第五章 频率响应法3

5 3频域稳定判据 奈氏判据 1 根据闭环系统的开环频率特性判断闭环系统稳定性的一种判据 当系统含某些非最小相位环节 如延迟环节 也能判断 2 该判据可以通过实验法获得系统开环频率特性来判断闭环系统的稳定性 使用方便 3 该判据能指出提高和改善系统动态性能的途径 环节类型和参数变化 因而这种方法在工程上获得广泛的应用 奈氏判据特点 闭环传递函数为 为了保证系统稳定 特征方程的全部根 都必须位于左半s平面 虽然开环传递函数G s H s 的极点和零点可能位于右半s平面 但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面 则系统是稳定的 闭环系统稳定的充要条件 奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应 与 联系起来的判据 因为闭环系统的稳定性可由开环频率响应曲线图解确定 无需实际求出闭环极点 所以该方法在控制工程中得到了广泛应用 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的幅角原理的基础上 假设开环传递函数 对于物理上可实现的系统 闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数 这表明 当s趋于无穷大时 任何物理上可实现系统的 的极限 或趋于零 或趋于常数 在右半s平面内的零点数和极点数 可以表示成s的多项式之比 实验表明 对于所有实际的物理系统或元件 当正弦输入信号的频率很高时 输出信号的幅值一定很小 这说明对于实际的物理系统 当w很大时 G jw 一定很小 以此为基础 解释为什么实际物理系统传函的分子阶次应比分母阶次低 假定分子的阶次比分母高 如 结果与实际情况相矛盾 如果碰到一种元件的传函分子阶次高于分母 它指的一定是在一个指定的频率范围内的近似传函 反证法 预备知识 可以证明 对于s平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线 在F s 平面上必存在一条封闭曲线与之对应 F s 平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向 在下面的讨论中具有特别重要的意义 我们将F s 平面上的奈氏曲线包围原点的次数和方向与系统的稳定性联系起来 其特征方程为 函数F s 在s平面内除了奇点外处处解析 对于s平面上的每一个解析点 F s 平面上必有一点与之对应 这样 对于s平面上给定的连续封闭轨迹 只要它不通过任何奇点 在F s 平面上就必有一个封闭曲线与之对应 例如s 1 j2 则F s 为 考虑下列开环传递函数 一 奈氏判据的数学基础 幅角原理 函数F s 是复变量s的单值函数 s可在整个s平面上变化 对于其上的每一点 除n个有限极点以外 函数F s 都有唯一的一个值与之对应 F s 的值域 也构成一个复平面 称为F s 平面 其中s平面上关于F s 的零点都映射到F s 的原点 s平面上关于F s 的极点都映射到F s 平面的无限远点 s平面上除了极 零点之外的有限点 都映射到F s 平面上的有限点 幅角原理 现在用向量F s 表示s平面上的点在F s 平面上的映射 有 其中向量F s 的幅角为 现考虑s平面上不经过F s 零 极点的一条封闭曲线 当s沿顺时针方向绕行一周 连续取值时 则在F s 平面上映射出一条封闭曲线 在s平面上 用阴影表示的区域称为的内域 由于我们规定沿顺时针方向绕行 所以内域始终处于行进方向的右侧 在F s 平面上 由映射得到的封闭曲线的形状和位置 严格取决于 在这种映射关系中 不需知道围线的确切形状和位置 只要知道它的内域所包含的F s 的零点和极点的数目 