初中生数学思维能力培养探究

辽宁师范大学 教育硕士研究生学位论文 论文题目 初中生数学思维能力培养探究 研究生 张仁清 指导教师 李莉 专业方向 学科教学 数学 年级 2 0 0 4 级 辽宁师范大学研究生部 2 0 0 6 年1 0 月 初中生数学思维能力培养探究 初中生数学思维能力培养探究 研究生 张仁清 指导教师 专业 李莉 学科教学 数学 摘要 数学思维教育是2 l 世纪数学教育的核心 数学是与思维联系紧密的科学 是思维 的科学 如何在数学教育活动中培养学生的数学思维能力已成为J 人数学教师关注的问题 本文首先阐释了数学思维的内涵 形式和品质 同时针对初中生思维的特点提出了初中生 数学思维能力培养的二个方面 数学思维品质的培养 1 r 逻辑思维的训练 逆向思维的训 缘 然后探讨了培养学生数学思维能力的方式 展示了在数学教学中实施的过稃 最后进 行了教学实验和统计分析 在统计分析基础上提出了相府的教学建议 关键词 初中数学数学思维能力培养 教学实践 一 问题的提出 时值科技发展迅猛 新知识产出频繁 社会变革急剧的时代 在这个以信息技术为标 忐的知识经济时代中 人们掌握的相对稳定的知识与时代的要求之间的矛盾越来越尖锐 倘若只教会学生掌握现成 古I 定的知识 他们将远远地落后丁 时代 为此 如何培养适廊时 代发展需要的人才就成为教育改革的重人课题 在这个背景之F 数学是中学教育的基础 学科 数学科学以它的基础性广泛而深入地渗透剑日常生活的方方面面 同时在数学教学活 动中也蕴涵着无穷的创造因素 冈此 随着我国思维科学研究的不断深入及数学教育改革 的不断推进 对数学思维科学的研究和对学生数学思维能力培养的探究愈来愈受剑 泛的 重视 数学思维教育是2 1t H 纪数学教育的核心 数学是思维的科学 它能够启迪 培养 发 展人的思维 虽然其他学科或其他方式也可以培养人的思维 但在深度 J 度及系统性方 面是无法与数学相比的 应当说数学在培养 会思想 方向上起着更人的竹 l j 自上世纪7 0 年代以米 世界教育改革与发展核心理念之一是 以学生为本 以学生 发展为本 在这一理念的指导F 尊重学习主体一学生的发展权利 充分发挥人的个 性 培养学生r l 愿参与直至终生的求学习惯 提法频频出现在国际秆会所通过和认可 的文献中 过去我们在传统 戍试教育 中 只能养成学生的 戍试能力 学生只学会背记复习 垫 生墼堂璺丝壁生望鲞堡塑 提纲 以取得高分的 应试 技巧 这种 应试教学 只能造成呆读死记 高分低能的 模 仿犁 人才 照葫芦画瓢 人云亦云 的能力绰绰有余而独立思考 动手实践 发明创 造的动力远远不足 当前 素质教育已经成为基础教育的主旋律 从中央到地方各级各类教育行政部fj 和 学校都在积极推进素质教育 这样数学教学已从传授知识犁向培养能力犁转化 同时国内 外出现各种现代数学教学模式 从中启示我们强调学生在教学中的主体地位 注重调动学 生主动性和积极性 近些年来 在中 高考数学试题中 依靠机械记忆 直接套 f j 公式 凭直觉作答的题目越来越少 而更多的题目需要根据题目的己知条什什细致的分析 判断 从而决定解题的方向和方法 这无疑需要较强的逻辑思维能力平 数学思维方法 为此着眼 丁 发展学生智力 培养学生能力是现代数学的发展趋势 现代教学观认为 教学不仅是传授知识 更重要的是培养学生的能力 全日制义务教 育数学课稃标准 指山 学生是数学学习的主人 教师是数学学习的组织者 引导者和合 作者 学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的 主动的和富有个性的过稃 数学教 学实践表明 会思维的学生才会学习 要使学生真正成为学习的主人 使学生的数学学习 成为活泼 生动的过程 就必须让学生学会思维 掌握创新性的学习方法 才能成为受f j 终 生的尔I f l i 然而现在我们发现学生在数学学习过稃中思维存在着缺陷 土要表现为 1 思维单一化 习惯于孤立地 静I t 地看问题 满足丁 求问题的单一解 不能从 整体上把握数学对象 缺乏 l 甘运动 发展的眼光全面认识事物 2 思维无序化 思维早现出颠 倒四的无序状态 具体表现在证明题目中 大多 没有简洁 准确 流畅的表达能力 诸如无依据的推理 冈粟天系的错 市等曾 3 思维表面化 仅满足于对结论 公式 定理 的套 I j 面对教师精心组织的探 求知识发生发展的过程 普遍持听不伟就不听 迫不及待地筲F 文 结论 的心理 这种 状况造成头脑中知识的发展过程与结论的割裂 不仅增加学生记忆的负担 还严重制约了 知识的迁移和能力的发展 综合以上种种情况表明 重结论 轻过程 的现状的改变已拦在J 人数学教师面前 本人旨在中学数学教学改革中提供一个思考的角度 一些尝试 以期同行辈问批评斧正 1 思维 二 数学思维的理论概述 提到思维 许多人常常同答得十分简单 在学习或I 作中脑子里总是在想做什么或如 何做等问题 这种人脑忍考问题的内部活动就是思维 其实 思维是人脑对客观事物的本 质属性和内部规律性的概括的 间接的反映 是认识过稃的高级阶段 它具有明显的两个 特征 1 概括性 2 间接性 1 概拓性 在数学学习过程中 学生的许多知识 如概念 定理 法则等都是通过 2 垫主生墼笺星丝丝尘望鲞堡塑 对现实生活的认识概括而获取的 我1 f j 通过对格式方群 分式方程 