第四章静态场边值问题的解法

第四章静态场边值问题的解法 静电场和恒定电场的求解 可归结为在给定边界下 对拉普拉斯方程或泊松方程的求解 解析法 数值法 分离变量法 镜像法 复变函数法 格林函数法 有限差分法 解法 下页 上页 返回 4 1分离变量法 1 分离变量法的思想 把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的乘积表示 从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求解 最后利用边界条件确定积分常数 得到级数形式的解 分离变量法解题的一般步骤 写出边值问题 微分方程和边界条件 分离变量 将偏微分方程分离成几个常微分方程 解常微分方程 并叠加得到通解 下页 上页 返回 利用边界条件确定积分常数 最终得到电位的解 下页 上页 分离变量法采用正交坐标系 当场域边界与正交坐标面重合或平行时 分离变量法是一种有效的方法 2 直角坐标系中的分离变量法 二维场 分离变量 设解答为 代入微分方程 设 分离常数的取值有三种情况 下页 上页 除以fg 分离常数 特解1 下页 上页 返回 指数函数 特解2 下页 上页 特解3 通解为所有特解的叠加 下页 上页 对于具体问题 根据边界条件确定积分常数 积分常数的确定一般有 比较系数法 傅立叶级数展开法 分离常数的确定 若边界条件可看成周期性 f 0 则分离常数为虚数 对应解为三角函数 若边界条件为非周期性 则分离常数为实数 对应解为双曲函数或指数函数 其中有限区域的取双曲函数 而无限区域的解衰减的指数函数 若场与某坐标无关 则分离常数为零 对应解为常数 确定了各坐标变量方程的解 它们的乘积是拉氏方程的特解 须将特解线性叠加 使其满足边界条件 从而确定各系数 求得电位函数 下页 上页 返回 试求长直接地金属槽内电位的分布 边值问题 D域内 接地金属槽的截面 下页 上页 例 解 代入边界条件 确定积分常数 下页 上页 由边界条件 1 得 f 0 0 由边界条件 1 2 分析可知 下页 上页 由边界条件 3 代入得 可知 g 0 0 将各特解线性叠加得通解 下页 上页 由边界条件 4 代入通解得 比较系数 当时 当时 若金属槽盖电位 再求槽内电位分布 通解 当时 下页 上页 返回 傅立叶级数 代入通解 接地金属槽内的等位线分布 下页 上页 下页 上页 返回 一导体槽 槽的宽度在x方向和z方向均为无穷大 槽内有两块T形的导体构成 两块间有一狭缝 上导体板的电压为U0 试求导体槽内的电位 在x 0平面上 下页 上页 返回 例 解 由y 0 y d时 f2 0可知 由可知 通解 由x 0边界条件 下页 上页 返回 傅里叶级数系数 下页 上页 返回 设n 2m 下页 上页 返回 下页 上页 2 圆柱坐标系中的分离变量法 二维场 设电位只是r和f的函数 拉普拉斯方程为 分离变量 设 代入微分方程 分离常数 下页 上页 当时 不是周期函数 因 周期函数 当时 必为实数 必为整数 下页 上页 返回 通解 下页 上页 或 若求的是圆柱区域的问题 则A0 0 B0 0 取圆柱坐标系 边值问题 垂直于均匀电场E0放置一根无限长均匀介质圆柱棒 试求圆柱内外f和E的分布 下页 上页 返回 例 解 通解 下页 上页 利用给定边界条件确定积分常数 通解 通解 c 由 比较系数 通解 下页 上页 返回 下页 上页 d 分界面的衔接条件 对于f2 n 1 最终解 下页 上页 均匀电场 均匀外电场中介质圆柱内外的电场 下页 上页 介质柱内电场均匀 并与外加电场E平行 表明 若 2E1 若 2 1 E2 E1 平行平面磁场 取圆柱坐标系 设在均匀磁场H0ex中放置长直磁屏蔽管 管内外均为空气 屏蔽管的轴线与外磁场垂直 尺寸如图所示 屏蔽材料的相对磁导率为常数 且 r 1 试求磁屏蔽管空腔内磁场分布 用分离变量法 得通解 下页 上页 解 例 1 2 3 4 根据场的关于X轴对称性及式 2 可知 为关于 的偶函数 得通解 下页 上页 由边界条件 1 可得 B1 0 由边界条件 2 可得 A3 H0 由边界条件 3 可得 下页 上页 由边界条件 4 可得 由上式 5 8 联立 可得 下页 上页 下页 上页 屏蔽管内磁场H1均匀分布 且与H0的方向一致 磁场强度 下页 上页 工程上常采用多层铁壳磁屏蔽的方法 将进入腔内的残余磁场一次又一次地予以屏蔽 屏蔽效果 磁屏蔽与静电屏蔽有什么不同 它们对屏蔽的材料各有什么要求 思考 注意 下页 上页 4 2镜像法与电轴法 下页 上页 返回 镜像法与电轴法的基本思想 根据唯一性定理 