概率论与数理统计

序言 A 太阳从东方升起 B 明天的最高温度 C 向上抛的物体一定下落 D 新生婴儿的体重 我们来考察下面的现象 确定性现象 在我们所生活的世界里 许多现象充满了不确定性 从扔硬币 掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏 到复杂的社会现象 从婴儿的诞生 到世间万物的繁衍生息 从流星坠落 到大自然的千变万化 我们无时无刻都面临着不确定性 随机性 如同物理学中基本粒子的运动 生物学中遗传因子和染色体的游动 以及处于紧张社会中的人们的行为一样 自然界中的不确定性是固有的 这些与其说是基于决定论的法则 不如说是基于随机论法则的不确定性现象 已经成为自然科学 生物科学和社会科学理论发展的必要基础 从亚里士多德时代开始 哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用 他们把随机性看作为破坏生活规律 超越了人们理解能力范围的东西 他们没有认识到有可能去研究随机性 或者是去测量不确定性 将不确定性数量化 来尝试回答这些问题 是直到20世纪初叶才开始的 还不能说这个努力已经十分成功了 但就是那些已得到的成果 已经给人类活动的一切领域带来了一场革命 这场革命为研究新的设想 发展自然科学知识 繁荣人类生活 开拓了道路 而且也改变了我们的思维方法 使我们能大胆探索自然的奥秘 下面我们就来开始一门 将不确定性数量化 的课程的学习 这就是 概率论与数理统计 特点1当人们在一定的条件下对不确定性现象加以观察或进行试验时 观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个 而且在每次试验或观察前都无法确知其结果 现在我们来考察一下不确定性现象的特点 例1 在相同的条件下抛同一枚硬币 其结果可能是正面朝上 也可能是反面朝上 并且在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么 例2 一门火炮在一定条件下向同一目标进行射击 各次的弹着点不尽相同 在一次射击之前无法预测弹着点的确切位置 例3 一门火炮在一定条件下进行射击 个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差 但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性 如一定的命中率 一定的分布规律等等 例4 在一个容器内有许多气体分子 每个气体分子的运动存在着不确定性 无法预言它在指定时刻的动量和方向 但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性 如在一定的温度下 气体对器壁的压力是稳定的 呈现 无序中的规律 特点2不确定性现象在大量重复观察或试验下 它的结果却呈现出一定的规律性 统计规律性 在个别试验中其结果呈现出不确定性 在大量重复观察或试验中其结果却具有统计规律性的现象 称为随机性现象 从表面上看 随机现象的每一次观察结果都是随机的 但多次观察某个随机现象 便可以发现 在大量的偶然之中存在着必然的规律 小结 概率论的研究对象随机现象的统计规律性 第一节随机试验 样本空间 随机事件 随机试验样本空间随机事件事件间的关系与事件运算 一 随机试验 上一讲中 我们了解到 随机现象有其偶然性的一面 也有其必然性的一面 这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性 称为随机现象的统计规律性 而概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科 从观察试验开始 研究随机现象 首先要对研究对象进行观察试验 这里的试验是一个含义广泛的术语 它包括各种各样的科学试验 甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验 几个具体试验 在一批灯泡中任意抽取一支 测试它的寿命 上述试验具有下列共同的特点 1 试验可以在相同的条件下重复进行 2 每次试验的可能结果不止一个 并且能事先明确试验的所有可能的结果 3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试验 用表示随机试验 样本点e 现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 二 样本空间 例如 试验是将一枚硬币抛掷两次 观察正面H 反面T出现的情况 S H H H T T H T T H T T H T T H H 在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 则样本空间 如果试验是测试某灯泡的寿命 则样本点是一非负数 由于不能确知寿命的上界 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果 S t t 0 样本空间 故 若试验是将一枚硬币抛掷两次 观察正面出现的次数 则样本空间 由以上两个例子可见 样本空间的元素是由试验的目的所确定的 调查城市居民 以户为单位 烟 酒的年支出 结果可以用 x y 表示 x y分别是烟 酒年支出的元数 也可以按某种标准把支出分为高 中 低三档 这时 样本点有 高 高 高 中 低 低 等9种 样本空间就由这9个样本点构成 这时 样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成 请注意 实际中 在进行随机试验时 我们往往会关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合 例如在测试某灯泡的寿命这一试验中 若规定灯泡的寿命 小时 小于500为次品 或者说 我们关心 满足这一条件的样本点组成的一个集合 这就是 试验的样本空间的子集称为的随机事件 三 随机事件 如在掷骰子试验中 观察掷出的点数 事件B 掷出奇数点 事件A 掷出1点 基本事件 相对于观察目的不可再分解的事件 事件B 掷出奇数点 如在掷骰子试验中 观察掷出的点数 事件Ai 掷出i点 i 1 2 3 4 5 6 由一个样本点组成的单点集 基本事件 当且仅当集合A中的一个样本点出现时 称事件A发生 如在掷骰子试验中 观察掷出的点数 事件B 掷出奇数点 两个特殊的事件 必 件 然 事 例如 在掷骰子试验中 掷出点数小于7 是必然事件 即在试验中必定发生的事件 常用S表示 不 件 可 事 能 即在一次试验中不可能发生的事件 常用表示 而 掷出点数8 则是不可能事件 四 事件间的关系与事件的运算 两事件A B互斥 两事件A B互逆或互为对立事件 即A与B不可能同时发生 除要求A B互斥 外 还要求 事件的运算满足的规律 四 小结 样本空间和随机事件的定义事件间的关系与事件的运算 那么要问 如何求得某事件的概率呢 下面几节就来回答这个问题 研究随机现象 不仅关心试验中会出现哪些事件 更重要的是想知道事件出现的可能性大小 也就是 事 率 件 概 的 第二节频率与概率 频率的定义概率的定义小结布置作业 研究随机现象 不仅关心试验中会出现哪些事件 更重要的是想知道事件出现的可能性大小 也就是事件的概率 概率是随机事件发生可能性大小的度量 事件发生的可能性越大 概率就越大 了解事件发生的可能性即概率的大小 对人们的生活有什么意义呢 我先给大家举几个例子 也希望你们再补充几个例子 例如 了解发生意外人身事故的可能性大小 确定保险金额 了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小 合理配置服务人员 了解每年最大洪水超警戒线可能性大小 合理确定堤坝高度 一 频率的