就可预知映射是否包围坐标原点和包围原点的次数 反过来 根据是否包围原点以及包围原点的次数 也可推测出的内域中有关零 极点数的信息 1 围线既不包围零点也不包围极点 当s沿围线顺时针变化一周时 因子 s 2 和 s 0 1的幅角变化量都为0即即映射在F s 平面上沿A B C D E F G H A 变化一周后的幅角变化量应等于0 这表明 围线不包围原点 2 围线只包围零点不包围极点 当s沿围线顺时针变化一周时 因子 s 2 和 s 0 1的幅角变化分别为 3600和00即即映射在F s 平面上顺时针包围原点一周 同理 当围线只包含F s 的Z个零点 在F s 平面上的映射应顺时针包围原点Z次 3 围线只包围极点不包围零点 当s沿围线顺时针变化一周时 因子 s 2 和 s 0 1的幅角分别为00和 3600即即映射在F s 平面上逆时针包围原点一周 同理 当围线只包含F s 的P个极点 在F s 平面上的映射应逆时针包围原点P次 4 围线包围Z个零点和P个极点 由上述分析 如果围线包围Z个零点和P个极点 那么当s沿顺时针绕行一周时 应顺时针包围原点Z P次 也即顺时针包围原点的次数为 N Z P 应当指出 s平面上极点或零点的位置 不论是在s右半平面还是左半平面都没有区别 但是包围的是极点还是零点却是有区别的 N 0表示顺时针包围原点N 0表示逆时针包围原点 二 复变函数F s 的选择 控制系统的稳定性判定是在已知开环传函的条件下进行的 为应用幅角原理 选择 1 F s 的零点为闭环传函的极点 F s 的极点为开环传函的极点2 由于开环传函的分母阶次大于分子阶次 故F s 的零点数和极点数相同 二 复变函数F s 的选择 续 3 s沿闭合曲线运动一周所产生的两条闭合曲线和只相差常数 1 即闭合曲线可由沿实轴正方向平移一个单位长度获得 闭合曲线包围F s 平面原点的圈数等于闭合曲线包围F s 平面 1 j0 点的圈数 由F s 的特点可以看出F s 取上述特定形式具有两个优点 建立了系统的开环极点和闭环极点与F s 的零 极点之间的直接联系 建立了闭合曲线和闭合曲线之间的转换关系 在已知开环传函G s H s 的条件下 上述优点为应用幅角原理创造了条件 三s平面闭合曲线的选择 当知道开环传函的极点 也就是F s 的极点 如何判断F s 在s平面的右半部有无零点的问题 也就是闭环传函在s平面的右半面有无极点的问题 如果在s平面上选择一条能够整个包围s右半平面的封闭曲线 则幅角原理就可用来分析系统的稳定性 1 正虚轴 2 半径为无穷大的右半圆 3 负虚轴 上述封闭曲线将包围整个s右半平面 称此封闭曲线为奈氏路径 考虑到奈氏路径应该不通过F s 零极点的要求 这里假定F s 没有为0的极点 也即开环系统不含积分环节 现设 1 F s 在s右半平面的零点数 即闭环特征方程在s右半平面的特征根数 为Z 2 极点数 即开环特征方程在s右半平面的特征根数 为P 则根据幅角原理 当s沿上述奈氏路径顺时针运动一周时 映射到F s 平面上的围线顺时针包围原点的次数N Z P 系统稳定的充要条件为在s右半平面上闭环特征方程的特征根数为0 也就是F s 在s右半平面上的零点数为0 即Z 0 于是系统稳定的充要条件为 N P 1 关于N的说明 N表示F s 1 G s H s 平面上围线沿顺时针方向包围原点的次数 由于G s H s 与F s 只相差一个常数1 所以只要将F s 平面上的虚轴沿实数轴向右平移一个单位 就可得到G s H s 平面坐标系 于是原来在F s 平面上的围线就变成了G s H s 平面上的围线 与此相对应 在F s 平面上围线对原点的包围就变成在G s H s 平面上的围线对点 1 j0 的包围 其中N 0表示在G s H s 平面上的围线顺时针包围点 1 j0 的次数 N 0表示逆时针包围 1 