谈谈点关于直线对称问题求法

1 谈谈点关于直线对称问题求法 在高中数学中对称问题随处可见 有点与点对称 点与直线的对称 直线与直线的对称 图形与图形的对称 其中点关于直线的对称最为常见 适时推导掌握一些公式 可以加快运 算速度 降低失误率 在直角坐标系中 当直线斜率不存在时 如图 1 点 P x0 y0 关于直线 x a 的对称点 P1坐标为 x1 y1 则由中点坐标公式可得 a x0 x1 2 y0 y1即 x1 2a x0 y1 y0所以得 P1坐标为 2a x0 y0 当直线斜率为 0 时 如图 2 点 P x0 y0 关于直线 y b 的对称点 P1 坐标为 x2 y2 则由中点坐标公式可得 b y0 y2 2 x0 x2即 y2 2b y0 x2 x0所以得 P1 坐标为 x0 2b y0 图 1 图 2 图 3 下面介绍一般情况下 求点 P x0 y0 关于直线 l y kx b k 0 的对称点 P1的坐标 如图 3 设 P1点坐标为 x y 则由直线 PP1与 l 垂直及线段 PP1的中点在 l 上 可得 2 22 1 1 00 0 0 b xx k yy k xx yy 解这个关于 x y 的二元一次方程组 得 4 1 2 1 2 3 1 2 1 2 2 0 2 0 2 0 2 0 k bykkx y k bkxkky x 可以验证 该公式在 k 0 时仍然成立 一般情况下运用该公式较繁 也没有必要记住 这个公式 但当直线的斜率为 1 或者 1 时 该公式变的简单明了 而且应用起来非常方便 当 k l 时 将 k 值代入 3 4 得 x y0 b y x0 b 当 k l 时 将 k 值代入 3 4 得 x y0 b y x0 b 可见 在直线的斜率为 1 或者 1 时 只需将原来点的纵坐标代入直线方程中求得的 x 的值的为对称点的横坐标 将原来点的横坐标代入直线方程中求得的 y 值即为对称点的纵 坐标 例 1 求点 3 5 关于直线 y x 3 的对称点坐标 解 在直线方程 y x 3 将 x 代为 3 得 y 6 即为对称点纵坐标 将 y 5 代入直线 方程求 得 x 2 即为对称点横坐标 2 所以 点 3 5 关于直线 y x 3 的对称点坐标为 2 6 例 2 求点 a b 关于直线 y x 1 的对称点 解 在直线方程 y x 1 中 x 代为 a 得 y a 1 即为对称点的纵坐标 将 y 代为 b 得 x b 1 即为对称点的横坐标 即 点 a b 关于直线 y x 1 的对称点坐标为 b 1 a 1 在直线斜率为 1 或者 1 时 应用上述公式可以快速准确的计算出已知点关于直线对 称点的坐标 在平时学习中应不断总结 并指导学生撰写此类小论文 可达到举一反三 事半功倍之效 直线中对称问题直线中对称问题 直线中的对称问题主要有 点关于点对称 点关于直线对称 直线关于点对称 直线 关于直线对称 下面谈谈各类对称问题的具体求解方法 1 点关于点的对称 点关于点的对称 例 1 已知点 A 2 3 求关于点 P 1 1 的对称点 B 00 y x 分析 利用点关于点对称的几何特性 直接应用中点坐标公式求解 解 设点 A 2 3 关于点 P 1 1 的对称点为 B 则由中点坐标公式 00 y x 得解得所以点 A 关于点 P 1 1 的对称点为 B 4 1 1 2 y3 1 2 x2 0 0 1y 4x 0 0 评注 利用中点坐标公式求解完之后 要返回去验证 以确保答案的准确性 2 直线关于点的对称 直线关于点的对称 例 2 求直线关于点 P 2 1 对称的直线 l 的方程 04yx3 分析 由已知条件可得出所求直线与已知直线平行 所以可设所求直线方程为 0byx3 解 由直线 l 与平行 故设直线 l 方程为 04yx3 0byx3 由已知可得 点 P 