中考数学综合提高题训练

精品文档 1欢迎下载 中考数学综合提高训练中考数学综合提高训练 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1 11 1 因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例例 1 1 如图 1 已知抛物线 b是实数且b 2 与x轴的正 2 11 1 444 b yxbx 半轴分别交于点A B 点A位于点B是左侧 与y轴的正半轴交于点C 1 点B的坐标为 点C的坐标为 用含b的代数式表示 2 请你探索在第一象限内是否存在点P 使得四边形PCOB的面积等于 2b 且 PBC 是以点P为直角顶点的等腰直角三角形 如果存在 求出点P的坐标 如果不存在 请说 明理由 3 请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q 使得 QCO QOA和 QAB中的任 意两个三角形均相似 全等可看作相似的特殊情况 如果存在 求出点Q的坐标 如果 不存在 请说明理由 图 1 满分解答满分解答 1 B的坐标为 b 0 点C的坐标为 0 4 b 2 如图 2 过点P作PD x轴 PE y轴 垂足分别为D E 那么 PDB PEC 因此 PD PE 设点 P 的坐标为 x x 如图 3 联结 OP 所以S四边形PCOB S PCO S PBO 2b 115 2428 b xb xbx 解得 所以点P的坐标为 16 5 x 16 16 55 图 2 图 3 3 由 得A 1 0 OA 1 2 111 1 1 4444 b yxbxxxb 如图 4 以OA OC为邻边构造矩形OAQC 那么 OQC QOA 当 即时 BQA QOA BAQA QAOA 2 QABA OA 所以 解得 所以符合题意的点Q为 2 1 4 b b 84 3b 1 23 精品文档 2欢迎下载 如图 5 以OC为直径的圆与直线x 1 交于点Q 那么 OQC 90 因此 OCQ QOA 当时 BQA QOA 此时 OQB 90 BAQA QAOA 所以C Q B三点共线 因此 即 解得 此时Q 1 4 BOQA COOA 1 4 bQA b 4QA 图 4 图 5 考点伸展考点伸展 第 3 题的思路是 A C O三点是确定的 B是x轴正半轴上待定的点 而 QOA 与 QOC是互余的 那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况 这样 先根据 QOA与 QOC相似把点Q的位置确定下来 再根据两直角边对应成比例 确定点B的位置 如图中 圆与直线x 1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢 如果符合题意的话 那么点B的位置距离点A很近 这与OB 4OC矛盾 例例 2 2 如图 1 已知抛物线的方程C1 m 0 与x轴交于点B C 1 2 yxxm m 与y轴交于点E 且点B在点C的左侧 1 若抛物线C1 过点M 2 2 求实数m的值 2 在 1 的条件下 求 BCE的面积 3 在 1 的条件下 在抛物线的对称轴上找一点H 使得BH EH最小 求出点H 的坐标 4 在第四象限内 抛物线C1 上是否存在点F 使得以点B C F为顶点的三角形 与 BCE相似 若存在 求m的值 若不存在 请说明理由 图 1 解答解答 1 将M 2 2 代入 得 解得m 4 1 2 yxxm m 1 24 2 m m 2 当m 4 时 所以C 4 0 E 0 2 2 111 2 4 2 442 yxxxx 所以S BCE 11 6 26 22 BC OE 3 如图 2 抛物线的对称轴是直线x 1 当H落在线段EC上时 BH EH最小 设对称轴与x轴的交点为P 那么 HPEO CPCO 因此 解得 所以点H的坐标为 2 34 HP 3 2 HP 3 1 2 4 如图 3 过点B作EC的平行线交抛物线于F 过点F作FF x轴于F 精品文档 3欢迎下载 由于 BCE FBC 所以当 即时 BCE FBC CEBC CBBF 2 BCCE BF 设点F的坐标为 由 得 1 2 xxxm m FFEO BFCO 1 2 2 2 xxm m xm 解得x