无理方群 对数方稃 二角方稃包括高次的多元的各种方程认识和理解中 虽说表达方式有所不同 它们都有共 同的本质特征 等式 含有朱知数 而得出的 2 间接性 思维不是直接地 而是通过其他事物的 8 l 介来反映客观事物的 因为一 个人生活的时间 空间是有限的 不能直接感知所有事物 我们常说的举一反二 闻一知 十 由此及彼 由近及远都是间接性的思维 例如 原子结构是人们感觉和知觉不剑的 而科学家凭借知识经验和思维的参与却研 究出原子的结构 由于思维的间接性 人们才能对那些未曾感知过或根本无法感知的事物 做出反映 从而使人的知识范嗣不断扩人 延伸 思维的这种概括性和间接性是密切相关的 正是由丁 两者的结合使H J 才使人们的思 维不断深化 2 数学思维 数学思维是以数学物象 现实世界的空间形式和数学笑系及由此反映出来的结构与模 刑 为思维对象 以数学语言符号为思维载体 f 以认识和揭示数学规律为目的的一种思 维 具体地说当人f f J 面对一个数学问题时 在解题动机的驱使F 即对问题的信息 假设 结论 图形等 进行感知 接收 然后将获知的问题信息部分转入K 时记忆 部分原来存 储丁 妖时记忆中被激活的主语信息和数学表象被转剑l 作记忆中 在解题思路的探索取得 成功后 便进入对探索过稃的整理表述 若结果符合目标要求 则解题过稃即数学思维过 稃官告完成 数学思维具有一般思维的特征 同时圆数学及研究方法的特点 又具有不同丁 一般思 维的自身特征 特别是作为思维载体的数学语言和简约性和数学形式的符号化 抽象化 结构化倾向就决定丁数学思维独特的特征 1 严谨性 2 整体性 3 相似性 4 问题 性等特点 2 1 常见的数学思雏形式 从思维活动的总体规律的角度来考虑 通常分为 i 数学形象思维 2 数学逻辑思维 3 数学亩觉思维 1 数学形象思维 数学形象思维是凭借头脑中积累的事物的表象来展开思维活动 以表象和想象为其基 本形式 以观察与实验 联想与类比 猜想为其主要方法 通过对形象材料的意识加l 而 得剑领会的思维方式 在数学思维形象中 表象和想象是两种土要形式 而其中表象义是数学形象思维的基 本元素 数学表象是从事物的形体抽象中通过形式结构特征的概括而得到的观念性形象 例 如 备种图象 图表 图形 数学概念 数学语言和数学符号等都是数学表象 它们不表 垫 生墼堂星丝壁尘堕惹堡塑 示哪一个特殊的或个别的数学对象 而是理想化的带有器遍性的数学形象 数学想象是以丰富的表象为基础 运用已有的数学思想观念对这些表象进行整合加 创造出新的数学表象思维 它是数学形象思维的一种重要形式 通常可分为再造性想 象帚l 创造性想象两种 数学中的再造想象是指根据对某一事物的数鼙笑系与空间形式的语 言文字的描述或图形的示意 在头脑中形成的新表象的思维 创造性想象是不依赖丁 某一 事物已有的数譬关系和空间形式的描述 而是根据一定的目的 任务与理论 独立地创造 出新表象的思维 例如 在数学科学发展史上 我们熟知的人数学家欧拉烈日欠明后 仍 能继续进行一系列的数学推理 论证 主要就是依赖再造想象 法国数学家笛 儿把故期 分离的代数和儿何联系起来而创立了解析几何 他借助丁 曲线上 点的运动 这一想象 创造出变革和坐标系的新的形象 把抽象的方稃展示为商观的平面和空间图形 就是创造 性想象 2 数学逻辑思维 是指借助丁 数学概念 判断 推理等思维形式以分析 综合 抽象 概括 完全 j 纳 演绎为主要方法 通过数学符号或语言米反映数学对象的本质和规律的一种思维 它 具有显著的特征是 1 抽象性 2 逻辑性 数学有明显的严谨的逻辑体系 一方面主要的数学事实是按逻辑方法来叙述或论让的 人犁的数学概念抽象概手舌的形式化 公理化 数学原理 公式 法则的推理论证高度严密 筲 另一方面在数学学习中不仅要记住逻辑体系组成的人颦概念 公式 定理和法则 而 且也要进行概念的分类 定理的证明 公式法则的推导 广泛使用各种逻辑推理和让明方 法 此外 逻辑推演法和规则法也是逻辑思维的基本规律雨I 辨证逻辑的规律 有着严格的 逻辑规则 而逻辑思维又必须是循序渐进的 要按照逻辑规则依线犁或枝权硝一步步推卜 去 这就是逻辑思维的推演性 推演性和规则性是一种强人的逻辑力茸 它保让人们在严 格的逻辑推演的基础上实现新的突破 形成新的知识 同时又提高思维成果的可靠性 田 此 推演性与规则性是逻辑思维区别丁 其它思维重要特征之一 3 数学直觉思维 数学直觉思维是以一定的知识经验为基础 通过对数学对象作总体观察 在一瞬间顿 悟剑对象的某方面的本质 从而迅速做出估计判断的一种思维 它是一种非逻辑思维活动 是一种F 意识 渐意识 活动参与 不受同定逻辑规则约束 由思维主体自觉领悟事物本 质的思维活动 因此说 1 r 逻辑性是数学直觉思维的基本特征 同时它具有直接性 整体 性 或然性 不可解释性等重要特征 综上所述 从基本能力的角度要求来石 应该培养学生的逻辑思维能力和形象思维能 力 而我们所说的运算能力是逻辑思维能力与返算技能结合 即为逻辑思维能力的一部分 空间想象能力则是形象思维能力与空间形式构思的结合 即为形象思维能力的一部分 如 果主体逻辑思维和形象思维水平得到切实的提高 则直觉思维的发展就会有坚实的基础 例1 已知 乏丁X 的一元 二次方稃2 x z 2 m 1 X I I I O 的一个根人丁 3 而另一个根 小于3 求实数m 