用虚设的简单分布电荷替代未知的复杂分布电荷 把求解偏微分方程的问题转化为求解简单分布电荷电场的问题 是一种间接计算方法 适合电荷附近由导体面或介质面存在的情况 1 点电荷对平面导体的镜像 场分布特点 平面导体上产生负感应电荷 电场为两维子午平面场 下页 上页 返回 边值问题 易求镜像电荷大小与位置 平面导体镜像电荷位置与原电荷关于导体平面对称 电荷大小相等带电量相反 上半场域的电位和电场 下页 上页 返回 q是虚设的电荷 称为镜像电荷 用来替代导板上复杂分布的感应电荷的作用 注意 镜像电荷应放置在所求区域 有效区 以外 根据叠加原理 导板上方有任意分布的电荷时也可作相应的镜像 地面上感应电荷的总量为 垂直地面的电场分量 试求空气中点电荷q在地面引起的感应电荷分布及点电荷受到的作用力 解 下页 上页 返回 例 应用镜像法 地面任意点 地面电荷分布 镜像电荷 点电荷q受到的作用力 用线电荷密度为rl无限长直导线代替点电荷q 则单位长直导线受到的作用力 镜像电荷 单位长作用力 下页 上页 返回 点电荷对相交接地平面导体边界的镜像 如图 两半无限大接地导体平面垂直相交 要满足在导体平面上电位为零 则必须引入3个镜像电荷 如图所示 下页 上页 返回 镜像法小结 镜像法的理论依据是 镜像法的实质是 镜像法的关键是 镜像电荷只能放在待求场域以外的区域 用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电荷 使计算场域为无限大均匀媒质 静电场唯一性定理 确定镜像电荷的个数 大小及位置以保证原场的边值问题不变 应用镜像法解题时注意 下页 上页 返回 2 点电荷对球面导体的镜像 点电荷位于接地导体球外 下页 上页 场分布特点 球面上产生负感应电荷 电场为两维子午平面场 边值问题 导体球外 除q点 空间 下页 上页 确定镜像电荷的位置 确定镜像电荷大小 应用镜像法求解 球面电位 将r1 r2代入方程 得 镜像电荷放在求解的场域外 联立求解得 镜像电荷位置 镜像电荷大小 下页 上页 镜像电荷等于负感应电荷总量 球外任一点P的电位与电场为 球外的电场分布 下页 上页 1 点电荷q对不接地金属球的镜像 边值问题 思路 下页 上页 讨论 导体球外 除q点 空间 则 任一点电位 通量为零 大小相等 球面等位 位于球心 下页 上页 导体球零电位 球面电位 任一点场强 点电荷位于不接地导体球附近的场图 下页 上页 讨论 2 点电荷q对带有电荷Q的金属球的镜像 下页 上页 边值问题 思路 导体球外 除q点 空间 任一点电位 讨论 下页 上页 3 点电荷q对带有电压U0的金属球的镜像 边值问题 思路 导体球外 除q点 空间 讨论 下页 上页 4 点电荷q在不带电的金属球壳内的镜像 边值问题 思路 导体球内 除q点 空间 3 点电荷对不同介质分界面的镜像 下页 上页 边值问题 上半空间 除q点 下半空间 分界面 下页 上页 保证方程不变 边界条件 下页 上页 返回 解得 电场分布图 1中的电场由q与q 共同产生 q 等效替代极化电荷的影响 2中的电场由q 决定 q 等效替代自由电荷与极化电荷的作用 注意 下页 上页 4 线电荷对圆柱面导体的镜像 1 接地导体圆柱边值问题 导体柱外 除q点 空间 下页 上页 返回 确定镜像电荷的位置 确定镜像电荷大小 镜像电荷放在求解的场域外 求解过程与导体球类似 圆柱外电位 下页 上页 返回 柱面上对于任何j f r a 0 比较系数得 下页 上页 返回 导体圆柱外任一点电位 2 不接地导体圆柱边值问题 导体圆柱外任一点电位 下页 上页 返回 4 5有限差分法 有限差分法是求解电磁场问题的数值方法 对于边界条件过于复杂的电磁场问题 无法求得解析解 有限差分法是将求解区域划分成网格 把区域内连续的场分布用网格节点上的离散的数值解代替 应用有限差分法计算静态场边值问题 需要把微分方程用差分方程代替 网格的划分有不同的方法 我们只讨论正方形网格划分 故点1的电位 点3的电位 设x轴上邻近O点的一点的电位为 用泰勒公式展开为 于是 同理 将以上二式相加 得 若所求区域电荷分布为零 则 上式表示任意一点的电位等于围绕它的4个点的电位的平均值 对每一网格点写出类似的式子 得到方程数与未知电位的网格点数相等的线性方程组 将边界条件离散化 作为边界上节点的已知电位 式中 已知一正方形截面的无限长金属盒 盒子两侧及底部电位为零 顶部电位为100V 求盒内的电位分布 根据二维拉氏方程的有限差分形式得点5的电位为 一 简单迭代法 对每一网格点赋初值 点1 3电位为 点7 9电位为 点4 6电位为 点2电位为 点8电