2三角函数(2)(图象和性质).doc

北京巧学教育 内部资料86262344 三角函数（图象和性质 ） 姓 名_一、正弦函数、余弦函数的图象 x02y=sinxy=cosx在y=sinx,x图像中,起关键作用的有五个点.其中(0,0),（,0）（2，0）是图像与x轴 的交点，（），（）是图像的最高点,最低点.在x=0,附近函数增加或下降快一些,曲线“陡”一些，在x=附近,函数、变化慢一些,曲线变“平缓”. y=sinx的图像 y=cosx的图像 二、正弦函数和佘弦函数的性质1.周期性:对于函数,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.正弦函数和佘弦函数的周期都是2,最小正周期是2.(1)定义是对定义域中的每一个x的值来说的,只有个别的x的值满足或不满足都不能说T是的周期,如但是.(2)从等式来看,应强调是自变量x本身加常数才是周期，如T不是周期,而应写成,则的周期.(3)对周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期,如未特别指明,一般都是指它的最小正周期.(4)周期函数的周期不只一个,若T是周期,则kT(k 一定也是周期.(5)在周期函数中,T是周期,若x是定义域内的一个值,则x+kT(k也一定属于定义域,因此周期函数的定义域一定是无限集,而且定义域无上限或者无下限.例题:求下列函数的周期:; y=|sinx|的最小正周期为_; y=| cosx |的最小正周期为_.2.(1)定义域:y=sinx的定义域为_,y=cosx 的定义域为_;求函数定义域时,若需先把式子化简,一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化.求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二:一是图象，二是三角函数线.例题1：函数y=lg（cosxsinx）的定义域是_.例题2：已知f（x）的定义域为0，1），f（cosx）的定义域是_.(2)值域:y=sinx的值域为_;y= cosx 的值域为_. 3.奇偶性:正弦函数是奇函数,佘弦函数是偶函数.例题1：判断函数的奇偶性: f(x) =|sinx|_;f（x）=lg（sinx+）_.例题2：y=5sin（2x+）的图象关于y轴对称,则=_.4.单调性:正弦函数在每一个闭区间，（上都是增函数，其值从-1增大到1,在每一个闭区间（都是减函数,其值从1减小到-1 佘弦函数在每一个闭区间,（上都是增函数,其值从-1增大到1,在每一个闭区间（都是减函数,其值从1减小到-1.正弦函数当且仅当x=_时取最大值1，当且仅当x=_时取得最小值.余弦函数当且仅当x=_时取最大值1，当且仅当x=_时取得最小值.三、正切函数的图象和性质(1)y=tanx的最小正周期为_.(2)y=tanx的定义域为_,值域为_.(3)y=tanx是_函数.(4)单调性:正切函数在每一个区间（上都是增函数.四、函数y=Asin(x+)的图象1.常用五点法:五点取法是设x+取0、2来求y=Asin（x+）相应的x值及对应的y值,再描点作图.作函数的图象时,首先要确定函数的定义域.对于具有周期性的函数,应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.例题：用五点法作简图 y=3sin（2x+）； y=4cos（x-）.2.给出图象确定解析式y =Asin（x+）的题型:有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.例题1：（全国）已知函数y=tan（2x+）的图象过点（，0），则可以是（ ） A.B.C.D. 例题2:若函数f（x）=sin（x+）的图象（部分）如下图所示,则和的取值是（ ）A.=1，=B.=1，= C.=，=D.=，=3.三角函数图象的变换:利用图象的变换作图象时,提倡先平移后_,但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,不是“角变化”多少.例题1：函数y=sinxcosx的图象可由y=sinx+cosx的图象向右平移_个单位得到.例题2：试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象.例题3：（全国）为了得到函数y=sin（2x）的图象,可以将函数y=cos2x的图象( )A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位长度例题4：把y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数_的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数_的图象.例题5：把函数y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是( )A.B.C. D. 4.(1)函数y=Asin（x+）的值域为_.(2)单调性:判断y=Asin（x+）的单调区间,只需设x+=X,则y=AsinX根据y=sinx的单调区间判断即可.y=Asin（x+）（0）的单调区间，只需求y=Asin（x+）的相反区间即可，一般常用数形结合.而求y=Asin（x+）（0）单调区间时，则需要先将x的系数变为正的，再设法求之.例题1：（2004年全国，10）函数y=xcosxsinx在下面哪个区间内是增函数( )A.（，）B.（，2） C.（，）D.（2，3）例题2：求下列函数的单调区间： y=sin（）；y=sin（x+） .例题3：函数f（x）=cos2x+sinx在区间，上的最小值是_.例题4：（2007年全国）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x的取值范围是( )A.（，）（，）B.（，） C.（，）D.（，）（，）5.周期性:求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误.(1)y=sinx的最小正周期为_;y=cosx的最小正周期为_;y=tanx的最小正周期为_.(2)y=Asin(x+）的最小正周期为_;y=Acos（x+）的最小正周期为_;y=Atan（x+）的最小正周期为_. (3)y=|sinx|的最小正周期为_;y=| cosx |的最小正周期为_;y=|tanx|的最小正周期为_; y=|Asin（x+）|的最小正周期为_;y=|Acos（x+）|的最小正周期为_;y=|Atan（x+）|的最小正周期为_.例题1：（全国）函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为( ) A. /4B. /2C.D.2例题2：（北京）如果函数f（x）=sin（x+）（02）的最小正周期是T，且当x=2时取得最大值，那么（ ） A.T=2，=B.T=1，= C.T=2，= D.T=1，=例题3：函数y=sin（2x）+sin2x的最小正周期是( ) A.2 B. C. /2 D.4例题4：函数y=tanxcotx的最小正周期为_.例题5：定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x0，时，f（x）=sinx，则f（）的值为（ ） A.1/2B.1/2C./2D. /26.三角函数的最值:(1)y=asinx+bcosx型函数最值的求法:常转化为y=sin（x+），其中tan=.例题1：（全国）若0，sin+cos=a，sin+cos=b，则（ ）A.ab1 B.ab1 C.ab1D.ab1例题2：当y=2cosx3sinx取得最大值时，tanx的值是（ ）A.3/2B.3/2C.D.4(2)y=asin2x+bsinx+c型:常通过换元法转