浅谈反证法在中学数学中的应用----毕业论文.docx

【标题】浅谈反证法在中学数学中的应用 【作者】唐瑜 【关键词】推理反证法矛盾逻辑原理假设 【指导老师】李好奇 【专业】数学与应用数学 【正文】1.引言反证法是属于间接证法的一类。在数学中往往有一些命题，直接证明会比较困难或非常复杂，用反证法很快就能得到解决。反证法在整个数学教学中都得到广泛应用，是数学中证明问题的一个不可缺少的重要方法。反证法是数学中重要的一种证明方法，也是中学数学教学中的一个难点。在反证法的学习中，学生由于对反证法的认识不够、理解不深、缺乏证明命题的逻辑推理能力，不能完全正确地应用反证法来证明数学命题，而教师在教学中也不易突破。因此，深入探究反证法的逻辑原理与使用方法，必将有助于教师，特别是青年教师突破教学难点，在教学中更好地培养学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。本文结合实例，系统地阐述了反证法的理论依据、证明模式、种类、以及在什么情况下运用反证法较为合宜、反证法的教学等问题，试图为中学数学中反证法的教学提供一份参考。2.预备知识2.1命题能判断真假的语句称为命题。命题有真有假，当对某事情的判断正确时就称为真命题，反之就称为假命题。比如复合命题“如果，则”就是一个命题，这命题由两部分组成，称为条件，为结论。实际上和本身也是一个命题。我们把命题“如果，则”为真的情形，理解为“之成立（真）可以推出之成立（真）”，也可视为到的推理过程。命题一般可用字母、等表示。若命题为真便记作；若命题为假，则记作。1与0统称为真值。2.2命题的运算1)命题的或：命题或记为，当且仅当、两者都为假时为假。2)命题的且：命题且记为，当且仅当、两者都为真时为真。3)命题的否定：命题的否定记为，当且仅当为假时为真。4)命题的蕴含：蕴含（若，则）记为，当且仅当为真为假时为假。上述几种运算的真值表总结于下:01 100 00 11 01 1 0111 0001 1101表2.1表2.23.反证法的含义法国数学家阿达玛说过:“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。反证法是从反面的角度思考问题的证明方法。它先假设结论不成立，然后把结论的反面当作已知条件，进而运用数学知识进行正确的逻辑推理，得出与题设或已知的公理、定义、定理相互矛盾的结论，从而说明假设不成立，即原结论成立。这种反驳倒结论反面，尔后肯定结论本身的证明方法叫做反证法。4.反证法的理论依据4.1逻辑基础反证法依据的是逻辑学中的两个基本规律：排中律和矛盾律，任何一个判断或者为真，或者为假，二者必居其一，且只居其一，不可能有第三种情况，这就是排中律。对于一个命题“若，则”，根据排中律，“真”、“不真”（即真）之中必有一个是对的，否定了其中一个，就肯定了另一个。那么如何知道“结论的反面不真”呢？这是由“在同一论证过程中，两个互相反对或互相否定的论断，至少必有一假”，这就是矛盾律。当假定结论不成立，就会导致与已知的真命题（如公理、定理、定义、题设等）矛盾时，根据矛盾律，在数学的理论体系中不可能有矛盾结果，而各步的推理又正确，则假设结论不成立是错误的，即“假”被证明了。关于反证法，法国数学家J?阿达玛曾说过：“这种方法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这段话可以理解为：假设命题的结论不正确，并运用此判断，在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾，根据矛盾律知道该相反判断的错误性，再根据排中律进而知道判断本身的正确性。这就是反证法的逻辑依据。4.2逻辑分析设原命题为，反证法就可表示为（4-1）这里，F表示一个恒假命题（或相对假）。即是说，（4-1）式是一永真式，证明如下：F 1 11 00 10 0 0101 0000 0100 1011 1011 1111表4.1由上面的真值表看出，（4-1）式的确是永真的。所以，如果在证明困难时，可转化为证明，这里可以是某公理，或某定理；还可以是相对于假，即还可以是，或，或。而并不必一定转化去证的逆命题。假设原命题为，那么它的逆否命题是。作下面的真值表：p q 1 11 00 10 0 0 00 11 01 1 1011 1011 1111表4.2从表中即得是永真的。即完全可以利用来代替证明命题。这正是反证法的意义:（4-2）和（4-1）相同的是，这里也是归谬，表现为若否定结论，则导致与同真。和（4-1）不同的是，在（4-1）中，是把和都作为推出一个矛盾的依据，而在（4-2）中，是先证明，此时，并不把作为推理的依据；只是当命题已获证后，便出现了和同真的矛盾，究其原因在于否定结论之故，于是否定结论不能成立，即必成立。