初中圆知识点总结与练习

精品文档 1欢迎下载 圆圆 1 圆的定义 1 在一个平面内 线段OA绕它的一个端点O旋转一周 另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆 固定的端点O 叫做圆心 线段OA叫做半径 如右图所示 2 圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合 定点为圆心 定长为圆的半径 说明 圆的位置由圆心确定 圆的大小由半径确定 半 径相等的两个圆为等圆 2 圆的有关概念 1 弦 连结圆上任意两点的线段 如右图中 的CD 2 直径 经过圆心的弦 如右图中的AB 直径等于半径的 2 倍 3 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 如 右图中的 A CD A CAD 其中大于半圆的弧叫做优弧 如 小 A CAD 于半圆的弧叫做劣弧 4 圆心角 如右图中 COD就是圆心角 3 与圆相关的角 1 与圆相关的角的定义 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 圆周角 顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角 弦切角 顶点在圆上 一边和圆相交 另一连轴和圆相切的角叫做弦切角 A O B C D 精品文档 2欢迎下载 2 与圆相关的角的性质 圆心角的度数等于它所对的弦的度数 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆 或直径 所对的圆周角相等 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角 4 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系 1 定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦的弦心距相等 2 推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两条弦的弦心距中有一 组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 例 1 下面四个命题中正确的一个是 A 过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B 过弦的中点的直线必过圆心 C 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心 D 弦的垂线平分弦所对的弧 答案 C 1 点与圆的位置关系 如果圆的半径为r 某一点到圆心的距离为d 那么 精品文档 3欢迎下载 1 点在圆外dr 2 点在圆上dr 3 点在圆内dr 2 直线和圆相切 直线与圆有唯一交点 dr 3 直线和圆相交 直线与圆有两个交点 dr 2 两圆外切 dRr 3 两圆相交 RrdRr Rr 5 两圆内含 注意 如果为 则两圆为同心圆 dRr Rr 0d 4 切线的性质与判定定理 1 切线的判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件 过半径外端且垂直半径 二者缺一不可 即 且过半径外端MNOA MNOA 是 的切线MNO 2 性质定理 切线垂直于过切点的半径 如上图 推论 1 过圆心垂直于切线的直线必过切点 NM A O 精品文档 4欢迎下载 推论 2 过切点垂直于切线的直线必过圆心 5 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 这 点和圆心的连线平分两条切线的夹角 即 是的两条切线 PAPB PAPB 平分POBPA 例 2 已知 O的半径为 1 点P到圆心O的距离为d 若关于x的方程x2 2x d 0 有 实根 则点P A 在 O的内部B 在 O的外部 C 在 O上D 在 O上或 O的内部 答案 D 例 3 已知 如图 PA PB分别与 O相切于A B两点 求证 OP垂直平分线段AB 答案 略 例 4 已知 如图 PA切 O于A点 PO AC BC是 O的直径 请问 直线PB是否与 O相切 说明你的理由 P B A O 精品文档 5欢迎下载 答案 直线PB与 O相切 提示 连结OA 证 PAO PBO 例 5 已知 如图 O1与 O2外切于A点 直线l与 O1 O2分别切于B C点 若 O1的半径r1 2cm O2的半径r2 3cm 求BC的长 答案 cm62 提示 分别连结O1B O1O2 O2C 例 6 如图 点A B在直线MN上 AB 11cm A B的半径均为 1cm A以每秒 2c m 的速度自左向右运动 与此同时 B的半径也不断增大 其半径r cm 与时间t s 之间的关系式为r 1 t t 0 精品文档 6欢迎下载 1 试写出点A B之间的距离d cm 与时间t s 之间的函数表达式 2 问点A出发多少秒时两圆相切 答案 1 当 0 t 5 5 时 d 11 2t 当t 5 5 时 d 2t 11 2 第一次外切 t 3 第一次内切 3 11 t 第二次内切 t 11 第二次外切 t 13 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 即 在 中 OABCD O E DC B A O C D A B 精品文档 7欢迎下载 弧弧AC BD 例 7 在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后 截面如图所示 如果油的最大深度 为 16cm 那么油面宽度AB是 cm 答案 4 159 例 8 如图 F 是以 O 为圆心 BC 为直径的半圆上任意一点 A 是的中点 AD BC 于 D 求证 AD BF 2 1 答案 提示 连接 OF 证明 是全等三角形 ADOFOEBOEAAA 精品文档 8欢迎下载 1 圆周角定理 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即 和是弧所对的圆心角和圆周角AOB ACB AB 2AOBACB 2 圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧是等弧 即 在 中 都是所对的圆周角OC D CD 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角 圆周角是直角所对的弧是半圆 所对的弦是直径 即 在 中 是直径 OAB 或 90C 90C 是直径AB 推论 3 若三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 即 在 中 ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C D C B A O C BA O C BA O C B A O 精品文档 9欢迎下载 例 9 已知 如图 AB是 O的直径 弦CD AB于E ACD 30 AE 2cm 求DB 答案 cm 34 例 10 已知 如图 O的直径AE 10cm B EAC 求AC的长 答案 提示 连结CE 不难得出cm 25 AC 精品文档 10欢迎下载 1 圆周长 2cRp 2 弧长 180 n R l p 3 圆面积 2 SRp 4 扇形面积 2 1 2360 n R SlR p 扇形 例 11 如图 扇形纸扇完全打开后 外侧两竹条AB AC夹角为 120 AB的长为 30cm 贴纸部分BD的长为 20cm 则贴纸部分的面积为 A 2 cm100B 2 cm 3 400 C 2 cm800D 2 cm 3 800 答案 D 例 12 已知 如图 以线段AB为直径作半圆O1 以线段AO1为直径作半圆O2 半径O1C 交半圆O2于D点 试比较与的长 精品文档 11欢迎下载 答案 的长等于的长 提示 连结O2D 1 相交弦定理 圆内两弦相交 交点分得的两条线段的乘积相等 即 在 中 弦 相交于点 OABCDP PA PBPC PD 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比 例中项 即 在 中 直径 OABCD 2 CEAE BE 2 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项 即 在 中 是切线 是割线OPAPB 2 PAPC PB P O D C B A OE D C B A D E C B P A O 精品文档 12欢迎下载 3 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积相等 如上图 即 在 中 是割线OPBPE PC PBPD PE 例 13 如图 P 是 O 外一点 PC 切 O 于点 C PAB 是 O 的割线 交 O 于 A B 两点 如果 PA PB 1 4 PC 12cm O 的半径为 10cm 则圆心 O 到 AB 的距离是 答案 9 1 正三角形 在 中 是正三角形 有关计算在中进行 OABCRt BOD 1 3 2OD BD OB D C B A O 精品文档 13欢迎下载 2 正四边形 同理 四边形的有关计算在中进行 Rt OAE 1 1 2OE AE OA 3 正六边形 同理 六边形的有关计算在中进行 Rt OAB 1 3 2AB OB OA 例 13 已知正多边形的边长为 a 与外接圆半径 R 之间满足 则这个多边形12 a R 是 A 正三边形B 正四边形C 正五边形D 正六边形 答案 C E CB AD O B A O 精品文档 14欢迎下载 提示 正多边形的边数越多 则边长越小 而有RaR 2 因为 所以aR 6 aR 4 2 aaa 64 则 是正五边形 应选 C aaa 654 例 1 若P为半径长是 6cm 的 O内一点 OP 2cm 则过P点的最短的弦长为 A 12cmB cm22C cm24D cm28 答案 D 例 2 若 O的半径长是 4cm 圆外一点A与 O上各点的最远距离是 12cm 则自A点所 引 O的切线长为 A 16cmB cm34C cm24D cm64 答案 B 例 3 O中 AOB 100 若C是上一点 则 ACB等于 A 80 B 100 C 120 D 130 答案 A 例 4 三角形的外心是 A 三条中线的交点B 三个内角的角平分线的交点 C 三条边的垂直平分线的交点D 三条高的交点 答案 C 精品文档 15欢迎下载 例 5 如图 A是半径为 2 的 O外的一点 OA 4 AB是 O的切线 点B是切点 弦 BC OA 则的长为 7 题图 A 3 2 B 3 8 C D 3 3 2 答案 A 例 6 如图 图中的五个半圆 邻近的两半圆相切 两只小虫同时出发 以相同的速度 从A点到B点 甲虫沿 路线爬行 乙虫沿路线爬 行 则下列结论正确的是 8 题图 A 甲先到B点B 乙先到B点 C 甲 乙同时到B点D 无法确定 答案 C 例 7 如图 同心圆半径分别为 2 和 1 AOB 120 则阴影部分的面积为 精品文档 16欢迎下载 9 题图 A B 3 4 C 2 D 4 答案 C 例 8 如图 在 O中 AB为 O的直径 弦CD AB AOC 60 则 B 答案 30 例 9 如图 将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后 圆弧恰好经过圆心O 则折痕AB的长为 答案 cm 32 例 10 已知 如图 在两个同心圆中 大圆的弦AB切小圆于C点 AB 12cm 精品文档 17欢迎下载 求两个圆之间的圆环面积 答案 36 cm2 提示 连接 OC OA 例 11 如图 在桌面上有半径为 2 cm 的三个圆形纸片两两外切 现用一个大圆片把这 三个圆完全覆盖 求这个大圆片的半径最小应为多少 答案 设三个圆的圆心为 O1 O2 O3 连结 O1O2 O2O3 O3O1 可得边长为 4 cm 的正 O1O2O3 则正 O1O2O3外接圆的半 径为 cm 所以大圆 3 34 的半径为 2 3 34 3 634 精品文档 18欢迎下载 例 12 如图 在 ABC 中 C 90 以 BC 上一点 O 为圆 心 以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M 交 BC 于点 N 1 求证 BA BM BC BN 2 如果 CM 是 O 的切线 N 为 OC 的中点