的取值范围 分析 解决此问题 j 形象思维为先导 由 二次方稃联想刮其对应的函数f X 2 x 2 2 m 1 x m 的图象是一条开V I 向上的抛物线 由已知条什可知3 是介丁两根之闻 丁 是 4 塑皇生墼兰昼丝壁垄堕鲞堡塑 必有f 3 O 则H j 逻辑推理桶对应的不等式f 3 2 3 2 一 2 m 1 3 m 3 使 用这种方法就是数形结合的数学方法 它兼取了形象思维和逻辑思维的长处 这比单一探 讨 二次方稃根的情况来得简捷明朗 2 2 数学思维品质 思维的发生和发展服从于一般的 普遍的规律 而不同的人思维特点又各不相同 我 们把思维的发生和发展中表现出来的个别著异 称之为思维品质 在数学教学活动中 有 的学生表现思维很灵活 思路开阔 能够洞察问题的本质 有自己的独创性 而有的学生 则表现为反麻迟钝 思路狭窄 流于表面 只习惯丁简单的模仿 这就是数学思维品质的 筹异 思维品质包括五个方面即思维的发散性 思维的深刻性 思维的灵活性 思维的批 判性 思维的独创性 它们是确定学生思维水平与个体之间筹异的土要指标 实践让明思 维晶质为我1 j 进行思维能力的培养提供了教学的起点 同时义可以成为检测训练结果的测 试指标 1 思维的发散性 即思维的 度 是指思维活动作用范嗣的广泛和全面的稃度 它表现为思路开阔 能 够在分析问题时 善于从不同角度 不同层次对问题进行全面的观察和思考 既注意到问 题的细抗又能纵观问题的罄体 较虫 地把握特殊与一般 局部与鼙体的关系 善丁 对数 学问题的特征 差异和隐含关系进行具体分析 作出J 泛的联想 冈而刖各种不同的方法 去处理和解决问题 冈此在解题时表现为一题多解或一法多用 思维的发散性表现在有一个很好的方法或理论 能从多方面设想 探索这种方法或理 论适川的各种问题 扩人它的适用范围 数学中的待定系数法 判别式法 换元法 数形 结合法 构造法等在各类问题中的运用就是如此 思维的发散性的反面是思维的狭隘性 思维狭隘的学生常常跳不出条条框框的束缚 造成思路受阻或以偏概全 解决问题时发生错误 2 思维的深刻性 即思维的深度 是指思维活动的抽象程度和逻辑水平 也称思维的抽象逻辑性 它表 现为善丁 抽象概括 理解透彻深刻 推理严密 逻辑性强 在数学思维活动中能够抓住数 学问题的本质属性及其相互联系深入细致地加以分析和解决问题 而不被一些表面现象所 迷惑 善丁J 从所研究的材料 已知条件 解法和结果 中揭示隐敲的特殊怙况 能够迅速 确定解题策略并组成具体的方法模式 思维深刻性的基础就是整个思维最显并的特祉 概括 思维只有借助丁 概括 才能够深入地认识事物的本质与规律 同时 恐维的深刻性 也是其他四个品质的基础 思维灵活性与独创性是在深刻性基础上引申出米的品质 理解 越深刻 灵活迁移的效率越高 独创性也越强 批判性也是在深刻性的基础上发展起米的 只有深刻的认识 周密的思考 才能够准确地判断 同时也只有不断自我反省 调肖思维 过程 才能使主题更加深刻地揭示事物的本质与规律 要想解决错综复杂的综合性问题 首先就要努力培养学生思维的深刻性 例2 如图2 1 在矩形A B C D 中 横向阴影部分是矩形 另一阴影部分是平行四边 形 依照图中标山的数据 计算I 中空白部分的面积为多少 初中生数学思维能力培养探究 分析l 思维较肤浅的同学极易分别求出四个梯形面积之和 或H i 犬矩形A B C D 的面 积减去阴影部分的面积 尽管也能计算出 但费时费力 思维较深刻的学生 学握问题的 本质 原图去掉阴影可画成图2 2 的情形 于是S a c b c 曲一8 c b c c 2 4D f b 一 i 一口一C C 图2 一l图2 2 思维的深刻性的反面是思维的肤浅性 主要表现为 对概念原理一知 解 对定理 公式 法则等不考虑它们为什么成立 在什么条件F 成立 易受问题中的背景干扰 抓不 住问题的本质 3 思维的灵活性 即思维活动的灵活样度 它反映的是个体的智力或能力的迁移稃度 是指能够根据客 观条什的变化及时调整自己的思维方向 由一条思路转向男一条思路 枉数学思维活动中 土要表现在五个方面 第一 思维的起点灵活 即在开始考虑复杂的问题时 就能够从不 同角度 方向考虑问题可能发展规律的趋向 并能选择多种方法解决问题 第二 思维过 稃的灵活性 在思考问题的过程中 不会陷入一些不太重要的问题而不能自拔 也就是平 时教师们常说的 钻牛角尖 灵活性强的学生会排除各种不可能的选择 而顺利地选抨最 简便的方法解决问题 第三 概括迁移的能力强 运用各种规律的自觉性高 概括能力强 就会对箨种规律性的知识理解清晰 深刻 就能促进迁移的形成 提高灵活性 第四 在 解决复杂问题的过稃中 善丁进行组合分析 将不同类犁或学科的知识信息采 L l j 不同丁 常 规的方法加以组合 加快了解决问题的速度 第五 思维的结果灵活 不被结果的出现而 受剑抑制 能够考虑可能出现的多种结果 为新一轮阀题解决打好基础 一般说来 思维 灵活的人 善丁从错误思路中退出并及时转向 善丁 联想 类比 逆向思考 善丁 将问题 简约化门 例3 解方程 x 2 2 x 1 6 8 O 说明 思维呆板的人石剑题目按部就坍想到用公式法或十字相乘法来解 而思维灵 活的学生试试处理它的时候 用公式法 运算鼍犬 十字相乘法 不太容易试山来 当石 剑方稃左边1 6 8 比1 6 9 少1 而1 6 9 