m 2 所以F m 2 0 由 得 所以 COBF CEBF 2 4 4 mm BF m 2 4 4mm BF m 由 得 2 BCCE BF 2 22 4 4 2 4 mm mm m 整理 得 0 16 此方程无解 图 2 图 3 图 4 如图 4 作 CBF 45 交抛物线于F 过点F作FF x轴于F 由于 EBC CBF 所以 即时 BCE BFC BEBC BCBF 2 BCBE BF 在 Rt BFF 中 由FF BF 得 1 2 2xxmx m 解得x 2m 所以F 所以 BF 2m 2 2 0 m2 22 BFm 由 得 解得 2 BCBE BF 2 2 2 22 22 mm 22 2m 综合 符合题意的m为 22 2 考点伸展考点伸展 第 4 题也可以这样求 BF 的长 在求得点F F的坐标后 根据两点间的距离公式 求BF的长 例例 3 3直线分别交x轴 y轴于A B两点 AOB绕点O按逆时针方向旋转 1 1 3 yx 90 后得到 COD 抛物线y ax2 bx c经过A C D三点 1 写出点A B C D的坐标 2 求经过A C D三点的抛物线表达式 并求抛物线顶点 G 的坐标 3 在直线BG上是否存在点Q 使得以点A B Q为顶点的三角形与 COD相似 若 存在 请求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由 图 1 解答解答 1 A 3 0 B 0 1 C 0 3 D 1 0 精品文档 4欢迎下载 2 因为抛物线y ax2 bx c经过A 3 0 C 0 3 D 1 0 三点 所以 解得 930 3 0 abc c abc 1 2 3 a b c 所以抛物线的解析式为y x2 2x 3 x 1 2 4 顶点G的坐标为 1 4 3 如图 2 直线BG的解析式为y 3x 1 直线CD的解析式为y 3x 3 因此 CD BG 因为图形在旋转过程中 对应线段的夹角等于旋转角 所以AB CD 因此AB BG 即 ABQ 90 因为点Q在直线BG上 设点Q的坐标为 x 3x 1 那 么 22 3 10BQxxx Rt COD的两条直角边的比为 1 3 如果 Rt ABQ与 Rt COD相似 存在两种情况 当时 解得 所以 3 BQ BA 10 3 10 x 3x 1 3 10 Q 2 3 8 Q 当时 解得 所以 1 3 BQ BA 101 310 x 1 3 x 3 1 2 3 Q 4 1 0 3 Q 图 2 图 3 考点伸展考点伸展 第 3 题在解答过程中运用了两个高难度动作 一是用旋转的性质说明AB BG 二 是 22 3 10BQxxx 我们换个思路解答第 3 题 如图 3 作GH y轴 QN y轴 垂足分别为H N 通过证明 AOB BHG 根据全等三角形的对应角相等 可以证明 ABG 90 在 Rt BGH中 1 sin1 10 3 cos 1 10 当时 3 BQ BA 3 10BQ 在 Rt BQN中 sin13QNBQ cos 19BNBQ 当Q在B上方时 当Q在B下方时 1 3 10 Q 2 3 8 Q 当时 同理得到 1 3 BQ BA 1 10 3 BQ 3 1 2 3 Q 4 1 0 3 Q 例例 4 4 Rt ABC在直角坐标系内的位置如图 1 所示 反比例函数在第一象限 0 k yk x 内的图象与BC边交于点D 4 m 与AB边交于点E 2 n BDE的面积为 2 1 求m与n的数量关系 2 当 tan A 时 求反比例函数的解析式和直线AB的表达式 1 2 精品文档 5欢迎下载 3 设直线AB与y轴交于点F 点P在射线FD上 在 2 的条件下 如果 AEO与 EFP 相似 求点P的坐标 图 1 解答解答 1 如图 1 因为点D 4 m E 2 n 在反比例函数的图象上 所以 k y x 整理 得n 2m 4 2 mk nk 2 如图 2 过点E作EH BC 垂足为H 在 Rt BEH中 tan BEH tan A EH 2 所以BH 1 因此D 4 m E 2 2m B 4 2m 1 1 2 已知 BDE的面积为 2 所以 解得m 1 因此D 4 1 11 1 22 22 BD EHm E 2 2 B 4 3 因为点D 4 1 在反比例函数的图象上 所以k 4 因此反比例函数的解析 