三角数列立体几何易错题.doc

23三角数列立体几何易错题三角数列立体几何易错题一三角1.给出问题：下列命题中，正确的是（ ）A终边相同的角一定相等；B锐角都是第一象限角；C第一象限的角都是锐角；D小于的角都是锐角某学生甲选A，学生乙 选C，学生丙 选D，他们有人选对吗？思路剖析 学生甲选法错误.对终边相同角的概念理解不深，错误地认为终边相同与角相等等同，正确地理解应该是终边相同的两个角彼此相差的整数倍，它们可能相等也可能不等.学生乙选法也是错误.对第一象限角的概念理解有误，错误地认为第一象限的集合是锐角构成的集合的子集，而事实上，锐角所成的集合是第一象限角所成集合的真子集.学生丙的选法也是错误的.对锐角的范围和小于的角的范围搞不清，正确理解应是小于角的集合包含锐角集合，同时对象限角的概念不清亦是导致错选的原因.问题解答通过以上分析知选B.问题反思正确理解第一象限的角，锐角，小于的角，相等的角，终边相同的角这些不同的概念是解好题的关键2.（2001春季北京、安徽）若A、B是锐角ABC的两个内角，则点P（cosBsinA，sinBcosA）在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限思路剖析要确定的符号，从是锐角三角形条件入手抓住解答问题解答 A、B是锐角三角形的两个内角，AB90.B90A.cosBsinA，sinBcosA，故选B.问题反思要学会用运动、变化的观点分析问题，例如本题由于都是锐角，则那么在内的值的变化，前者当从变到时，其值则从0变到1所以当时，即；而当从变到时，余弦值则从1变到0，所以当时，即，这实际上是正、余弦函数在区间上单调性的体现3.求使恒成立的值某同学解法是：原等式变形为=因此使等式恒成立的只须两根式分母不为零即可即 故该同学解法是否正确？思路剖析该同学忽略了这个绝对值符号去掉时应分类讨论问题解答原式变形为（1）当，即在一、四象限，或正半轴上时，恒 成立，故（2）当时，即在二、三象限，或负半轴上时，仅当时成立，故故所求集合为问题反思1、同角关系有八个公式，其中有三个是平方关系，开方时应注意符号讨论2、不要忘记角的终边在坐标轴上的情况4. 已知求的值，其中思路剖析 先利用诱导公式将已知条件等式和待求式化为只含的三角函数式，再结合同角三角函数的基本关系式求出和的值，此时既可直接代值求值，也可将待求式转化为只含有的齐次式进行求值.问题解答解法1 由已知可得 （1）两边平方整理得 从而可得 （2）联立（1），（2）解得解法2当时，原式移项，得两边平方整理得解得（舍），从而以下同解法1.问题反思 本题的关键在于先求出与这里必须先利用条件缩小角的范围,再通过方程(组)的思想解解法1构造了关于与的方程组.一般地,对于这三个式子,若已知其中一个式子的值,通过平方和同角三角函数的基本关系式必可求其余两式的值,只是要注意平方后再开方求值时正负号的取舍;解法2构造了关于的方程,对待求式进行化简是本题的难点,熟练掌握基本诱导公式是解题的关键,也是学好三角函数的根本.5.给出问题：已知且则的值为（ ）或或 或某学生的解答如下：，由可得或选A思路剖析 上述解法错误的原因在于扩大了解的取值范围.由已知条件且可知由且可知的取值范围应该是不应该是问题解答 且且由，可知，由可得选D问题反思已知三角比的值，求角问题，严格控制角的范围是至关重要的，一般的方法是借助于已知三角比的值的符号和大小将角的范围进一步缩小到某一个象限内6.在中，边上的中线求的值.思路剖析 可以设计四种解题思路：思路1：设法求出长，则用余弦定理可求，再用正弦定理可求，为此取中点，在中，利用余弦定理先求出长思路2：关键也是求，为此延长至，使为中点，在中，通过余弦定理，求出即长思路3：欲求，作，又延长到，使，作，通过和可求得思路4：向量法问题解答解法1 设为的中点，则且设则在中，由余弦定理，得解得（舍去），则从而，即又由正弦定理，得解法2 延长至，使则于是在中，由余弦定理，得解得 下同解法1.解法3 作垂足为，延长到，使再作垂足为则而在中，由正弦定理，得解法4 以为原点，为轴建立直角坐标系，由得设则从而解得于是，所以故问题反思 （1）三角形中的求解问题，实质就是有条件的三角式的计算与证明，在解题过程中，正、余弦定理和勾股定理及直角三角形中的边角关系是解题的基础，本例可以窥豹一斑.（2）解三角形的有关问题，常常要作辅助线，如解法1的中位线，解法2、解法3中延长中线等都是三角形中常添的辅助线，借助于平面几何有关公式定理综合求解是解这类题的常用方法应引起同学们的重视.（3）通过建立坐标系，利用向量的工具解答有关角度与距离问题，也是常用的方法.本例解法4是用代数法解决几何问题的典例，希望对同学们有所启迪.（4）本例若将改为的平分线你会解吗？请同学们思考.7.在中，若求的面积.思路剖析此问题属于“已知两边及一边的对角，求解三角形”问题，有多种处理方式.