恰是1 3 2 将其移到方稃的右边 方群变成X 2 2 x 1 1 3 2 这样很快就想到H 配方法 得到x 1 4 x z 一1 2 思维的灵活性的反面是思维的呆板性 在数学学习中常常表现为循规蹈矩 冈循守旧 思维僵化 缺乏应变能力 呈现山消极的思维定势 4 思维的批判性 即思维的独立性 是指思维活动中独立分析与批判的稃度 是思维过程中土体的白我 意识作 J 的结果 它表现为善丁独立思考 善丁提出疑问 严格客观地评价思维的结果 及时发现错误 纠正错误 能够在解决数学问题过程中不断总结经验教训 进行I 亓I 顾和反 思 对已有的数学表达式平 论证中提出自己的见解 自觉调控思维进程 自我评价解题思 6 初中生效学思维能力培养探究 路或方法 辨别正误 排除障碍 寻求最佳答案 例4 1 解不等式 二一 3 X l 说明 甲的解法 去分母得1 一3 x 一1 3 x 2 所以原不等式解为x 乙的解法 前面的步骤与甲相同 得x 三 考虑到x l e O 所以x l 所以原不等式解为x 三且x l 丙的解法1 i 1 3 x 1 百3 X 2 两边同乘以上E 数 x 1 2 得 3 x 一2 X 1 O 所以原不等式解为x 1 3 比较甲 乙 丙三人 易知x O 是原不等式的解 仅这一点说明甲和乙的解法是错误 的 原因呢 甲乙两人都在不等式两边同乘以 x 一1 在不确知其符号的情况F F 意识 地把它当成了正数 另外甲没警觉分母不为零即x 1 的情况 显然丙的解法才是正确的 思维批判性的反面是思维的盲从性 在数学学习中常常表现为不知自己的思路是否正 确 不善丁独立思考和提I 出问题 只会附和别人的意见 对教师和教科f 盲从 不敢越宙 池 步 缺乏检杏和检验的意向 不善于客观评价筲 5 思维的独创性 即思维的创新稃度 是指思考问题和解决问题时的方式方法或结果的新颖 独特 具 有创造性 在数学思维活动中常常表现为能独立发现问题 解决问题 敢于突破常规的思 考方法和解题模式 大月日提出新的见解和采用新的方法 思维的独创品质是智能的高级表 现 例5 高斯1 0 岁时 就能摆脱常规算法 采川独特的方法将1 2 3 1 0 0 分解 组合为5 0 个1 0 1 相加 迅速得出答案为5 0 5 0 很明显 赢斯的算法是很有独创性的 以上五种数学思维品质不是孤立的 而是相辅相成 紧密联系在一起的 没有发散性 就谈不上灵活性 冈为狭隘的思路是灵活不起来的 没有深刻性和灵活性 也就谈不上批 判性 冈为只有达到一定的深刻性和灵活性 才能够洞察问题的本质 才能摆脱思维定势 的消极影响 及时发现自己和他人的问题 没有发散性 深刻性 灵活性与批判性 就谈 不上独创性 在数学教学中 只有全面发展学生的这石种思维品质 才有可能提高学生的 思维能力 初中生数学思维能力培养探究 3 初中生数学思维发展的特点 现代教育心理学研究表明 学生数学思维的发展甲现年龄特征 即指在一定年龄阶段 内所表现出来的一般的 本质的 典型的特征 通常要经历直观行动思维 具体形象思维 剑抽象逻辑思维 包括辨证思维 筲阶段 数学思维就是按此顺序由低层次向高层次不断 发展 这种发展是高层次思维形态以低层次思维形态为基础 高层次形态的出现与发展义 反过来带动 促进低层次思维形态由低水平向高水平发展 在整个中学阶段 学生的数学思维获得迅速发展 抽象逻辑思维 据优势地位 学生 能够离开具体事物 运用概念 通过假设进行思维 使思维按着发现问题 明确问题 提 山假设 检验假设的途径 经过一系列抽象逻辑思维达剑解决问题的目的 在思维活动中 自我意识 自我监控能力逐渐增强 思维的自我调符能力明显化 反省的 监控性的思维 特点在加强 在思维过程中追求新颖 独特 追求个性 初中阶段学生数学思维的发展是 关键期 初 二表现明显的 飞跃 突变和两极 分化 是一个关键年龄期 待高二趋向定碰 思维趋于成熟 在数学思维活动中具体表现 为以下几点 1 求知欲较强 由丁年龄特征及知识发展水平的局限 学生具体形象思维的成分较人 主要靠直观思维 对具体 形象的问蹶 思维比较活跃和顺畅 对抽象问题 一时找不到 解释 便茫然无措 习惯丁某种思维模式 遇剑一个问题 一味期望能套J j 某个现成公式 这些都反映了思维的变通性和鹿变能力较差 2 学习内容的理解甲孤立 间断状态 对概念 公式 定理等满足丁 形式上的理解 记忆 往往忽视其米龙去脉和知识的系统性 只重视其内涵 而忽视其外延 对数鼍之间 或形体之间的逻辑关系缺乏整体的认识 对各种数学思想和方法之间的共性与个性缺乏了 解 这样在学习过稃中不可能逐步建立和完善思维的整体结构 丁 是影响了对新知识的理 解 3 思考问题不善于从多角度 多方面 多维度去考虑 思维方向惰性十分明显 例如 在初一学习了幂的乘方法则 a m a 之后 在计算2 6 时 许多学生仍要逐个累乘 却不 知有事中功倍的心算法2 6 2 3 2 6 4 原因就在于课堂上做的练习都是应用公式由左剑右的 变形 甚至剑了高中 有的学生对于比较2 2 与2 2 的人小也视为难题 这在一定稗度上 会导致 先大不足 的结果 以上所列思维特点 是初中生在数学学习上的思维局限性 是青少年思维发展规律的 组成部分 在教学实践中 一方面我们要有目的 有计划地针对学生的思维特点进行严格 的思维训练 脚踏实地地贯穿剑教学的全过程中 男一方面要充分利H j 