k y x 式为 4 y x 设直线AB的解析式为y kx b 代入B 4 3 E 2 2 得 解得 34 22 kb kb 1 2 k 1b 因此直线AB的函数解析式为 1 1 2 yx 图 2 图 3 图 4 3 如图 3 因为直线与y轴交于点F 0 1 点D的坐标为 4 1 1 1 2 yx 所以FD x轴 EFP EAO 因此 AEO与 EFP 相似存在两种情况 如图 3 当时 解得FP 1 此时点P的坐标为 1 1 EAEF AOFP 2 55 2FP 如图 4 当时 解得FP 5 此时点P的坐标为 5 1 EAFP AOEF 2 5 25 FP 考点伸展考点伸展 本题的题设部分有条件 Rt ABC在直角坐标系内的位置如图 1 所示 如果没有这个 条件限制 保持其他条件不变 那么还有如图 5 的情况 精品文档 6欢迎下载 第 1 题的结论m与n的数量关系不变 第 2 题反比例函数的解析式为 12 y x 直线AB为 第 3 题FD不再与x轴平行 AEO与 EFP 也不可能相似 1 7 2 yx 图 5 例例 5 5如图 1 已知梯形OABC 抛物线分别过点O 0 0 A 2 0 B 6 3 1 直接写出抛物线的对称轴 解析式及顶点M的坐标 2 将图 1 中梯形OABC的上下底边所在的直线OA CB以相同的速度同时向上平移 分别交抛物线于点O1 A1 C1 B1 得到如图 2 的梯形O1A1B1C1 设梯形O1A1B1C1的面积为 S A1 B1的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 用含S的代数式表示x2 x1 并求出当 S 36 时点A1的坐标 3 在图 1 中 设点D的坐标为 1 3 动点P从点B出发 以每秒 1 个单位长度的 速度沿着线段BC运动 动点Q从点D出发 以与点P相同的速度沿着线段DM运动 P Q 两点同时出发 当点Q到达点M时 P Q两点同时停止运动 设P Q两点的运动时间为 t 是否存在某一时刻t 使得直线PQ 直线AB x 轴围成的三角形与直线PQ 直线AB 抛物线的对称轴围成的三角形相似 若存在 请求出t的值 若不存在 请说明理由 图 1 图 2 解答解答 1 抛物线的对称轴为直线 解析式为 顶点为M 1 1x 2 11 84 yxx 1 8 2 梯形O1A1B1C1的面积 由此得到 12 12 2 11 3 6 2 xx Sxx 由于 所以 整理 得 12 2 3 s xx 21 3yy 22 212211 1111 3 8484 yyxxxx 因此得到 2121 11 3 84 xxxx 21 72 xx S 当S 36 时 解得 此时点A1的坐标为 6 3 21 21 14 2 xx xx 1 2 6 8 x x 3 设直线AB与PQ交于点G 直线AB与抛物线的对称轴交于点E 直线PQ与x轴 交于点F 那么要探求相似的 GAF与 GQE 有一个公共角 G 精品文档 7欢迎下载 在 GEQ中 GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角 为定值 在 GAF中 GAF是直线AB与x轴的夹角 也为定值 而且 GEQ GAF 因此只存在 GQE GAF的可能 GQE GAF 这时 GAF GQE PQD 由于 所以 解得 3 tan 4 GAF tan 5 DQt PQD QPt 3 45 t t 20 7 t 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 第 3 题是否存在点G在x轴上方的情况 如图 4 假如存在 说理过程相同 求得 的t的值也是相同的 事实上 图 3 和图 4 都是假设存在的示意图 实际的图形更接近图 3 例例 6 6 如图 1 已知点A 2 4 和点B 1 0 都在抛物线上 2 2ymxmxn 1 求m n 2 向右平移上述抛物线 记平移后点A的对应点为A 点B的对应点为B 若四边 形A A B B为菱形 求平移后抛物线的表达式 3 记平移后抛物线的对称轴与直线AB 的交点为C 试在x轴上找一个点D 使得 以点B C D为顶点的三角形与 ABC相似 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名 