初中数学全等三角形的知识点梳理

全等三角形全等三角形 一 结构梳理一 结构梳理 二 知识梳理二 知识梳理 一 概念梳理 一 概念梳理 1 全等图形 全等图形 定义 两个能够完全重合的图形称为全等图形 全等图形的形状和大小都相同 例如 图 1 中的两个图形形状相同 但大小不同 不能重合在一起 因此不是全等图形 图 2 中 的两个图形面积相同 但形状不同 也不是全等图形 2 全等三角形 全等三角形 这是学好全等三角形的基础 根据全等形定义 能够完全重合的两个三角形叫全等三角 形 完全重合有两层含义 1 图形的形状相同 2 图形的大小相等 符号 也 形象 直观地反映了这一点 表示图形形状相同 表示图形大小相等 二 性质与判定梳理 二 性质与判定梳理 1 全等图形性质 全等图形性质 全等多边形的对应边 对应角分别相等 全等三角形的对应边 对应角分别相等 2 全等三角形的判定 全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键 只给定一个条件或两个条件画三角形时 都不能保证所画出 的三角形全等 只要有三个条件对应相等就可以 于是判定两个三角形全等的方法有 1 三边对应相等的两个三角形全等 简记为 三边对应相等的两个三角形全等 简记为 SSS 2 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 简记为 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 简记为 ASA 3 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简记为 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简记为 AAS 4 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简记为 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简记为 SAS 若是直角三角形 则还有斜边 直角边公理 HL 由此可以看出 判断三角形全等 无 论用哪一条件 都要有三个元素对应相等 且其中至少要有一对应边相等 5 注意判定三角形全等的基本思路 注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知 要判定两个三角形全等 需要知道这两个三角形分别 图 1 图 2 丰富的生活情境 全等图形 概念 特征 特例 应用 全等三角形 全等三角形特征 全等三角形条件 画三角形 有三个元素 其中至少一个元素是边 对应相等 这样就可以利用题目中的已知边 角 去迅速准确地确定要补充的边 角 不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件 从 而得到判定两个三角形全等的思路有 SSS SAS 找另一边 找夹角 SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边 找这条边上的对角 找这条边上的另一角 边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 AAS ASA 找任一边 找两角的夹边 6 学会辨认全等三角形的对应元素 学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是 先找出全等三角形的对应顶点 再确 定对应角和对应边 如已知 ABC EFD 这种记法意味着 A 与 E B 与 F C 与 D 对应 则三角形的边 AB 与 EF BC 与 FD AC 与 ED 对应 对应边所夹的角就是对应角 此外 还有如下规律 1 全等三角形的公共边是对应边 公共角是对应角 对顶角是对应角 2 全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边 两条对应边所夹的角是对应角 三 基本图形梳理 三 基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形 全等图形都是由图形的平移 旋转 轴对称等图形 变换而得到的 所以全等三角形的基本图形大致有以下几种 1 平移型 平移型 如图 3 下面几种图形属于平移型 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的 故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到 2 对称型 对称型 如图 4 下面几种图形属于对称型 它们的特征是可沿某一直线对折 直线两旁的部分能完全重合 轴对称图形 重合的 顶点就是全等三角形的对应顶点 3 旋转型 旋转型 如图 5 下面几种图形属于旋转型 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的 故一般有一对相等的角隐含在 对顶角 某些角的和 或差中 三 易混三 易混 易错点剖析 易错点剖析 1 探索两个三角形全等时 要注意两个特例探索两个三角形全等时 要注意两个特例 1 三边对应相等的两个三角形全等 但三角对应相等的 两个三角形不一定全等 如图 6 1 中的两个三角形的每个 角都是 60 但这两个三角形显然不全等 0 已知两边 已知一边一角 已知两角 图 3 图 4 图 5 图 6 2 图 6 1 2 两边和其中一边的对角对应相等的两个 三角形不一定全等 如图 6 2 中的 ABC 和 ABD 中 虽然有 AB AB AC AD B B 但它们显然不全等 2 在判定三角形全等时 还要注意的问题 在判定三角形全等时 还要注意的问题 在判定三角形全等时 应做到以下几点 根据已知条件与结论认真分析图形 准确无误的确定每个三角形的六个元素 根据已知条件 确定对应元素 即找出相等的角或边 对照判定方法 看看还需什么条件两个三角形就全等 想办法找出所需的条件来 四四 例题 例题 例 1 如图 7 1 E F 分别是四边形 ABCD 的边 BA DC 延长线上的点 AB CD AD BC 且 AE CF EF 交 AD 于 G 交 BC 于 H 1 图中的全等三角形有 对 它们分别是 不添加 任何辅助线 2 请在 1 问中选出一对你认为全等的三角形进行证明 我选择的是 解 1 2 AEG CFH 和 BEH DFG 2 如求证明 AEG CFH 证明 在平行四边形 ABCD 中 有 BAG HCD 所以 EAG 1800 BAG 1800 HCD FCH 又因 BA DC 所以 E F 又因 AE CF 所以 AEG CFH 点评 本题简单地考察学生对图形的识别能力以及证明能力 主要是根据全等三角形的判定条件去寻找 然后再作出证明 例 2 如图 8 在 ABD 和 ACE 中 有下列四个等式 AB AC AD AE 1 2BD CE 1 2 3 4 请你以其中三个等式作为题设 余下的作为结论 写出一个真命题 要求写出已知 求证及证明过程 提示 答案不唯一 点评 本题是条件组装题 答案不唯一 它重点考查学生的 创新意识和能力 四个命题进行组合 有六种情况 这六种情况中 有的是假命题 请同学们注意分辨 例 3 如图 9 点 E 在 AB 上 AC AD 请你添加一个条件 使图中存在全等三角形 并给予证明 所添条件为 你得到的一对全等三角形是 提示 可选择等条件中的一个 BDBCDABCABDECE 可得到 证明过程略 ADBACBADEACE 或 例 4 如图 10 AB CD ED AD EB BE DE 垂足为 E 1 求证 ABD EDB 2 只需添加一个条件 即 可使四边形 ABCD 为矩形 请加以证明 H G F E D C B A 图 6 图 7 2 E C