他们成熟前可塑性 人的特点 主要表现为多思 多疑 多问等 通过刨设合适的问题情境 通过 问题解 决 质疑反思 等多种教学形式 帮助学生形成良好的思维品质 思维的发散性 灵活 性 深刻性 独创性和批判性等 4 数学学习与数学思维的发展 8 初中生数学思维能力培养探究 数学学习的实质是数学认知结构的建构过程 这种建构是在同化与顺麻的作朋卜 将 新的数学知识与已有数学认知结构相整合而实现的 一方面 数学知识的获得和运用是数 学思维发展的源泉 随着数学学习的进行 对学生不断提出新的数学问题 在同答和解决 这些新问题的过稃中 数学思维得到不断发展 数学学习的实践为学生提供丰富的感性材 料和实践经验 通过对他们的抽象 I 门纳利概括 学生认识数学概念的本质和规律的能力 得到不断发展 在新习得的数学知识的应用过拌中 可以使新知识得到进一步概括 从而 内化剑数学认知结构中 f 使之成为一种能起 i I i I 着点作 j 的有刖知识 从而导致数学思维产 生质的变化 出现新的发展水平 同时数学学习决定学生数学思维的水平和质鼍 不断向 学生提出新的发展要求 另一方面 一定的数学思维发展状态不仅为新学习提供了基础 而且也为数学思维创造了新的发展可能 这样 数学学习义不是消极地适麻数学思维已有 的发展水平 而是要积极地促进数学思维的发展 将发展的可能转变为发展的现实 田此 教师在数学教学中麻当同时考虑学生数学学习思维的现实和可能发展 以现实发展为出发 点 以可能发展为定向 使学生通过学习把新数学知识内化为自己的经验 从而实现数学 学习对数学思维发展的促进作用 5 数学思维与数学教学 现代数学教学论认为 数学教学不仅要反映数学活动的结果 而且要注意展现得剑这 些结果的数学思维过科 在教学中 应注意数学概念和规律的提出过稃 知识的形成 发展过稃 开展数学思维过群教学 是现代数学论思想的体现 有利丁l 学生获得数学知识 有利于学生数学能力尤其是处丁 核心地位的数学思维能力的培养 更有利丁 实施数学素质 教育 促进学生个性的全面发展 数学教学是数学活动过稃的教学 在这个过稃中 教师起土导作用 学生是学习的主 体 教学过稃的实质是学生在教师指导F 的认识和实践的统一过稃 而数学思维是一种特 殊的思维 是以数学概念为细胞 通过数学判断和推理揭示数学对象的本质和内在联系的 认识过稃 它更强调其认识过科 即数学思维的过稃 通常说 数学思维过程是指以提出 问题为起点 思维主体以数学语言为 r 具 借助于各种数学知识 数学思维形式 思维方 法的运行 碰撞 组合 互补和交换 最终获得问题解决的理性认识过稃 在数学教学中 教师既要教会学生掌握数学概念 定理 公式和数学知识体系 义要 发展学生的数学能力 我们说概念的形成 定理的发现 公式的建立都要经过观察 猜测 分析 综合 门纳 演绎 抽象 概括和逻辑论证的思维过程 同时数学教学过科义是学 生学习的过程 是对人类已有的数学知识经验的认识过稃 学生的认识经过由感性剑理性 的发展阶段 而学生的理性认识阶段实际上就是学生的数学思维过稗 学生只有经过数学 思维过稃才能把前人的数学知识经验f l J 化为自己的知识经验 冈此说在教学实施过秤中 教师要结合具体的数学知识展现数学思维过稃 渗透数学思想方法 发展学生的数学能力 培养学生的数学素质 o 初中生数学思维能力埔养探究 三 数学思维能力的培养 目前我国正大力实施与推进素质教育 如何培养适应时代发展要求的人才是我们一直 追求的目标 面临这样的要求 我认为中学数学教学的目的之一就是要培养学生的数学思 维能力 结合多年的实践 笔者从以F I 方面进行了探讨 1 数学思维品质的培养 实践证明培养数学思维品质是形成数学能力的基本条什 同时也是提高教学质督的重 要途径 对初中生来说 我们在教学实验中表明 应该培养他们思维的发散性 思维的灵 活性 思维的深刻性 思维的批判性 3 1 思维的发散性的培养 在教学中培养数学忍维的发散性就是让学生对同一来源的信息进行多角度 多方衍的 思考 重组 加I 和再发现 即对一个对象能从多种角度观察 对一个题E l 能想出多种不 同的解法 即一题多解 通过用不同的方法解决同一道数学问题 或通过t l j 同一方法解决 不同的问题 或通过一题多变 抓住问题的本质解决一类问题 这样一来 合理地 协调地 返 H j 逻辑思维 形象思维 直觉思维等多种思维方式 寻找变异 伸展扩散 突出已知与 未知之间的矛盾与联系 引发学生提出新的思想 方法和新的问题 以达到知识融会贯通 提高解决问题的虑变能力 1 注重发散性提问 思维是从问题开始的 教师的提问可以直接激发学生进行积极思维活动 发散性提问 就是提出问题的结果不是唯一的 问题解决的手段和联系内容是多方面的 让学生产生尽 可能多 尽可能新的想法 在发散性提问的推动F 学生能展开多向的思维活动 以获取 多方信息 能辩养学生独立思考的臼觉性 敢于突破常规 人胭提出新颖的见解 教学中 适当增加发散性提问 对培养发散性思维 形成发散思维的习惯 进而培养创造性思维具 有更直接 更现实的意义 2 训练学生由同一条件联想到多种结论的发散思维习惯 要求学生在思考问题时 要将信息向各种可能方向扩散 并引出更多信息 使解题思 路不拘泥丁I 一个途径 不局限丁 一种理解 不满足得到的基本结论 教学中可借助丁基本 图形 创设结论开放性问题 让学生通过观察 分析 比较 