思路1：先求角，利用正弦定理求出值，再进一步求面积思路2：先求边，利用余弦定理求出长，再进一步求面积问题解答解法1 由正弦定理（1）当为锐角时，则（2）当为钝角时，则解法2 由余弦定理，得或又代入得或问题反思 “已知两边及一边的对角”在运用正弦定理求解三角形时，对三角形解的讨论是同学们学习本单元的一个难点.8.对于问题：已知中，求某学生的解答如下：由正弦定理得所以又则所以为直角三角形，此时该同学的解答是否正确？思路剖析 该同学的解答错误因为由正弦定理得有两解，即和上述解题过程中漏了的情况问题解答由正弦定理得所以或当时，为直角三角形，此时当时，为等腰三角形，此时 综合得：中，为6或39. 在中，角所对的边分别为且依次成等比数列.求的取值范围.思路剖析由于所给解析式是用角的三角比形式表示的，因此须将条件也转化为角的三角比形式问题解答 故问题反思 本题是利用不等式知识，余弦定理，两角和差的正、余弦公式，通过辅助公式变为一般函数，求三角函数的值域.解题中同学们往往会忽视角的范围在这个隐含条件致使答案误为 10.(2007年安徽省数学高考试题）函数的图象为，图象关于直线对称;函数在区间内是增函数;由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.以上3个结论中，正确论断的个数是（ ）（A）0（B）1（C）2（D）3思路剖析通过对函数图象的分析进行判断问题解答 根据图像的对称轴方程，可得所以取得故结论正确. 由得取得在区间内是增函数.故结论正确 在函数的图像平移时应先提取，所以向右平移个单位长度可以得到图像.故结论错误. 从而选C.问题反思 本题主要考查三角函数图像的对称性与平移及函数的单调性对结论，学生可能由于对三角函数的对称中心与对称轴方程记忆不清而造成错误，解决此类问题的关键在于清楚掌握三角函数的图像特征；对结论，学生应熟练掌握复合函数的单调性的求解方法及函数的单调区间的识记；对结论，学生可能对坐标平移的理解不够透彻而犯错.三角函数的图像是函数性质的直观反映，抓住图像的直观特征是理解函数性质的重要手段在复习时，要熟练掌握的图像特征，而在图像变换过程中，一定要把图像的平移、伸缩变换同相应的解析式的变形结合起来，譬如：“图像向右平移个单位”与“解析式中的换为”是等价的.11.给出问题：欲使函数在闭区间上至少出现50个最小值，则的最小值是_.某学生的解答如下：要使在上至少出现50个最小值，则至少含50个周期，即解得则思路剖析 一个周期中出现一次最小值，可是，一个周期加四分之三个周期就会出现两次最小值，所以只需个周期就可以保证出现50个最小值了.问题解答要使在上至少出现50个最小值，则至少含个周期，即解得则问题反思利用函数图象是研究函数性质的重要工具，要善于观察图象，发现最小值周期出现的规律12.给出问题：函数的值域为（ ） 某学生的解答如下：,故选A请判断该学生的解答是否正确？思路剖析 没有注意函数的定义域.问题解答 依题意，函数的定义域为又和在上均为增函数，则即故选C问题反思函数的值域是在给定函数解析式下自变量范围所对应的函数值范围，因此求函数值域时一定要先研究该函数的定义域13.已知函数f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；(3)若当时，f(x)的反函数为，求的值.思路剖析首先必须将所给函数式化为一个函数形式，才能求出它的最小正周期和最小值，对于第（3）题要求，的值由函数与反函数关系，只须求的值问题解答(1)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T=(2)当2x+=2k，即x=k (kZ)时，f(x)取得最小值2.(3)令2sin(2x+)=1，又,2x+,2x+=，则x=，故=.问题反思这是一道三角函数性质，三角比恒等变形，反函数等知识交汇题，只有正确、熟练地掌握有关基础知识才能准确地完成问题二.数列14.命题1：若数列an的前n项和Sn=an+b(a1)，则数列an是等比数列；命题2：若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c(a0)，则数列an是等差数列；命题3：若数列an的前n项和Sn=nan，则数列an既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个思路剖析 由命题1得，a1=a+b，当n2时，an=SnSn1=(a1)an1.若an是等比数列，则=a，即=a，所以只有当b=1且a0时，此数列才是等比数列.由命题2得，a1=a+b+c，当n2时，an=SnSn1=2na+ba，若an是等差数列，则a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有当c=0时，数列an才是等差数列.