求曲线轨迹方程的五种方法

求曲线轨迹方程的五种方法 一 直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系 或者可以利用平面几何 知识推出等量关系 求方程时可用直接法 例 1 长为 2a 的线段 AB 的两个端点分别在 x 轴 y 轴上滑动 求 AB 中点 P 的轨迹方程 解 设点 P 的坐标为 x y 则 A 2x 0 B 0 2y 由 AB 2a 得 2a 22 20 02 yx 化简得 x2 y2 a 即为所求轨迹方程 点评 本题中存在几何等式 AB 2a 故可用直接法解之 二 定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 则可用曲 线定义写出方程 这种方法称为定义法 例 2 动点 P 到直线 x 4 0 的距离减去它到 M 2 0 的距离 之差等于 2 则点 P 的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解法一 由题意 动点 P 到点 M 2 0 的距离等于这点到直 线 x 2 的距离 因此动点 P 的轨迹是抛物线 故选 D 解法二 设 P 点坐标为 x y 则 x 4 2 22 2 yx 当 x 4 时 x 4 2 化简得 22 2 yx 当时 y2 8x 当 x 4 时 x 4 2 无解 22 2 yx 所以 P 点轨迹是抛物线 y2 8x 点评 解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程 明 显 解法一优于后一种解法 对于有些求轨迹方程的题目 若能采 用定义法 则优先采用定义法 它能大量地简化计算 三 代入法 如果轨迹点 P x y 依赖于另一动点 Q a b 而 Q a b 又在某已知曲线上 则可先列出关于 x y a b 的方程 组 利用 x y 表示出 a b 把 a b 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹方程 此法称为代入法 例 3 P 在以 F1 F2为焦点的双曲线上运动 则 1 916 22 yx F1F2P 的重心 G 的轨迹方程是 解 设 P x0 y0 G x y 则有 即 代入 00 3 1 4 3 1 0 0 yy xxx yy xx 3 3 0 0 得1 916 22 yx 1 9 9 16 9 22 yx 即1 16 9 2 2 y x 由于 G 不在 F1F2上 所以 y 0 四 参数法 如果轨迹动点 P x y 的坐标之间的关系不易找到 也没有 相关的点可用时 可先考虑将 x y 用一个或几个参数来表示 消去 参数得轨迹方程 此法称为参数法 例 4 已知点 M 在圆 13x2 13y2 15x 36y 0 上 点 N 在射线 OM 上 且满足 OM ON 12 求动点 N 的轨迹方程 分析 点 N 在射线 OM 上 而同一条以坐标原点为端点的射线上两 点坐标的关系为 x y 与 kx ky k 0 故采用参数法求轨 迹方程 解 设 N x y 则 M kx ky k 0 由 OM ON 12 得 12 222 yxk 22 yx k x2 y2 12 又点 M 在已知圆上 13k2x2 13k2y2 15kx 36ky 0 由上述两式消去 x2 y2得 5x 12y 52 0 点评 用参数法求轨迹 设参尽量要少 消参较易 五 交轨法 若动点是两曲线的交点 可以通过这两曲线的方程直接求出交 点方程 此法称为交轨法 例 5 已知 A1A 是椭圆 a b 0 的长轴 CD 是垂1 2 2 2 2 b y a x 直于 A1A 的椭圆的弦 求直线 A1C 与 AD 的交点 P 的轨迹方程 解 设 P x y C x0 y0 D x0 y0 y0 0 A1 a 0 A a 0 由 A1 C P 共线及 A D P 共线 得 ax y ax y ax y ax y 0 0 0 0 两式相乘并由 消去 x0 y0