门纳 推理 判断等一系列探 究活动 逐步确定府有的结论 例6 如图3 1 D o 和o O 外切丁二点T 为其 J I 公切线 A B 为其外公切线 且A B 为切点 A B 和T P 相交丁 点P 根据图中所给出的己知条件及线段 你能得剑哪些结论 说明 本例可以启发学生从边的关系 角的关系 二角形相似 直线与圆 两圆的 1 0 初中生效学思维能力培养探究 关系等儿个方面考虑 a 直接根据相应定理作山判断 P A P T 或P B P T L P A T L P T A L P B T L P T B L O A P L O B P L O T P L O T P 9 0 o A O B P T X 0 0 O 0 T 在同一条直线上 A 0 T P 四点共圆 L O 2 L P A T 这些结论通过观察能直接得出 教者再进一步启发 经学生思考后 还可以得出 b 可以利用切线及两圆外切 经推理作出判断 P A P B P T L A T B 9 0 0 么A O T 么A 阿 1 8 0 0 c 可联想三角形相似及圆的相大性质作判断 o A T 一 P B T P T 2 O T 0 一T A T B 的外接圆与A B 相切 过0 P 0 的圆与A B 相切 A B 2 4 0 T 0 T d 也可以综合后进一步作出推断 P A p B O T 0 T 望二 0 7 两圆中释是方稃x 2 0 0 x P T 2 O 的两根 T B 2 0 l T 学生思考方法及结果可以各不相同 表现出开放性问题的层次性 由丁 答案不唯一 给学生有较多提山自己石法的机会 有利于培养学生思维的灵活性和流畅性 有利丁 发散 性思维的养成 3 训练学生对同一结论 联想到多种条件的发散思维习惯 要求学生在某一方向上思维受阻时 能迅速地调整思维角度 或横向联想 或逆向探 索 或多想转换 以寻求解决问题的其他途径 多设置一些条f l 开放性问题 让学生养成 执粟索源 寻求使结论成立的条彳 的习惯 以锻炼多项发散 寻求变异的能力 从而开阔 学生的思路 例7 已知如图3 2 D 为 A B E 的A B 边上的一点 C 在A E 的延长线上 B E 和c D 相交于0 试给山适当条件 使 B O D 与 C O E 相似 根据判定三角形相似的方法并结合题中图形的特征 学生 可发现需用卜 面方法 I 两角对廊相等 两三角形相似 2 两边对应成比例 且夹角相等 两二角形相似 从而 总结得山 B O D 与 C O E 相似的条例分别为 Z B Z C C 初中生数学思维能力培养探究 Z B I O Z C E O 弛D O C O E 0 B 么A D c 么A E B A D A B I k E A C 通过上面的练习 不仅使学生掌握了课本知识 而且培养和发展了他们良好的思维品 质和探讨问题 解决问题的能力 通过一题多解 训练思维的多向性 一题多解是培养学生思维发散的一个重要方法 让学生不要过多地受思维定势的影响 善于从旧的模式中解脱出米 对一个对象能从多种角度观察 对一个信息能多种方向发敞 对一个题目能提出不同解法 一题多解能够训练学生对一个问题从不同角度 不同方向探 索和思考 综合j 垒 1 j 各科知识 开拓思路 从而发展思维的变通性 提高解题能力 倒8 1解方程 x 3 x 4 f 3 x 5 6 分析 一般学生很快想剑两种解法 方法I 因式分解法 x 2 3 x 4 x Z 3 X 5 6 从而得剑 X 2 3 x 2 9 x 2 3 x 1 4 O x 3 x 2 X 2 3 x 7 o 由x 3 x 2 O 得x l l X 2 2 而X 3 X 7 O 无实数根 因此 原方稃的实数根为X l 1 x 一2 方法2 换元法 设x 3 x 4 y 由原方程可变形为Y y 1 6 y 2 y 一6 0 解得y J 2 y 2 一3 再将Y 的值代入原方程 得到原方稃的根 但教师不能由此打住 引导学生进一步探索其它解法 方法3 均值代换法 设a x 2 3 x 4 5 则原方程 变形为 a O 5 a 帕 5 6 解出a l 2 5 a 2 2 5 将其代入原方稃可得到方稃的根 这样比上面方法1 和2 要简捷 方法4 待定系数法 i 受 x 2 3 x 4 x 2 3 x 5 6 x 2 3 x m x 2 3 x n 则有 一 3 x 2 9 一 3 x 卜1 4 气 3 x r H m n 3 x 卜m n 由此可得到r e n 9 m n 1 4 求得m 2 n 7 F 略 当然 并1 F 每一道题都要多种解法 题多法不是目的而是手段 因为从不同角度分 析问题 进行有懿的联想和探索 进而得到解决问题的不同方法 它既可摆脱 题海 义 能提高学习兴趣 将学得的知识纵横联系 广泛迁移 灵活麻H 能有效防l 照猫画虎 模式辨别的机械学习 有利丁激发学生独立思考和创新意识 从而培养深刻理解概念 克 服循规蹈矩 善于多向思维的良蚶思维品质 5 通过一题多变 训练思维的变通性 在数学教学中运圳一题多变 可以引导学生积极思维 改变静J r 孤立思考问题习惯 逐步使思维向广阔的方向联想 向纵深方向发展 达剑由此及彼 触类旁通的目的 这种 从一个题目入手 通过不断变换题目的条件和结论 由浅入深 循序渐进 举一反二 层 层深化 对发展学生的数学思维能力是人有裨益的 1 2 一 