j0 点的次数 曲线对原点的包围 恰等于 曲线对 1 j0 点的包围 虚轴向右平移1 0 F s 平面上的虚轴沿实数轴向右平移一个单位 就可得到G s H s 平面坐标系 2 关于P的说明 P表示F s 1 G s H s 在s右半平面上的极点数 由F s 的表达式可知1 G s H s 的极点就是G s H s 的极点 换言之 P表示开环传函G s H s 在s右半平面上的极点数 当开环传函G s H s 在s右半平面上没有极点时P 0 由N Z P可知闭环系统稳定的充要条件是N 0 也即对于开环稳定的系统 在G s H s 平面上的围线不包围 1 j0 点 是闭环系统稳定的充要条件 确定闭环系统稳定性的关键 就在于确定G s H s 平面上围线是否包围 1 j0 点 而围线就是系统的开环频率特性的极坐标图 0型系统 1 正虚轴 2 半径为无穷大的右半圆 3 负虚轴 s沿半径为无穷大的半圆运动时 在G s H s 平面上只映射为围线上的原点或 K j0 只有当s从沿虚轴运动到时 才在G s H s 平面上映射出整个 围线称为奈氏曲线 综上 当G s H s 在s平面的虚轴上不含极点时 奈氏稳定判据可表示为 对于开环稳定的系统 G s H s 在s右半平面上无极点 闭环系统稳定的充要条件是奈氏曲线不包围 1 j0 点 对于开环不稳定系统 G s H s 在s右半平面上有P个极点 闭环系统稳定的充要条件是奈氏曲线当从时 以逆时针包围 1 j0 点P次 若闭环系统是不稳定的 则该系统在s右半平面上的极点数为Z N P N为奈氏曲线以顺时针包围 1 j0 点的次数 若奈氏曲线顺时针方向包围 1 j0 点 则不论开环系统稳定与否 闭环系统总是不稳定的 在奈氏曲线上的行进方向规定为 所谓不包围 1 j0 点 是指行进方向的右侧不包围它 例1 已知单位反馈系统的开环传函为用奈氏判据判断闭环系统的稳定性 解 1 绘制开环系统的极坐标图 当K 52时 奈氏曲线为 此时 系统的开环极点均在s左半平面 即P 0 从图中看出 奈氏曲线顺时针包围 1 j0 点2次 所以闭环系统不稳定 并且在s右半平面有两个极点 若要系统稳定 则要求极坐标图与实轴的交点 用Routh判据也可得 只是要写出闭环特征方程 对于含有积分环节的系统 开环传函为 此时不能直接应用幅角原理 为了使奈氏路径不通过原点处的极点 当仍能包围整个s右半平面 现以原点为圆心做半径为无穷小的右半圆绕过原点处的极点 1 正虚轴 2 半径为无穷大的右半圆 3 负虚轴 4 半径为无穷小的右半圆 直线 曲线大圆 原点小圆 大圆 对于1型和2型系统 当时 频率特性曲线趋于无穷远处当时 频率特性曲线也趋于无穷远处 将带入开环传函有 例2 已知开环传函 判断使闭环系统稳定时K的取值范围 解 绘制系统的奈氏图 由于开环系统无右半平面极点 即P 0 因此系统稳定的充要条件是极坐标图不包围 1 j0 点 即要求极坐标图与负实轴的交点满足下列关系 若开环系统在虚轴上有极点 应将奈氏路径做相应的修改 如下图所示 在虚轴的极点处做半径为无穷小的右半圆 使得奈氏路径不通过虚轴上的极点当仍能包围整个s右半平面 奈氏判据仍可适用 如果奈氏曲线穿过 1 j0 点 说明闭环系统处于稳定和不稳定的边界上 即所谓临界稳定 这是闭环系统将有极点在虚轴上 奈氏稳定判据在使用时可能遇到以下两种情况 一种简易的奈氏判据 1 正 负穿越的概念G j H j 曲线对称实轴 应用中只画部分 所谓 穿越 是指轨迹穿过段 正穿越 从上而下穿过该段一次 相角增加 用表示 负穿越 由下而上穿过该段一次 相角减少 用表示 正穿越负穿越 若G j H j 轨迹起始或终止于 1 j0 以左的负轴上 则穿越次数为半次 且同样有 次正穿越和 次负穿越 次正穿越 次负穿越 如果G j H j 按逆时针方向铙 1 j0 一周 