matlab工程运用

1 Matlab 在自动控制中的运用 1 1 控制系统数学模型及其转换的 matlab 实现 1 1 1 控制系统数学模型及转换的 matlab 实现 Matlab 处理的是数组对象 而控制系统工具箱处理的系统是 LTI 系统 在 matlab 中 可以用 4 种数学模型表示自动控制系统 前 3 种是用数学表达式描述 simulink 结构图是第 4 种数学模型 每种数学模型都有连续时间系统和离散时间系 统两个类别 解决实际问题时 常需要对控制系统的数学模型进行转换 连续时间系统由微分方程描述 输入输出信号分别为 u t y t 1 2 1 1 1 u t 1 1 1 1 1 对应的传递函数 在零初始条件下 y t 的拉氏变换 Y s 与 u t 的拉氏变换 U s 之比 G S Y s U s 1 2 1 1 1 2 1 1 离散时间系统 用定常系数线性差分方程描述 丹输入单输出 SISO 的 LTI 系统的 差分方程 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 对应的脉冲传递函数为 H Z 1 2 1 1 1 2 1 1 无论是连续时间系统还是离散时间系统 传递函数的分子分母多项式均按 s 或 z 的 降幂排列 可以用以下两个向量表示系统 1 2 1 1 2 1 tf 用一个变量表示传递函数模型 1 2 1 1 2 1 sys tf num den sys tf num den T 说明 第 1 种格式 sys 为连续系统的传递函数模型 第 2 种格式 sys 为离散系统的传 递函数模型 T 为采样周期 T 1 或 T 时 系统的采样周期未定义 对于已知 的传递函数模型 其分子分母向量可以用指令 sys num 1 和 sys den 1 求出 连续系统的传递函数的零极点增益模型 G s k 为系统增益 1 2 1 2 连续系统的传递函数的零极点增益模型 H z 1 2 1 2 连续和离散系统都可以用向量 z p k 构成的向量组表示 1 2 1 2 然后用 zpk 建立控制系统的零极点增益模型 Sys zpk z p k Sys zpk z p k T 说明 第 1 种格式 sys 为连续系统的零极点增益模型 第 2 种格式 sys 为离散系统的 零极点增益模型 T 为采样周期 T 1 或 T 时 系统的采样周期未定义 对于 已知的零极点增益模型 其分子分母向量可以用指令 sys z 1 sys p 1 sys k 求出 离散系统的脉冲传递函数模型还有一种表示为的形式 即 DSP 形式 1 转换成 DSP 形式脉冲传递函数的函数为 filt 格式 Sys filt num den Sys filt num den T 连续 LTI 系统的状态空间模型为 u t 是系统控制输入向量 x t 是系统状态空间 是系统输出向量 为 系统矩阵 或称状态矩阵 为控制矩阵 或称输入矩阵 C 为输出矩 阵 或称观测矩阵 D 为输入输出矩阵 或称直接传输矩阵 离散系统的状态空间模型为 1 和分别是离散系统的控制输入向量 系统状态向量和心态输 出向量 A B C D 的含义同上 k 为采样点 即矩阵 A B C D 来表示系统 连续和离散系统都可以直接用二维数组 的状态空间模型 用函数 ss 建立控制系统的状态空间模型 Sys ss A B C D sys 为连续系统的状态空间模型 Sys ss A B C D T sys 为离散系统的状态空间模型 T 为采样周期 对于已知的状态空间模型 A B C D 可用 sys a sys b sys c sys d 求出 1 1 2 LTI 对象模型之间的相互转换 直接用 tf zpk ss 完成连续时间系统 或离散时间系统 的传递函数模型 零极点增益模型和状态空间模型之间的相互转换 此类转换从理论上讲是不 存在转换误差的 1 1 3 连续模型与离散模型之间的互相转换 离散时间系统模型连续时间系统模型 Sysd c2d sysc T method 说明 sysd 为转换后离散时间对象 sysc 为连续时间模型对象 T 为采样 周期 单位是 s method 用来指定离散化采用的方法 缺省时 method zoh Zoh 采用零阶保持器 Foh 采用一阶保持器 Imp 采用脉冲响应不变法 Tustin 采用双线性变换法 tustin 法 Prewarp 采用改进的 tustin 法 Matched 采用 SISO 系统的零极点根匹配法 连续时间系统模型离散时间系统模型 Sysc d2c sysd method 在该函数中无需再申明采样周期信息 因为该信息已包含在离散模型 sysd 中 Zoh 采用零阶保持器 Tustin 采用双线性变换法 tustin 法 Prewarp 采用改进的 tustin 法 Matched 采用 SISO 系统的零极点根匹配法 1 1 4 环节方框图模型的化简 G s R s C s H s Feedback 可以将两个环节反馈连接后求其等效传递函数 Sys feedback G s H s sign 单位反馈时 H s 1 且不能省略 sign 是反馈 极性 缺省时 默认为负反馈 即 sign 1 1 1 5 利用 simulink 模型求取系统的数学模型 Linmod2 mdl 从 simulink 模型得到系统的状态空间模型 1 2 控制系统时域响应的 matlab 实现 1 2 1 线性系统的阶跃响应和脉冲响应 求其系统的单位阶跃响应函数 step 和 dstep 单位脉冲响应函数 impulse 和 dimpulse 格式 Step sys Step