到两条直线距离相等 得 13 b16 13 416 22 解得 或 舍 则直线 l 的方程为10b 4b 0 10yx3 评注 充分利用直线关于点对称的特性 对称直线与已知直线平行且点 P 到两条直线 的距离相等 几何图形特性的灵活运用 可为解题寻找一些简捷途径 此题还可在直线 上取两个特殊点 并分别求其关于点 P 2 1 的对称点 这两个对称点04yx3 的连线即为所求直线 3 点关于直线的对称 点关于直线的对称 例 3 求点 A 2 2 关于直线的对称点坐标 09y4x2 利用点关于直线对称的性质求解 解法 1 利用中点转移法 设点 A 2 2 关于直线的对称点为09y4x2 A 则直线 AA 与已知直线垂直 故可设直线 AA 方程为 00 y x0cy2x4 把 A 2 2 坐标代入 可求得 12c 直线 AA 方程为 06yx2 由方程组解得 AA 中点 M 06yx2 09y4x2 3 2 3 3 由中点坐标公式得 解得3 2 2y 2 3 2 2x 00 4 y 1x 00 所求的对称点坐标为 1 4 评注 解题时 有时可先通过求中间量 再利用中间量求解结果 分析 设 B a b 是 A 2 2 关于直线的对称点 则直线 AB 与 l09y4x2 垂直 线段 AB 中点在直线上 09y4x2 解法 2 相关点法 设 B a b 是 A 2 2 关于直线的对称点 09y4x2 根据直线 AB 与 l 垂直 线段 AB 中点在直线上 09y4x2 则有解得 所求对称点的坐标为 1 4 09 2 2b 4 2 2a 2 1 2a 2b 2 1 4 b 1a 评注 中点在上 所求点与已知点的连线与垂直 09y4x2 09y4x2 4 直线关于直线的对称 直线关于直线的对称 例 4 求直线关于直线对称的直线 l 的方程 02yx l1 03yx3 l2 分析 设所求直线 l 上任一点为 P 利用 相关点法 求其对称点坐标 并y x 将其对称点坐标代入直线方程进行求解 1 l 解 设所求直线 l 上任意一点 P 关于的对称点为 Q y x 2 lP 2 l 11 y x 则解得 1 xx yy 03 2 yy 2 xx 3 1 1 11 5 3y4x3 y 5 9y3x4 x 1 1 又因为点 Q 在上运动 则0 1 l 2yx 11 解得 即直线 l 的方程为02 5 3y4x3 5 9y3x4 022yx7 022yx7 评注 直线关于直线对称实质是点关于线的对称 此题还可在直线上任取一点 非 1 l 两直线交点 并求其关于直线的对称点 则该对称点与两直线交点的连线便是所求对称 2 l 直线 例 1 求点 A 关于直线 的对称点 4 1 l0 2 7 32 yx 解 解 设点 A 关于 的对称点 B 4 1 lyx B 1 3 2 1 4 0 2 7 2 4 3 2 1 2 x y yx 1 3 例 2 求关于 的对称直线 1 l0223 yxl02 yx 1 ll 2 l 解 解 A 0 1 在直线上 关于 对称点 B 4 2 02 0223 y x yx yx 1 llyx B 由两点式 5 3 5 4 2 l010617 yx 例例 4 4 求直线 l1 y 2x 3 关于直线 l y x 1 对称的直线 l2的方程 4 解解 方法一方法一 由 知直线 l1与 l 的交点坐标为 2 1 1 32 xy xy 设直线 l2的方程为 y 1 k x 2 即 kx y 2k 1 0 在直线 l 上任取一点 1 2 由题设知点 1 2 到直线 l1 l2的距离相等 由点到直线的距离公式得 解得 k k 2 舍去 22 1 122 k kk 22 1 2 322 2 1 直线 l2的方程为 x 2y 0 方法二方法二 设所求直线上一点 P x y 则在直线 l1上必存在一点 P1 x0 y0