10 宝山 24 拖动点A 向右平移 可以体验到 平移 5 个单 位后 四边形A A B B为菱形 再拖动点D在x轴上运动 可以体验到 B CD与 ABC相 似有两种情况 思路点拨思路点拨 1 点 A 与点 B 的坐标在 3 个题目中处处用到 各具特色 第 1 题用在待定系数法 中 第 2 题用来计算平移的距离 第 3 题用来求点 B 的坐标 AC 和 B C 的长 2 抛物线左右平移 变化的是对称轴 开口和形状都不变 3 探求 ABC与 B CD相似 根据菱形的性质 BAC CB D 因此按照夹角的两边 对应成比例 分两种情况讨论 满分解答满分解答 1 因为点A 2 4 和点B 1 0 都在抛物线上 所以 2 2ymxmxn 精品文档 8欢迎下载 解得 444 20 mmn mmn 4 3 m 4n 2 如图 2 由点A 2 4 和点B 1 0 可得AB 5 因为四边形A A B B为菱形 所以A A B B AB 5 因为 所以原抛物线的4 3 8 3 4 2 xxy 2416 1 33 x 对称轴x 1 向右平移 5 个单位后 对应的直线为x 4 因此平移后的抛物线的解析式为 3 16 4 3 4 2 xy 图 2 3 由点A 2 4 和点B 6 0 可得A B 4 5 如图 2 由AM CN 可得 即 解得 所以 B NB C B MB A 2 84 5 B C 5B C 根据菱形的性质 在 ABC与 B CD中 BAC CB D 3 5AC 如图 3 当时 解得 此时OD 3 点D的坐 ABB C ACB D 55 3 5B D 3B D 标为 3 0 如图 4 当时 解得 此时OD 点D的 ABB D ACB C 5 3 55 B D 5 3 B D 13 3 坐标为 0 13 3 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 在本题情境下 我们还可以探求 B CD与 AB B 相似 其实这是有公共底角的两个等 腰三角形 容易想象 存在两种情况 我们也可以讨论 B CD与 CB B 相似 这两个三角形有一组公共角 B 根据对应边 成比例 分两种情况计算 精品文档 9欢迎下载 例例 7 7 20092009 年临沂市中考第年临沂市中考第 2626 题题 如图 1 抛物线经过点A 4 0 B 1 0 C 0 2 三点 1 求此抛物线的解析式 2 P是抛物线上的一个动点 过P作PM x轴 垂足为M 是否存在点P 使得以 A P M为顶点的三角形与 OAC相似 若存在 请求出符合条件的 点P的坐标 若不存 在 请说明理由 3 在直线AC上方的抛物线是有一点D 使得 DCA的面积最大 求出点D的坐标 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名 09 临沂 26 拖动点P在抛物线上运动 可以体验到 PAM 的形状在变化 分别双击按钮 P在B左侧 P在x轴上方 和 P在A右侧 可以显 示 PAM与 OAC相似的三个情景 双击按钮 第 3 题 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动 观察 DCA的形状和面 积随D变化的图象 可以体验到 E是AC的中点时 DCA的面积最大 思路点拨思路点拨 1 已知抛物线与x轴的两个交点 用待定系数法求解析式时 设交点式比较简便 2 数形结合 用解析式表示图象上点的坐标 用点的坐标表示线段的长 3 按照两条直角边对应成比例 分两种情况列方程 4 把 DCA可以分割为共底的两个三角形 高的和等于OA 满分解答满分解答 1 因为抛物线与 x 轴交于A 4 0 B 1 0 两点 设抛物线的解析式为 精品文档 10欢迎下载 代入点C的 坐标 0 2 解得 所以抛物线的解析式为 4 1 xxay 2 1 a 2 2 5 2 1 4 1 2 1 2 xxxxy 2 设点P的坐标为 4 1 2 1 xxx 如图 2 当点P在x轴上方时 1 x 4 4 1 2 1 xxPMxAM 4 如果 那么 解得不合题意 2 CO AO PM AM 2 4 4 1 2 1 x xx 5 x 如果 那么 解得 2 1 CO AO PM AM 2 1 4 4 1 2 1 x