sys t y t Step sys y t x Step sys 说明 1 Sys 可以是有话说 tf zpk ss 中如何一个建立的系统模型 2 第一种格式为无输出量的格式 函数在当前图形窗中直接绘制系 统的单位阶跃响应曲线 3 第二种格式计算单位阶跃响应并绘制对应曲线 t 可以指定为一个 仿真终止时间 此时 t 为一标量 也可以设置为一个时间向量 如 t 0 dt tfinal 若是离散系统 采样间隔 dt 必须与采样 周期匹配 函数中的 t 也可以没有 4 第三种格式为带有输出量引用的函数 计算单位阶跃响应的输出 数据 不绘制曲线 y 为输出响应向量 t 为去积分值的时间向量 5 第四种格式 x 为系统的状态轨迹数据 y t x 三个元素的顺序不 能错 这种格式常用于 ss 建立的系统模型 6 若想同时绘制出多个系统的阶跃响应曲线 可以仿照 plot 指令给 出系统阶跃响应指令 如 step sys1 sys2 sys3 r 7 上述 4 种格式离散系统阶跃响应函数 dstep 同样适用 单位脉冲 响应 impulse 和 dimpulse 同样适用 1 2 2 线性系统的零输入响应 Initial sys x0 Initial sys x0 t y t Initial sys x0 y t Initial sys x0 X0 为初始状态 sys 必须是状态空间模型 其余与 step 函数完全一 致 离散时间系统零输入响应函数 dinitial 调用格式基本相同 1 2 3 任意输入下系统的响应 若输入信号由其他数学模型描述或其数学模型未知 需要借助 lsim 和 dlsim 来绘制系统的时域响应曲线 Lsim 与 step 的调用格式类似 但需要提供有关输入信号的函数值 Lsim sys u t Lsim sys u t y Lsim sys u t y t x Lsim sys u t x0 U 和 t 用于描述输入信号 u 中的点对应各个时间点处的输入信号值 离散时间系统任意输入响应函数 dlsim 的调用格式基本相同 1 3 控制系统稳定性分析的 matlab 实现 系统稳定性分析常通过代数稳定性判据 根轨迹图和频率特性图来进行 的 对于后两种方法 matlab 提供便捷的作图和分析结果 对于第一种 方法 通过求系统特征值的数值解而完全取代了传统的代数稳定性判据 1 3 1 线性系统特征根的求取 Eig sys Pzmap sys Pole sys Zero sys Sys 可以是由 tf zpk ss 中的任一个建立的系统模型 无论系统是 连续的还是离散的 第一种格式返回全部特征根 第二种用图形的方式绘制出系统所有零 极点在 s 平面上的位置 第三种求出所有极点 第四种求出所有零点 1 3 2 根轨迹分析的 matlab 实现 根轨迹绘制的思路 假设单变量系统的开环传递函数为 G s 且设控制器为增 益 K 整个控制系统是由单位负反馈构成的闭环系统 s KG s 1 KG s 闭环系统的特征根由 1 KG s 0 求出 从而华为多项式方程球根问题 对于 指定的 K 可求出闭环系统的一组特征根 对 K 的不同取值 可绘制出每个特 征根变化的曲线 即系统的根轨迹 用函数 rlocus Rlocus sys 无输出量 自动绘制根轨迹曲线 Rlocus sys k 根据给定的增益向量绘制根轨迹曲线 r k Rlocus sys 输出增益和对应的闭环特征根 可以同时绘制出若干个系统的根轨迹 如 rlocus sys1 sys2 sys3 r 这 3 种格式对连续离散系统均适用 前面介绍的根轨迹绘制都是负反馈系统的根轨迹 使用 rlocus sys 可直接绘制 出正反馈系统的根轨迹曲线 即所谓 广义根轨迹 1 3 3 频域分析的 matlab 实现 频域分析主要用两种曲线 Nyquist 图和 Bode 图 Nyquist 图主要用于频域稳 定性分析 Bode 用于分析系统的幅值稳定裕度 相位稳定裕度 截止频率 180 穿越频率 带宽 扰动抑制及其稳定性 Nyquist sys Nyquist sys w re im w Nyquist sys Sys 可以是由 tf zpk ss 中的任一个建立的系统模型 无论系统是连续的还是 离散的 第一种无输出量 自动绘制 Nyquist 曲线 默认的频率 的范围为 0 并 且利用对称性画出了 从0 曲线的镜像 第二种根据给定的频率点绘制 Nyquist 曲线 若定义频率范围 w 必须是 wmin wmax 格式 若定义的是频率点 则必须是由频率点频率构成的向量 第三种计算系统在频率 w 处的频率响应输出数据 不绘制曲线 Re 为频率响 应的实部 im 为频率响应的虚部 w 是频率点 可以同时绘制出若干个系统的 Nyquist 曲线 例 Nyquist sys1 sys2 sys3 r Bode 图 Bode sys Bode sys w mag phase w bode sys Mag 为频率响应的幅值 A phase 为频率响应的相位 w 是频率点 Margin 直接用于系统的幅值和相位稳定裕度的求取 Margin sys gm pm wg wc margin sys 第一种无输出量 自动绘制系统的 bode 图 并在图上标出系统的对数幅值稳 定裕度裕度值 相等稳定裕度值 180 穿越频率和截止频率 若某个稳 定裕度为无穷大 显示 inf 第二种不绘制 bode 图 输出量为系统的幅值稳定裕度值 相位稳定裕度值 180 穿越频率和截止频率 幅值稳定裕度值与对数幅值稳定裕度的关系为 20lg 1 4 拉普拉斯变换 Z 变换及其逆变换 拉普拉斯变换及逆变换