巧用数学归纳法解答数列问题.doc

巧用数学归纳法解答数列问题在解答与正整数有关的命题时，数学归纳法是一种常用的方法.下面举例说明如何用数学归纳法探索数列的通项公式、探索与数列有关的参数的取值范围、证明与数列有关的不等式.一、巧用数学归纳法探索数列的通项公式例1（07.江西）设正整数数列满足：，且对于任何，有()求，；()求数列的通项解：()由已知不等式得： 当时，由得：，即，解得为正整数，当时，由得：，解得为正整数， ，()方法一：由，猜想：下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时，由得时，又，故，即当时，成立综上，由1，2知，对任意，评析：本题是探索型题，“先猜想、后证明”，对思维能力有较高要求；运用数学归纳法的关键是“由当时成立，如何过渡与转换为当时也成立.”二、巧用数学归纳法探索数列中参数的取值范围例2(04.湖北)已知，满足 ，.() 已知的极限存在且大于0，求；()设，.证明： ；()若对都成立，求的范围.解：()存在，即,(*)，.()结合条件及(*)式得：，.()若对都成立，则当时有，即，解得：.下面用数学归纳法证明当时，对都成立.当时，由前解答知结论成立.假设当时，结论成立，即成立.则当时，.，即当时，结论也成立.由、可知，对任意，结论都成立.对都成立的的取值范围是.评析：本题题涉及的知识点有数列、数列极限、方程、不等式、数学归纳法等，考查学生综合应用数学知识的能力，考查学生的运算、推理和逻辑思维能力；本题第()问是证明与自然数有关的命题，可优先考虑用数学归纳法，在确定的取值范围时，利用了从特殊到一般的思想方法.例3(05.湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及其捕捞强度对鱼群总量的影响.用表示某鱼群在第年初的总量，且，不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正数，.（）求与的关系式；（）猜测，当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明) （）设，为保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论.解：（）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量、被捕捞量、死亡量分别为、，即().(*)（）若每年年初鱼群的总量保持不变，则()恒成立，从而由(*)得：，即，.于是于是猜测：当且仅当，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.（）当时，.(*)若的值使得对任意，都有，则由(*)得：，.特别地，有，又，.猜测的最大允许值是1.下面用数学归纳法证明当，时，都有.当时，结论显然成立.假设当()时，结论成立，即,则当时，又，当时，结论也成立.综合、可得，当，时，都有.为保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是1.评析：由鱼群的总量不变推断出恒成立，即得到，利用归纳、猜想、证明得到的最大允许值是1；本题涉及的知识点有数列、方程、不等式、数学归纳法等，考查考生分析、归纳、推理、论证能力及应用所学知识解决实际问题的能力.三、巧用数学归纳法证明数列不等式例4(06.湖南)已知函数,数列满足：，.证明: (I)；(II).证明：(I)先用数学归纳法证明:,.当时，当时，；假设当()时，结论成立，即.当时，在内单调递增.在上连续，即.当时，结论成立.由、可得，对一切正整数都成立.又，.(II)设函数().由(I)知，当时，即.，在内单调递增.在上连续，且，当时，即，即.评析：本题以函数为载体，考查导数及应用、数学归纳法、构造法、不等式证明、递推数列等基础知识和基本技能，考查分析、判断、推理和运算能力以及等价转化的数学思想.例5(07.)已知数列中，（）求的通项公式；（）若数列中，证明：，解：（）由题设：，数列是首项为，公比为的等比数列，的通项公式为，()用数学归纳法证明()当时，因，所以，结论成立()假设当时，结论成立，即，