xx 2 x 此时点P的坐标为 2 1 如图 3 当点P在点A的右侧时 x 4 4 1 2 1 xxPM4 xAM 解方程 得 此时点P的坐标为 2 4 4 1 2 1 x xx 5 x 2 5 解方程 得不合题意 2 1 4 4 1 2 1 x xx 2 x 如图 4 当点P在点B的左侧时 x 1 4 1 2 1 xxPMxAM 4 解方程 得 此时点P的坐标为 2 4 4 1 2 1 x xx 3 x 14 3 解方程 得 此时点P与点O重合 不合题意 2 1 4 4 1 2 1 x xx 0 x 综上所述 符合条件的 点 P 的坐标为 2 1 或或 14 3 2 5 图 2 图 3 图 4 3 如图 5 过点D作x轴的垂线交AC于E 直线AC的解析式为 2 2 1 xy 设点D的横坐标为m 那么点D的坐标为 点 E 的 41 m 2 2 5 2 1 2 mmm 精品文档 11欢迎下载 坐标为 所以 2 2 1 mm 2 2 1 2 2 5 2 1 2 mmmDEmm2 2 1 2 因此 4 2 2 1 2 1 2 mmS DAC mm4 2 4 2 2 m 当时 DCA的面积最大 此时点D的坐标为 2 1 2 m 图 5 图 6 考点伸展考点伸展 第 3 题也可以这样解 如图 6 过D点构造矩形OAMN 那么 DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去 CDN和 ADM的面积 设点D的横坐标为 m n 那么 41 m 42 4 2 1 2 2 1 4 22 2 1 nmmnnmnS 由于 所以 2 2 5 2 1 2 mmnmmS4 2 例例 8 8 如图 1 ABC中 AB 5 AC 3 cosA D为射线BA上的点 点D不与点B 3 10 重合 作DE BC交射线CA于点E 1 若CE x BD y 求y与x的函数关系式 并写出函数的定义域 2 当分别以线段BD CE为直径的两圆相切时 求DE的长度 3 当点D在 AB 边上时 BC边上是否存在点F 使 ABC与 DEF相似 若存在 请 求出线段BF的长 若不存在 请说明理由 图 1 备用图 备用图 解答解答 1 如图 2 作BH AC 垂足为点H 在 Rt ABH中 AB 5 cosA 所 3 10 AH AB 以AH AC 所以BH垂直平分AC ABC 为等腰三角形 AB CB 5 3 2 1 2 因为DE BC 所以 即 于是得到 ABAC DBEC 53 yx 5 3 yx 0 x 2 如图 3 图 4 因为DE BC 所以 即 DEAE BCAC MNAN BCAC 3 53 DEx 因此 圆心距 1 3 2 53 x MN 5 3 3 x DE 5 6 6 x MN 精品文档 12欢迎下载 图 2 图 3 图 4 在 M中 在 N中 115 226 M rBDyx 11 22 N rCEx 当两圆外切时 解得或者 51 62 xx 5 6 6 x 30 13 x 10 x 如图 5 符合题意的解为 此时 30 13 x 5 3 15 313 x DE 当两圆内切时 51 62 xx 5 6 6 x 当 x 6 时 解得 如图 6 此时E在CA的延长线上 30 7 x 5 3 15 37 x DE 当 x 6 时 解得 如图 7 此时E在CA的延长线上 10 x 5 3 35 33 x DE 图 5 图 6 图 7 3 因为 ABC是等腰三角形 因此当 ABC与 DEF相似时 DEF也是等腰三角 形 如图 8 当D E F为 ABC的三边的中点时 DE为等腰三角形DEF的腰 符合题意 此时BF 2 5 根据对称性 当F在BC边上的高的垂足时 也符合题意 此时BF 4 1 如图 9 当DE为等腰三角形DEF的底边时 四边形DECF是平行四边形 此时 125 34 BF 图 8 图 9 图 10 图 11 考点伸展考点伸展 第 3 题的情景是一道典型题 如图 10 如图 11 AH是 ABC的高 D E F为 ABC的三边的中点 那么四边形DEHF是等腰梯形 例例 9 9 精品文档 13欢迎下载 图 1 解答解答 1 1OH 3 3 k 2 3 3 b 2 由抛物线的解析式 得 1 5 ya xx 点M的坐标为 点N的坐标为 1 0 5 0 因此MN的中点D的坐标为 