第七章空间解析几何与向量代数.doc

第七章 空间解析几何与向量代数一、基本内容要求 理解空间直角坐标系，培养空间想象力，能熟练地运用两点间的距离公式，定比分点公式等解决几何问题； 理解向量的概念及其几何表示，熟练掌握向量的运算，并能运用向量的平行，垂直的充要条件讨论和证明几何问题； 掌握各种形式的平面方程，利用所给的直接或间接条件会求出平面方程。理解空间点与平面、平面与平面的位置关系，会求点到平面的距离； 熟记空间直线方程的各种表示形式，并掌握它们之间的相互转换方法，会求直线方程。理解平面与直线，直线与直线的相互位置关系； 理解空间曲面，曲线的定义及相对应的方程，掌握常用二次曲面的方程及其相对应的几何图形，会求旋转曲面与柱面的方程； 培养自己对几何图形的空间想象力，理解空间中点、曲线、曲面的相关位置，能熟练地画出平面上几条相交曲线围成的区域及空间曲面的图形。二、选择练习题1.空间点关于轴的对称点是A B C D 2.空间点关于坐标平面的对称点是A B C D 3.空间点关于坐标原点的对称点是A B C D 4.自点作轴的垂线，则垂足的坐标为A B C D 5.自点作平面的垂线，则垂足的坐标为A B C D 6.在空间直角坐标系中，点位于A 第5卦限 B 第4卦限C 第2卦限 D 第3卦限7.点到轴的距离为A B C D 8.在坐标面上与已知三点，和等距的点是A B C D 9.若两个非零向量与满足则A 与平行 B 与垂直C D 10.已知两点和，则等于A 2 B 4 C D 1三、填空1. 点关于坐标平面的对称点的坐标为，关于轴的对称点的坐标为，向量在上的投影为。2.如果向量的始点为，则终点的坐标为。3.已知向量，并且向量与轴垂直，则。4.设向量，向量与共线且反向，=75，则向量的坐标为。5.设向量，则向量在上的射影为。6.已知向量单位向量同时垂直于与，则=。7.在平行四边形中，三顶点的坐标分别为，则的对顶点的坐标为，对角线交点的坐标为。8.球面的中心为，且球面通过坐标原点，则球面的方程为。9.通过点且与坐标面平行的平面方程为。10.通过点和轴的平面方程为。11.通过两平行直线，的平面方程为。12.通过点与坐标原点的直线的对称式方程为，参数方程为。13.通过点，垂直于直线，平行于平面（不垂直于）的直线方程为。14.直线垂直于轴的充要条件为，和重合的充要条件是。15.直线与平面的夹角为，交点为。16.（1）在空间直角坐标系下，方程的图形是，的图形是，的图形是，的图形是，的图形是，的图形是。 （2）圆的圆心为，半径为。 （3）一直径的两端点为的球面方程为。 （4）点绕轴，轴和直线旋转所生成的圆的方程分别为，。 （5）直线绕轴和轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为，。17.方程所表示的曲面叫做； 方程表示的曲面叫做； 方程表示的曲面叫做；方程表示的曲面叫做；方程表示的曲面叫做。 18.二次曲面被坐标平面截得的曲线方程为，被坐标面截得的曲线方程为，被坐标面截得的曲线方程为，被平面截得的曲线方程为，被截得的曲线方程为。19.曲面关于对称。20.二次锥面的直母线方程为。四、计算1.一边长为的立方体放置在坐标面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点分别在轴和轴上，求它各顶点的坐标。2.求点到各坐标轴的距离。3.向量与轴交成钝角，与已知向量，都垂直，且，求向量。4.已知线段被点与三等分，试求线段两个端点与的坐标。5.设动点到轴的距离是3，到坐标面的距离为2，且在轴正侧一侧运动，求动点的轨迹方程。6.设，求（1）及；（2）及；（3）。7.设是单位向量，且满足，求。8.已知三点和求与，同时垂直的单位向量。9.求向量在向量上的投影。10.已知向量，求三角形的面积。11.已知两点，求及平行于的单位向量。12.已知向量，计算（1）；（2）；（3）。13.将坐标面上的抛物线绕轴旋转一周生成旋转曲面，求其方程。14.将坐标面上的圆绕轴旋转一周生成旋转曲面，求其方程。15.将坐标面上的双曲线分别绕轴、轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。