由命题3得，a1=a1，当n2时，an=SnSn1=a1，显然an是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a10；即a1时数列an才又是等比数列.中通项与求和公式间有着紧密的联系，上述三个命题均涉及到Sn与an的关系，它们是an=，正确判断数列an是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系.上述三个命题都不是真命题，选择A.15.给出问题：已知是递增数列，且对任意都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） 某学生的解答如下：对称轴当时为递增数列，则从而得到故选请判断该学生的解答是否正确？思路剖析 数列是特殊的函数，可以用动态的函数的观点研究数列，但必须时刻注意其特殊性，即：定义域为这是同学们经常忽略的地方显然开区间不包括-2，因此C不合要求；而开区间包括-2，故应选D解 因为是递增数列，所以即所以对于恒成立，而在时取得最大值所以故选反思研究数列的单调性基本方法是若对任意都有，则数列单调递增；若，则数列单调递减；若，则为常数16.（2005年广东）设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则=_；当时， （用表示）.思路剖析 由题意得知，由，可推得n每增加1，则交点增加个，.解答案：5，反思解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理.17.给出问题：首项是从第10项开始比1大的等差数列的公差的取值范围是（ ）学生甲的解答如下：由得解之得故选学生乙的解答如下：由且得故选请判断他们的解答是否正确？思路剖析 学生甲只考虑了这个条件，没有注意到题设条件中“开始比1大”这段关键语句.学生乙虽然注意到了这段关键语句，但忽视了还可以等于1这种情况.因此，都得出了错误的答案.解 由题意得则 解之得因此选反思 的符号是等差数列单调性的标志量，若要研究等差数列的项与指定数的大小关系，还必须结合通项公式来进行综合研究18.已知函数f(x)= (x2) (1)求f(x)的反函数f-1(x);(2)设a1=1, =f-1(an)(nN*),求an;(3)设Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1Sn是否存在最小正整数m,使得对任意nN*,有bn成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 思路剖析 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力问题（1）考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列为桥梁求an,不易突破问题(2)由式子得=4,构造等差数列,从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想 解 (1)设y=,x0)(2)，是公差为4的等差数列，a1=1, =+4(n1)=4n3,an0,an= (3)bn=Sn+1Sn=an+12=,由bn,设g(n)= ,g(n)= 在nN*上是减函数，g(n)的最大值是g(1)=5,m5,存在最小正整数m=6,使对任意nN*有bn成立 反思本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题 19.给出问题：在等比数列中，是方程的两根，则等于（ ）不能确定某学生的解答如下：因为数列是等比数列，所以，所以故选请判断该学生的解答是否正确？思路剖析 本题中是方程的两根，错解中用到了两根之积这个条件，但是忽视隐含的条件：在等比数列中，同为偶数项，而等比数列中偶数项的符号应该是相同的，又由两根之和知所以有都为正数，故所以 反思 在等比数列中，由于性质规律较多，很多特殊的条件往往会隐藏在求解的题目中，在解答时，要注意根据数列的特点和性质去挖掘这些隐含的条件.20.已知数列为等差数列，公差的部分项组成下列数列恰为等比数列，其中求思路剖析 运用等差（比）数列的定义分别求得，然后列方程求得解设的首项为成等比数列，得又反思运用等差（比）数列的定义将问题转化为关于的方程是解题的关键，转化时要注意：是等差数列中的第项，又是等比数列中的第项.21.给出问题：已知数列中，前项和求数列的通项公式某学生的解答如下：因为又所以请判断该学生的解答是否正确？思路剖析 以上解答忽略了成立的前提，亦即公式成立的前提为所以答案是错误的解 因为所以当时，所以当时，因为所以反思 关于此类题型有如下规律：（1）由求得的，使用的条件是（2）由求得的，如果恰好与时的值相等，那么就是的通项公式（3）由求得的，当时，的值不等于的值，那么数列的通项公式应该采用分段表示法表示：22.