2 0 DN 3 因为 AOB是等腰直角三角形 如果 DNE与 AOB相似 那么 DNE也是等腰直角三 角形 如图 2 如果DN为直角边 那么点E的坐标为E1 2 3 或E2 2 3 将E1 2 3 代入 求得 1 5 ya xx 1 3 a 此时抛物线的解析式为 2 1145 1 5 3333 yxxxx 将E2 2 3 代入 求得 1 5 ya xx 3 1 a 此时抛物线的解析式为 3 5 3 4 3 1 5 1 3 1 2 xxxxy 如果DN为斜边 那么点E的坐标为E3或E4 11 3 1 22 2 1 1 2 1 3 将E3代入 求得 11 3 1 22 1 5 ya xx 2 9 a 此时抛物线的解析式为 2 22810 1 5 9999 yxxxx 将E4代入 求得 2 1 1 2 1 3 1 5 ya xx 9 2 a 此时抛物线的解析式为 9 10 9 8 9 2 5 1 9 2 2 xxxxy 精品文档 14欢迎下载 图 2 图 3 对于点E为E1 2 3 和E3 直线NE是相同的 ENP 45 11 3 1 22 又 OBP 45 P P 所以 POB PGN 因此 2101472 PNPOPGPB 对于点E为E2 2 3 和E4 直线NE是相同的 2 1 1 2 1 3 此时点G在直线的右侧 5 x3 3 14 PG 又 所以 3 3 4 PB210 3 4 143 3 4 3 3 14 PGPB 考点伸展考点伸展 在本题情景下 怎样计算PB的长 如图 3 作AF AB交OP于F 那么 OBC OAF OF OC PF 2 3 3 2 23 3 PA 所以 332 23 31 223 PF 31PB 1 21 2因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题 例例 1 1如图 1 抛物线y ax2 bx c经过A 1 0 B 3 0 C 0 3 三点 直线l是抛 物线的对称轴 1 求抛物线的函数关系式 2 设点P是直线l上的一个动点 当 PAC的周长最小时 求点P的坐标 3 在直线l上是否存在点M 使 MAC为等腰三角形 若存在 直接写出所有符合 条件的点M的坐标 若不存在 请说明理由 图 1 解答解答 1 因为抛物线与x轴交于A 1 0 B 3 0 两点 设y a x 1 x 3 代入点C 0 3 得 3a 3 解得a 1 所以抛物线的函数关系式是 y x 1 x 3 x2 2x 3 2 如图 2 抛物线的对称轴是直线x 1 当点P落在线段BC上时 PA PC最小 PAC的周长最小 精品文档 15欢迎下载 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H 由 BO CO 得PH BH 2 BHPH BOCO 所以点P的坐标为 1 2 图 2 3 点M的坐标为 1 1 1 1 或 1 0 66 考点伸展考点伸展 第 3 题的解题过程是这样的 设点M的坐标为 1 m 在 MAC中 AC2 10 MC2 1 m 3 2 MA2 4 m2 如图 3 当MA MC时 MA2 MC2 解方程 4 m2 1 m 3 2 得m 1 此时点M的坐标为 1 1 如图 4 当AM AC时 AM2 AC2 解方程 4 m2 10 得 6m 此时点M的坐标为 1 或 1 66 如图 5 当CM CA时 CM2 CA2 解方程 1 m 3 2 10 得m 0 或 6 当M 1 6 时 M A C三点共线 所以此时符合条件的点M的坐标为 1 0 图 3 图 4 图 5 例例 2 2如图 1 点A在x轴上 OA 4 将线段OA绕点O顺时针旋转 120 至OB的位置 1 求点B的坐标 2 求经过A O B的抛物线的解析式 3 在此抛物线的对称轴上 是否存在点P 使得以点P O B为顶点的三角形是等 腰三角形 若存在 求点P的坐标 若不存在 请说明理由 图 1 解答解答 1 如图 2 过点B作BC y轴 垂足为C 在 Rt OBC中 BOC 30 OB 4 所以BC 2 2 3OC 所以点B的坐标为 2 2 3 2 因为抛物线与x轴交于O A 4 0 设抛物线的解析式为y ax x 4 代入点B 解得 2 2 3 2 32 6 a 3 6 a 精品文档 16欢迎下载 