型 生墼兰墨丝丝尘堕菱丝塑 例9 1 已知 如图3 3 点c 为线段A 8l b A A C M 和A C B N 都是筲边三角形 求 证 A N 2 B M 人教版几何第一二册1 1 3 页 少B 明理由 简答 图形变化后结论仍然成立 证明略 2 条件 探索 变化 变式1 丧原题条钟不变的前提F 如图3 7 可以探索 求证C D C E 求证A C E B 丝 C D N 连结D E 求证A C D E 是正二角形 求证D E A B 变式2 在原题条什F 再增加一个条件 在A N 酬上分别取中点P Q 变式3 如果条件中A C B 二点改为不共线 如图3 8 求证B D A E 1 3 初中生数学思维能力培养探究 变式4 如I 鳘I3 9 分别以 A B c 的边A B A c 一 为一边画正方形A D E B 和正方形A c F G 连结c D B G 求证B G C D 变式5 如图3 一l O 有一公共顶点的两个正方形 A B C I B E F G 迕结A G E c 求证 A G E C B D C 以上让明略 通过题目的图形变化和条件的各种推演 学生在变中求新 求活 使学生的认知结构 更加完善 同时诱发和培养了学生的发散思维能力 数学教学中充分发展学生的发散思维 让学生在教师的启发 引导F 通过自己的努 力去主动地获取知识 教师要善丁二挖掘雨I 选取教学基础知识和教学问题中的发散素材 恰 当地选定发散对象或选取发散点 适度地把发散思维的培养贳穿于平时教学中 并在教学 过程中创设问题情境 造成认知冲突 通过设问启发学生的思维发敞 再在发散的基础上 有选择地逐个解决提出的问题 以拓广和发现数学知识与数学方法 生成各种知识链 方 法链 实践证明 在教学中注意加强发散思维训练 可培养学生思维流畅 有助提高学生 的解题廊变能力 是开发学生智力 培养学生能力的重要手段 当然 培养思维发散性的同时 决不能忽视收敛性的培养 两者是相互影响相且竹 I j 的 收敛思维是以发散思维为前提 只有进行了充分的发散 才有可能获得最好成绩的收 敛形式 在数学教学中 除了引导学生进行各种解法分析 探讨各种可行性以外 还要教 会学生善于合理筛选与转换 用最佳的收敛方式获得问题的解决 从而培养学生的数学思 维能力 3 2 思维的灵活性的培养 在数学教学中 思维的灵活性通常表现为 不同执己见 不拘泥丁二旧有的思维定势 善于根据题设中的己知条僻和问题的具体特征及时地提出新的设想和解题方案 1 善于观察 观察是思维的触角 是认识事物最基本的途径 是了解问题 发现问题币 解决问题的 前提 是联想的基础 每一道数学问题都包含一定的数学条什和关系 要想解决它 就必 须依据题目的具体特征 对题目进行全面 细致 深入 透彻的观察 捕获各种有用的信 息 然后认真思考 透过表面现象石本质 探求解题思路 拟定解题策略 从中找剑最住 的解题途彳孕和解题方法 例1 解分式方程 S 玎x 2 2 x 要等 1 1 分析 面对此方稃 如果仅仅观察到该方稃有分母 有括号的学生 很容易受剑思维 定势左右 循着 去分母 去括号 移项 分解冈式 的常规方法米求解 因而陷 入繁琐之中 如果从粘体观察入手 发现方稃左边二式之和为l l 而 二式之积为2 4 则易知这两式 1 4 初中生数学思维能力培养探究 之值为二次方程z 2 一l l z 2 4 0 的解 即这两式的值为3 和8 因此方稃相当于如卜 两个 方程 蝉 3 或掣 8 x 2 一lX 2 1 从而求得方稃的解 若从局部观察入手 则发现譬罕1与皋2 X 互为徽丁 是想剑 换麒可 硬X 一X y 粤 原方程化为8 y 三 l l 进而解此方稃变为8 y 2 一l l y 3 0 求得 X 1 1 Y 或y l 此时 亓 剑 式的结果 求得方程的解 5 为全面掌握对象的有效信息 防I t 遗漏重要信息 可采J j 由局部到整体 由整体剑局 部 也可以按事物的结构特征 从不同的角度 不同的观点出发对同一事物进行观察 2 善于联想 联想是分析的动力 在数学思维活动中 一经问题的引发存储在头脑中的数学表象就 会被激活 串联起来 从而得出其他表象 当我们涉及剑直角二角形时就会联想剑勾股定 理 射影定理 涉及剑 二次函数就会联想到一二次方稃 抛物线 遇剑不规则 部分 璺I 形 联想到规则 完整 I 鳘I 形 遇剑抽象的问题联想到类似的具体的问题等等 倒1 l l 如图3 1 1 H 0 分别是 A B c 的j M 为B c 边的中点 求证A I 2 0 M 分析 欲证明A H 2 0 M 若能找山与2 0 M 相 符证明x A H 则问题得证 那么x 在哪儿呢 x 耀 我们注意剑M 是B c 的中点 B o 是 径 由此联女 这样就实现了由 B M 0 向 B C D 的过渡完形 证哦 是平行四边形 进而c D 就是所找的x 问题很快 例1 2 已知a b C d e f g h 都是正数 试让b c d e f g h a 2 分析 本题川常规解法较繁难 若由条f f I 的牛 为1 的正方形这 L 何模型 如图3 1 2 则借助图 6 c 如 唐 吉加 正力形面积 故b c d e f g h a 3 解关于x 的方程 x 4 6 x 3 2 a 一3 x 2 2 3 a 4 x 2 a a 2 0 图3 1 3 分析 I l j 