已知Sn=1+,(nN*)，设f(n)=S2n+1Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立 思路剖析 学生很容易求出f(n)是由个公式相加的形式表达的，但由于再往下无法求和，故对不等式难以处理 解决本题的关键是把f(n)(nN*)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为 函数f(n)的最小值大于右边关于常数m的对数式.解 Sn=1+ (nN*)f(n+1)f(n)f(n)是关于n的增函数f(n) min=f(2)=要使一切大于1的自然数n，不等式f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立只要logm(m1)2log(m1)m2成立即可由得m1且m2此时设logm(m1)2=t 则t0于是解得0t1. 由此得0logm(m1)21. 解得m且m2.反思本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，解这类问题需较强的综合分析问题、解决问题的能力. 23.若求（1）（2）（其中为数列的前项和）思路剖析分析 求时，我们关心的是趋于无穷时，是否能无限趋近于某个常数，因此对的前若干项的值无须顾及.根据数列的知识，当时，而当时， 为数列的前10000项和，这是一个与都有关的量.而可以看成首项为，公比为的等比数列，从到共有项.它们的和容易求得，从而可进一步求出解 （1）（2）当时，当时，即反思 由于我们关心的是，因此实际上无须关心时的表达式.当时，要求，应先求，并求24.给出问题：的值为（ ）不存在某学生的解答如下：因此应选A思路剖析 时，有无穷多个，不符合极限的运算法则.只能对有限个项时才成立.解因此选B反思利用数列极限运算法则必须注意两点，一是每个极限式要存在，一是只允许进行有限次运算25.（2007年湖北）已知和是两个不相等的正整数，且则（ ）01思路剖析 利用二项式定理分别展开分子和分母，再利用基本极限的结论解因为所以反思本题考查二项式展开式，的分解，数列极限求值以及转化能力.本题解法较多，以下仅用二项式定理解题.已知数列中前项和满足条件计算然后猜想出的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.26.某学生的解答如下：当时，即由此猜想当时，结论成立；假设当时结论成立，即成立，则当时，又是首项为3公比为的等比数列.由此得这表明，当时结论也成立.由 可知，猜想对任意都成立.请判断该学生的解答是否正确？错解剖析应由求得再由求得进而由此猜想用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设而是根据等比数列的通项公式求得这种证明不属于数学归纳法.正解：由求得当时，即把代入，得由此猜想下面用数学归纳法证明猜想成立.当时，猜想成立.假设当时结论成立，即成立，则当时，这表明，当时结论也成立.由 可知，猜想对任意都成立.三.立体几何27. 在一次练习中有这样一道题：一条直线与两个平行直线相交，证明这三条直线同在一个平面内。已知：如图435，a/b，acA ,bcB，求证：a，b，c共面. 图43-5某同学的解答如下：caA ，c与a共面，又cbB，c与b共面，a，b，c共面。该同学的解答是否正确？若不正确，请说明理由？ 思路剖析同学解答是错误的。此解开始的思路是正确的，但最后的推理是错误的。错因在于未证明c与a所确定的平面与c与b所确定的平面重合。【问题解答】 a/b，a，b可确定平面，又acA，bcB，点A，B，c，故a，b，c共面。【问题反思】本题还可以用间接证法来证明。28. 在一次练习中有这样一道题：求证：两条平行直线和同一个平面所的角相等。某同学的解答如下： 如图444，ab，aA，bB，在a，b上分别取点A、B，这两点在平面的同侧，过A作AA2，过B作BB2，A2，B2为垂足，由线面所成角的概念，知AA1A2，BB1B2分别为直线a，b与平面所成的角，由上述所作知AlA2BlB2，又AA1BB1,AA1A2BB1B2,a，b与所成的角相等。该同学的解答是否正确？若不正确，请说明理由？思路剖析同学解答是错误的。上述所证是针对a，b与斜交而言的，其实还应考虑a和b均与垂直及a，b在平面内或与平行的情况。再则，上述证明中，AlA2BlB2缺乏必要的依据。图44-4【问题解答】 由已知，a，b与的关系只可能有如下三种情况。1当a，b与斜交时，开始部分如前。由上述所作，知AA2BB2,又AA1BB1,A2AA1B2BB1,AA2A1BB2B1=900,A2A1AB2B1B,a，b与所成的角相等。