所以抛物线的解析式为 2 332 3 4 663 yx xxx 3 抛物线的对称轴是直线x 2 设点P的坐标为 2 y 当OP OB 4 时 OP2 16 所以 4 y2 16 解得 2 3y 当P在时 B O P三点共线 如图 2 2 2 3 当BP BO 4 时 BP2 16 所以 解得 22 4 2 3 16y 12 2 3yy 当PB PO时 PB2 PO2 所以 解得 2222 4 2 3 2yy 2 3y 综合 点 P 的坐标为 如图 2 所示 2 2 3 图 2 图 3 考点伸展考点伸展 如图 3 在本题中 设抛物线的顶点为D 那么 DOA与 OAB是两个相似的等腰三角 形 由 得抛物线的顶点为 2 332 3 4 2 663 yx xx 2 3 2 3 D 因此 所以 DOA 30 ODA 120 2 3 tan 3 DOA 例例 3 3如图 1 已知正方形OABC的边长为 2 顶点A C分别在x y轴的正半轴上 M是 BC的中点 P 0 m 是线段OC上一动点 C点除外 直线PM交AB的延长线于点D 1 求点D的坐标 用含m的代数式表示 2 当 APD是等腰三角形时 求m的值 3 设过P M B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E 过点O作直线ME的垂线 垂足为H 如图 2 当点P从O向C运动时 点H也随之运动 请直接写出点H所经过的 路长 不必写解答过程 图 1 图 2 解答解答 1 因为PC DB 所以 因此PM DM CP BD 2 m 所以 1 CPPMMC BDDMMB AD 4 m 于是得到点D的坐标为 2 4 m 2 在 APD中 22 4 ADm 22 4APm 222 2 44 2 PDPMm 当AP AD时 解得 如图 3 2 4 m 2 4m 3 2 m 当PA PD时 解得 如图 4 或 不合题意 2 4m 2 44 2 m 4 3 m 4m 精品文档 17欢迎下载 舍去 当DA DP时 解得 如图 5 或 不合题意 2 4 m 2 44 2 m 2 3 m 2m 舍去 综上所述 当 APD为等腰三角形时 m的值为 或 3 2 4 3 2 3 图 3 图 4 图 5 3 点H所经过的路径长为 5 4 考点伸展考点伸展 第 2 题解等腰三角形的问题 其中 用几何说理的方法 计算更简单 如图 3 当AP AD时 AM垂直平分PD 那么 PCM MBA 所 以 因此 1 2 PCMB CMBA 1 2 PC 3 2 m 如图 4 当PA PD时 P在AD的垂直平分线上 所以DA 2PO 因 此 解得 42mm 4 3 m 第 2 题的思路是这样的 如图 6 在 Rt OHM中 斜边OM为定值 因此以OM为直径的 G经过点H 也就是说 点H在圆弧上运动 运动过的圆心角怎么确定呢 如图 7 P与O重合时 是点H运动的起 点 COH 45 CGH 90 图 6 图 7 例例 4 4如图 1 已知一次函数y x 7 与正比例函数 的图象交于点A 且与x轴交 4 3 yx 于点B 1 求点A和点B的坐标 2 过点A作AC y轴于点C 过点B作直线l y 轴 动点P从点O出发 以每秒 1 个单位长的速度 沿 O C A的路线向点A运动 同时直线l从点B出发 以 相同速度向左平移 在平移过程中 直线l交x轴于点 R 交线段BA或线段AO于点Q 当点P到达点A时 点 P和直线l都停止运动 在运动过程中 设动点P运动的 时间为t秒 精品文档 18欢迎下载 当t为何值时 以A P R为顶点的三角形的面积为 8 是否存在以A P Q为顶点的三角形是等腰三角形 若存在 求t的值 若不存在 请说明理由 图 1 解答解答 1 解方程组 得 所以点A的坐标是 3 4 7 4 3 yx yx 3 4 x y 令 得 所以点B的坐标是 7 0 70yx 7x 2 如图 2 当P在OC上运动时 0 t 4 由 8 APRACPPORCORA SSSS 梯形 得 整理 得 解得t 2 或 111 3 7 44 4 7 8 222 tttt 2 8120tt t 6 舍去 如图 3 当P在CA上运动时 APR的最大面积为 6 因此 当t 2 时 以A P R为顶点的三角形的面积为 8 图 2 图 3 图 4 