16.画出下列各方程所表示的曲面。（1） （2）（3） （4）17.分别求出母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程。18.求球面与平面的交线在面上的投影的方程。19.求螺旋线在三个坐标面上的投影的直角坐标方程。20.求上半球体与圆柱体的公共部分在面和面上的投影。21.求旋转抛物面在三个坐标面上的投影。22.试求空间圆的圆心与半径。23.求过三点和的平面方程。24.求平面与各坐标面的夹角的余弦。25.分别按下列条件求平面的方程。（1） 行面且过点；（2） 通过轴和点；（3） 平行于轴且经过两点和。26.求点到平面的距离。27.求通过点垂直于平面且与直线平行的平面方程。28.求过两点和的直线方程。29.分别用对称式与参数方程表示直线。30.求过点且与直线垂直的平面方程。31.求直线与直线的夹角的余弦。32.求过点且与两平面和平行的直线方程。33.试确定下列各组中的直线与平面间的关系。（1）和；（2）和；（3）和。34.求点在平面上的投影。35.求直线在平面上的投影直线的方程。36.求过点且与直线垂直相交的直线方程。37.曲线在面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线。38.列各曲面所围成的立体的图形。（1）；（2）（在第1卦限内）。39求准线为且母线平行于轴的柱面方程。40.求锥面与柱面所围立体在三个坐标面上的投影。五、证明题1.证明以三点为顶点的三角形是等腰直角三角形。2.证明，并说明它的几何意义。3.证明。4.试证，若，则与共线。5.求证以直线为轴，半径为的圆柱面方程为。6.试证两直线与相交，并求交点坐标。其中:。7.设从坐标原点到平面的距离为，求证。8.设平面为，它与连接二点和的直线相交点，且。求证：。9.一直线与三坐标轴间的角分别为。求证：。10.一直线与三坐标面的交角为。求证：。11.试证一个关于的齐次方程总是顶点在坐标原点的锥面。12.试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写为：与 其中为参数。六、模拟（自测练习）1.设向量有公共始点，试写出一个与共面且平分与的夹角的向量。2.若，求：（1）；（2）。3.设，与的夹角为，求。4.一直线过点且与向量平行，求点到该直线的距离。5.求过原点且经过两平面：和的交的平面方程。6.若两个一次方程和表示同一个平面，试确定的值。7.求过直线且与球面相切的平面方程。8.已知的方向角分别为，试证过且垂直的平面方程为：。 第七章 空间解析几何与向量代数练习题答案二选择练习 1B；2A；3D；4C；5A；6D；7A；8A；9B；10A三填空 1；2.；3.2； 4；5.-4；6.7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.；14.；15.；16.(1)母线平行于轴的椭圆柱面；母线平行于轴的抛物柱面；顶点在原点的二次锥面；两个分别平行于和坐标面的平面；过点且平行于轴的直线；坐标面上的双曲线。（2）圆心，半径。（3）；（4）， ，；（5）。17.方程 表示双叶双曲面；方程表示椭球面；方程表示单叶双曲面；方程表示椭圆抛物面；方程表示双曲抛物面。18.二次曲面被坐标面截得的曲线方程为，截线为双曲线；被坐标面截得的曲线方程为，截线为椭圆；被坐标面截得的曲线方程为，截线为双曲线；被平面截得的曲线方程为，截线为椭圆；被截得的曲线方程为，截线为两相交直线。19.曲面关于坐标面，坐标面以及轴对称。20.二次锥面的直母线方程为，其中不全为零。四计算 1立方体各顶点的坐标依次是，。 2点到轴的距离为，到轴的距离为，到轴的距离为5。 3 4。 5动点的轨迹是平面上的圆。 6（1）；（2），；（3）。 7。 8。 9， 10 11，与平行的单位向量或。 12（1）；（2）；（3）2。 13。 14。 15；。 16略 17；。 18。 19，。 20；。 21，。 22圆心，半径。 23.。 24。 25（1）；（