29. 在一次练习中有这样一道题：正ABC的边长为10，A平面，B、C在的同侧，且与的距离分别为4和2，求平面ABC与平面所成角的正弦值。某同学的解答如下： 如图45-4，过点A作直线的mBC，则面BAC与面相交于m，作BM，CN，取BC中点E作EF。ABC为正三角形，AEBC，mBC,AEm,EF，AFm，EAF为平面ABC和所成的二面角的平面角。EF(BMCN)=3,. 图45-4 图45-5该同学的解答是否正确？若不正确，请说明理由？ 思路剖析同学解答是错误的。上述解法中错误源于第一步，由已知BC与平面不平行，因而过A点作直线rnBC时，直线m根本不在内，而上解却误认为在平面内，从而一步步地错下去。【问题解答】 如图45-5，由题设BC与不平行，延长BC交于D，则面ABC面AD，作BB1，CC1，B1，C1为垂足，则B1，C1，D共线，BB14，CC12。CC1BB1，C为BD中点，BC10，BD20，在ABD中，AD2AB2BD2 2ABBDcos600300，AD，由AB2A D2BD2，得BAD900，即BAAD。BB1，AB1AD，BAB1为平面ABC与平面所成二面角的平面角，。故平面ABC与平面所成角的正弦值为。30.ABCDA1B1C1D1是正方体，E是CC1的中点求二面角B一B1E一D的余弦值【思路剖析】当二面角的平面不易作出，可采用“射影面积法”【问题解答】如图456，平面BC1内作CFB1F于F，连结DF，CD平面BCC1B1，DCB1F，DFB1FCFD是二面角B一B1E一D的平面角，设大小为，则在 图45-6中，在DB1E中，设边长为， 可求得。【问题反思】ABC在平面内的射影为A/B/C/，则ABC与平面所成锐角二面角满足，中学生喜欢套用这个公式，由于这个公式教材上无记载，所以对使用这个公式的合法性有争议，在作出二面角的平面角以后，这题使用了，从而转化为面积比，这就合理了在这题中，如果注意到CFEB1C1E，得于是，实际上更方便些。31. 在一次练习中有这样一道题：如图46-4，正方体AC1的棱长为a，E、F分别为两条棱之中点求截面DBEF面积。 图46-4 图46-5某同学的解答如下： DBEF为等腰梯形，且EF，高 。该同学的解答是否正确？若不正确，请说明理由？思路剖析同学解答是错误的。上述解法中所得到结果是正确的。但推理上存在错误，为什么说DBEF是等腰梯形呢？来得突然，缺乏依据。【问题解答】 要证明DBEF为等腰梯形可以从两个方面去研究：（1）连B1D1，E、F为B1C1、C1D1中点，EFB1D1，又B1D1BD，EFBD且EFBD，DBEF为梯形，由RtDD1 FRtBB1 F得FDEB，DBEF为等腰梯形。（2）如图46-5，分别延长BE、DF交CC1延长线于O、O/，C1EBC且C1EBCOC=2CC1，同理O/CZCC1，O与O重合，EF为等腰OBD的中位线，DBEF为等腰梯形，计算同上述解法。【问题反思】立体几何计算离不开推理，有些推理也依托计算，它们之间是水乳交融塥虫为一体的。32. 如图46-6甲，从三棱锥P-ABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开成平面图形，得到P1P2P3（图乙），且P1P2=P2P3。（1）在三棱锥P-ABC中，求证：PABC；（2）若P1P2=26，P1P3=20，求三棱锥P-ABC的体积。 【思路剖析】从两个图的关系入手去分析思考，弄清楚是展开图问题还是折叠问题。【问题解答】在图乙中，由题设知道B、C、A分别是P1P2、P2P3、P3P1的中点，且P2B=P2C，AB=AC，从而在图甲中，PB=PC，AB=AC，取BC中点D，连AD、PD，则ADBC，PDBC，所以BC平面PAD，故PABC。（2）在图乙中，由题设知道PB=PC =P2B=13，在等腰三角形DPA中，底边PA上的高，又BC平面PAD，所以。【问题反思】题目的两个结论都是在经济图甲中三棱锥的有关问题，解题思路还是从图乙中的平面图形的折叠入手，其貌是展开图问题，实质是折叠问题。还可以这样解：设棱台上底面边长为，则，则-=,解得所求边长。33.在一次练习中有这样一道题：设一个圆锥与一个圆柱的底面半径及高都对应相等，它们的侧面积分别为S1，S2，试判断S1与S2的大小。某同学的解答如下：【解1】显然圆锥可以放进圆柱内，从而圆柱的侧面积大于圆锥的侧面积，即。【解2】设底面半径和高均为1，则。SlS2该同学的解答是否正确？若不正确，请说明理由？ 思路剖析同学解答是错误的。【问题解答】设圆锥与圆柱的底面半径都为r,高为h，则，故当，即时，S1=S2。当时，。当时，。【问题反思】错解1仅凭直观或想当然回答问题，错解2绝为了求快，求捷径解决问题而失误。解题应树立辩证观点，努力防止思维的片面性。34在北纬45线上，有甲、乙两地，它们分别在东经50