常规方法解此四次方稃较为困难 倘若调整思维方向 发现方稃中的a 的 最高次数为2 可将已知与未知作一转化 整理出关于a 的二次方稃 问题易丁 解决 解 原方群化为关于a 的二次方程 a 2 2 x 2 3 x 一1 口 x 4 6 x 3 6 x 2 8 功 o 解得a x L 4 x 或a x 2 2 x 2 因为a 一 3 所以原方程的根为 x 2 2 4 a 4 屯 X 4 1 口 3 通过逆向转换 突破思维定势 体现了思维的灵活性 例1 5 已知口 坐 兰 求多项式 2 a s 2 口 一5 3 口 一5 7 a 5 4 严的值 解 由口 掣 有2 口 1 雨 两边平方即可化成2 a 2 2 a 5 5 o 由所求多项式 Z 变形为 原式 a 3 2 a 2 a 5 5 a 2 a 2 2 a 5 5 一 2 a 2 2 a 一5 5 一1 2 5 一1 一1 此题求代数式的值 将a 的值代入多项式去计算是止常的思路 但本题若按常规直接 代入是难以计算的 上述解法中把a 的值转化成a 的 二次二项式的值 由个体的值变成群体 的值 然后把多项式从整体上进行分解 分析出包含所得二次二项式的成分 而计算则用 整体代入 这种计算方法充分表现出思维的灵活性 3 3 思维的批判性和深刻性的培养 1 反思探索 荷兰数学教育家弗莱登塔尔指出 反思是重要的数学活动 它是数学活动的核心和动 1 6 初中生数学思维能力培养探究 力 是一种积极的思维活动和探索行为 是同化 是探索 是发现 是再创造 反思即元 认知 是一种自我反省行为 从心理品质上来说 是一种自我超越 自我完善的过程 教 学实践表明 教学必须给学生留l 反思的时间 在教学中 一方面 教者可选准时机 有 意按照学生常她的 多发的歧路 适当出错 把错误重新暴露给学生 制造思维冲突 诱 发灵感 从而提高自我监控能力 同时也使学生能够分清错误类犁 搞清问题之所在 增 强防止错误的免疫力 另一方面 引导学生反思 促使他们从新的角度 多层次 多侧面 地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察 分析与思考 以深化学生对概念 定理 法则和公式的理解 揭示问题的本质 门 例1 6 1 已知实数a b 满足条件口2 一 T a4 2 0 扩一7 b 2 0 求二 值 口6 分析 比较两等式中的各项系数 联想剑一元 二次方稃的定义 抓住本质 将a b 石是方稃x 2 7 x 2 0 的两实根 一些学生根据韦达定理可求得d 6 7 a b 2 得到鱼 譬 a b j 2 一 2 a b 4 了5 表面看来解答结果似乎条理清楚 推理过科步步有据 口D口口Z 但仔细反思题目解答结果 由方程的判别式A 4 I 0 知它的两根不相等 椐题意知 a b 可以不相等 是否有相等情形 结果确定a b 可以有表示同一数的情形 当口 b 时 仃 二 二 2 此题倘若不通过反思 这一错误是很难察觉剑的 乜b 因此说 反思会使解题过程更趋丁完善和合理 克服思维定势负迁移的影响 有利丁 培养学生思维的批判性和深刻性 2 挖掘隐含 所谓隐含条件 是指题目中没有直接 明显给出的蚓有的条仆 它有待丁解题者从题 设 结论的诰言中 数式 l 璺 形的特征或相关知识的联系上去剖析 去发掘 在许多数学 问题中 概念 公式 定理等的适H J 范同 限定条件和使用前提 往往以隐含的条什的形 式出现 发掘和利J j 这些隐含条件 既可以使学生对概念 定理筲有更全面 透彻 深刻 的理解 义能使学生学会透过表面现象 抓住问题实质 使思考符合逻辑 推理严密准确 同时借助丁二这些隐含条竹 采取补救措施 可使解答完美 提高思维的完整性和辨别是1 F 的能力 从而培养学生思维的批判性和深刻性 陌厉 例1 7 已知口 是方拌x 2 6 x 1 0 的两实根 不解方群求1 芏 f 号的值 Y 口 Vp 说明 学生解答过稃如F 学生甲 解由韦返定理得岱 卢 一6 筇 l 1 7 型 竺墼堂堡堡壁尘堕鲞堡窒 所以摆 居 墨 芳 嵩 羞 巧 学生乙 解由韦达定理得口 6 筇 1 瑚摆 序2 为m 警瑙 毗摆 居瑙 蚍 尴跏 堋摆 序 发现此结论不能为负 则仔细分析口 一6 0 筇 I o 可以知道题目中隐含着 a O 所以两根存在 由韦达 一口 3 6 删删础腓眦居居 一 所以压居一 偿 莎蝴 摆 居 譬 雩 一警厢 一芋以巩 雌 得c 撂 伊 锑班警瑙 所以撂 居缸 综合上述我们讨论了培养数学思维品质的方法 这里值得指出的是 四种思维品质是 一个有机的罄体 不是孤立存在的 它们是相互联系 相互制约的 冈此说 我们在教学 实践中也不能将它们孤立地隔裂开来进行 学生良蚶思维品质的培养是一个K 期的过拌 1 F 1 8 垫主圭墼兰星丝丝尘堡鲞堡塑 一日之功 这一培养任务艰巨复杂 在教学过徉中加强 数学概念的形成 过稃 数学公 式 法则 定理的发现过稃 儿何图形的表象 空间 概念的建立过稃 解题思路的探索 过程 解题方法和规律的 n 纳过羊早等的教学 学生才会在 过程 中理解和消化知识 提高 分析问题和解决问题的能力 诱导学生进行观察 比较 分析 综合 猜想 联想 抽象 概拓等思维训练 从而把彼此独立的知识串连成线 连续成网 有效地培养学生的各种思 维品质 提高探索创新的能力 2 加强非逻辑思维的训练 我们平素教学中很重视逻辑思