来 同学们做了许多拉花布置教室 准备召开新年晚会 小王搬来一架 长为 2 5 m 的木梯 准备把梯子架到 2 4 m 高的墙上 则梯脚与墙角的距离为 A 0 7 m B 0 8 m C 0 9 m D 1 0 m 8