则必正穿越一次 反之 若按顺时针方向包围点 1 j0 一周则必负穿越一次 这种正负穿越之和即为G j H j 包围 1 j0 的圈数 故奈氏判据又可表述为 闭环系统稳定的充要条件是 当由0变化到时 G j H j 曲线在 1 j0 点以左的负实轴上的正负穿越之差为P 2圈 P为开环传递函数在s右半平面的极点数 此时Z P 2N P 2 N N 若开环传递函数无极点分布在S右半平面 即P 0 则闭环系统稳定的充要条件应该是N 0 注意 这里对应的 变化范围是 稳定性分析举例 1 开环传递函数不含积分环节 0型系统 直接采用Z P 2N的稳定性判据 例1给出三个开环传递函数不含有积分环节的奈氏曲线 试判断系统的稳定性 P 0 N N N 0Z P 2N 0 该闭环系统稳定 a P 0奈氏曲线 b P 0 Z P 2N 2 闭环不系统稳定 c P 1 Z P 2N 0 闭环系统稳定 奈氏曲线图 2 开环传递函数含 个积分环节 型系统 绘制开环幅相曲线后 应从频率0 对应的点开始 逆时针补画 4个半径无穷大的圆 a 1 从 补画半径为无穷大的1 4圆 P 0 N N N 0 Z P 2N 0 所以 闭环系统稳定 例2 1给出含有1个积分环节的开环系统幅相曲线 试判断系统的稳定性 点逆时针 奈氏曲线图 P 0 N 0 Z 0 b 由于 2 从点逆时针 补画半径为无穷大的半园 例2 2给出含有两个积分环节的开环系统幅相曲线 试判断系统的稳定性 所以 闭环系统稳定 奈氏曲线图 P 0 N N N 0 1 1 Z P 2N 2 该闭环不系统稳定 P 1 N N N 0 1 2 Z 1 2 1 2 2 虚线的终端落在负实轴上 该闭环系统不稳定 c 由于 2 从点逆时针 补画半径为无穷大的半圆 d 1 从点逆时针 补画半径为无穷大的1 4圆 例3 设有一闭环系统 其开环传函为 研究该闭环系统的稳定性 解 开环传函在s右半平面内有一个极点 s 1 即P 1 开环系统不稳定 开环系统具有一个位于s右半平面的极点 1 开环不稳定 但是闭环系统稳定 P 1 N N N 1 1 2 1 2 Z P 2N 1 2 1 2 0 例4 某系统G j H j 轨迹如下 已知有2个开环极点分布在s的右半平面 试判别系统的稳定性 解 系统有2个开环极点分布在s的右半平面 即P 2 G j H j 轨迹在点 1 j0 以左的负实轴有2次正穿越 1次负穿越 因为 求得 Z P 2N 2 2 0所以系统是稳定系统 例5 开环传递函数串联延迟环节的稳定性分析 临界稳定条件 求得 例6 系统的开环传递函数 应用Nyquist稳定判据确定闭环系统临界稳定时参数的值 解 开环传函在s右半平面内有一个极点 s 0 1 即P 1 开环系统不稳定 闭环系统临界稳定时 系统开环频率特性曲线经过 1 j0 点 因此满足 P2105 13 解2 k 10时 1 T 2时 K值范围2 K 10时 T值的范围3 K T值的范围 解1 T 2时 确定闭环稳定条件 解3 系统稳定时的K T范围 四 伯德图上的奈氏判据极坐标图伯德图单位圆0db线 幅频特性图 单位圆以内区域0db线以下区域单位圆以外区域0db线以上区域负实轴 1800线 相频特性图 因此 奈氏曲线自上而下 或自下而上 地穿越 1 j0 点左边的负实轴 相当于在伯德图中当L 0db时相频特性曲线自下而上 或自上而下 地穿越 180 线 若开环传函在s右半平面的极点数为p 则闭环系统稳定的充要条件是 Bode图上幅频特性L w 0的所有频段内 当频率增加时 对数相频特性对 1800线的正负穿越次数差为p 2 Z P 2N 例1 系统开环Bode图和开环正实部极点个数如下 解 P 0 幅频特性大于0dB时 相频特性没有穿越 1800线 闭环系统稳定 Z P 2N 0 0 0 例2 系统开环Bode图和开环