至于穷举法，只不过是有几种情形而已。如设，这时证明便转化为证明：若假定或，便会导致矛盾。5.反证法的程序5.1反证法的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立，即否定结论而将结论的反面作为假设。(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾。(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误。既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。5.2反证法的种类(1)归谬法：若结论的反面只有一种情形，则只需把这一种情形驳倒，便可达到证题的目的。例1求证：函数不是周期函数。证明用反证法反设.设正数是的周期.归谬.由定义，等式对于一切非负数都成立.取，有，必有，且.所以，且，可得，这式左边是无理数，右边是有理数，显然不成立。结论.原假设不正确，故不是周期函数。(2)穷举法：若结论的反面出现好几种情况，应逐个与题设合起来作为新条件，证明得到的每一个新命题都假，才能达到题断的正面成立。例2设锐角满足:，求证.证明由已知可得（5-1）假设，则有或.当时，这说明（5-1）左端为正数，右端为负数，它与（5-1）成立矛盾。当时，.这说明（5-1）左端为负数，右端为正数，它与（5-1）成立矛盾。所以.6.反证法的适用范围6.1几种宜用反证法证明的命题（1）结论是否定形式例3直线过抛物线的焦点F并且与这抛物线相交于(,)和(,)点。求证对于抛物线的任何给定一条弦，直线不是的垂直平分线。证明设，D的坐标分别是(,)和(,),则有，若是的垂直平分线,则有由直线和都与抛物线有两个交点，且，故与直线的方程分别为和(是待定常数).的中点(,).故，其次方程组有两组解和故方程有不同的实根和，所以（6-1）由韦达定理,将它们代入式子求得,所以（6-2）（4-4）与（4-5）式产生矛盾,故不是的垂直平分线.评注我们只需要得到和这两个式子产生矛盾即可。（2）直接证明有困难例43中，BV和CW为及角平分线，且则.图6.1证1直接证法：设，的平分线、，为三角形的内心。作及的外接圆。连接AI，过A引交及于P、Q，则为的外角平分线。连接、.（如图6.1）则，.于是.同理于是.则所以，则有=.因则四边形PQBC为圆内接四边形。因，则四边形PQBC为等腰梯形。于是，即，因，则，即，于是，故.图6.2证2反证法：在内引交AB于G，使，在BG上取点H，使，由H引交BV于K，（如图6.2）设则或，若，则.因BV平分，CW平分，于是.因，则.则,于是.因，所以.（在三角形中，小角的平分线较大角的平分线长）这与已知：矛盾。故不真；同理：若，则，也与已知矛盾。故不真，所以为真。评注证法1，首先要证明，接下来要证明与相等，再接着证则PQBC为圆内接四边形且为等腰梯形，最后证明。每证明一步都相当困难。证法2，我们只需要证明小角的平分线较大角的平分线长（或）与已知矛盾即可。两种证明法相比较显然证法2比证法1简单、易懂。（3）有关至多、至少、存在性问题例54如图6.3，设E，F，G分别是为三边上（除端点）外的任意点，求证：中至少有一个的面积不大于的面积的.分析三个三角形有一个或两个或三个都不大于，对“至少”一词都是容许的。另外，三个三角形中是谁不大于也是无关紧要的。因此，结论端可能出现的情况有种。这很难把握。但结论的否定却只有一种可能，即“三个三角形的面积均大于”这非常明晰。这就是在“结论的否定更为明晰”的场合，试用反证法的示例。证明假若不然，则有.由,得,同理得,三式相乘.（6-3）另一方面，不难知道，,从而.（6-4）（4-6）与（4-7）矛盾.故原命题正确。（4）“唯一性”方面例65已知方程组的系数满足下列条件：（1）是正的；（2）所有其他系数都是负的；（3）每一个方程中的系数之和是正的。求证是原方程的惟一解。证如果不是原方程组的惟一解,那么原方程的非平凡解()有如下两种可能的情形:（1）某个是正的。不妨设,则,，.由于,，所以,这与原方程组矛盾。（2）某个是负的.不妨设,则,.由于,所以,这与原方程组矛盾。从而是原方程组的惟一解。说明“惟一”就是独一无二。这在数学上不太好表达,但其反面至少有两个就容易处理些。因此,如果欲证的命题中涉及到“惟一性”。常可考虑用反证法。6.2反证法中的“特殊化”（1）特殊值例76设、是0，1上的函数。证明：存在、，使得.分析要找出具体的、,难以下手，不妨考虑用反证法.证明设这样的、不存在.取特殊值，得同理，.故这是不可能的。因此，所证命题成立。评注本题反复利用0与1这两个特殊值,并进行凑配,从