我们先讨论P在OC上运动时的情形 0 t 4 如图 1 在 AOB中 B 45 AOB 45 OB 7 所以4 2AB OB AB 因此 OAB AOB B 如图 4 点P由O向C运动的过程中 OP BR RQ 所以PQ x轴 因此 AQP 45 保持不变 PAQ越来越大 所以只存在 APQ AQP的情况 此时点A在PQ的垂直平分线上 OR 2CA 6 所以BR 1 t 1 我们再来讨论P在CA上运动时的情形 4 t 7 在 APQ中 为定值 3 cos 5 A 7APt 5520 333 AQOAOQOAORt 如图 5 当AP AQ时 解方程 得 520 7 33 tt 41 8 t 如图 6 当QP QA时 点Q在PA的垂直平分线上 AP 2 OR OP 解方程 得 72 7 4 ttt 5t 如 7 当PA PQ时 那么 因此 解方程 1 2 cos AQ A AP 2cosAQAPA 得 5203 2 7 335 tt 226 43 t 综上所述 t 1 或或 5 或时 APQ是等腰三角形 41 8 226 43 图 5 图 6 图 7 精品文档 19欢迎下载 例例 5 5 如图 1 在直角坐标平面内有点A 6 0 B 0 8 C 4 0 点M N分别为线 段AC和射线AB上的动点 点M以 2 个单位长度 秒的速度自C向A方向作匀速运动 点N 以 5 个单位长度 秒的速度自A向B方向作匀速运动 MN交OB于点P 1 求证 MN NP为定值 2 若 BNP与 MNA相似 求CM的长 3 若 BNP是等腰三角形 求CM的长 图 1 解答解答 1 如图 2 图 3 作NQ x轴 垂足为Q 设点M N的运动时间为t秒 在 Rt ANQ中 AN 5t NQ 4t AQ 3t 在图 2 中 QO 6 3t MQ 10 5t 所以MN NP MQ QO 5 3 在图 3 中 QO 3t 6 MQ 5t 10 所以MN NP MQ QO 5 3 2 因为 BNP与 MNA有一组邻补角 因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一 个钝角三角形 要么是两个直角三角形 只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相 似 如图 4 BNP MNA 在 Rt AMN中 所以 解 3 5 AN AM 53 1025 t t 得 此时CM 30 31 t 60 31 图 2 图 3 图 4 3 如图 5 图 6 图 7 中 即 所以 OPMP QNMN 2 45 OP t 8 5 OPt 当N在AB上时 在 BNP中 B是确定的 8 8 5 BPt 105BNt 如图 5 当BP BN时 解方程 得 此时CM 8 8105 5 tt 10 17 t 20 17 如图 6 当NB NP时 解方程 4 5 BEBN 184 8105 255 tt 精品文档 20欢迎下载 得 此时CM 5 4 t 5 2 当PB PN时 解方程 得t的值为负 14 25 BNBP 148 1058 255 tt 数 因此不存在PB PN的情况 如图 7 当点N在线段AB的延长线上时 B是钝角 只存在BP BN的可能 此 时 解方程 得 此时CM 510BNt 8 8510 5 tt 30 11 t 60 11 图 5 图 6 图 7 考点伸展考点伸展 如图 6 当NB NP时 NMA是等腰三角形 这样计算简便一些 14 25 BNBP 例例 6 6如图 1 在矩形ABCD中 AB m m是大于 0 的常数 BC 8 E为线段BC上的动点 不与B C重合 连结DE 作EF DE EF与射线BA交于点F 设CE x BF y 1 求y关于x的函数关系式 2 若m 8 求x为何值时 y的值最大 最大值是多少 3 若 要使 DEF为等腰三角形 m的值应为多少 12 y m 图 1 解答解答 1 因为 EDC与 FEB都是 DEC的余角 所以 EDC FEB 又因为 C B 90 所以 DCE EBF 因此 即 整理 得y关于 DCEB CEBF 8mx xy x的函数关系为 2 18 yxx mm 2 如图 2 当m 8 时 因此当x 4 时 y取得最 22 11 4 2 88 yxxx 大值为 2 3 若 那么 整理 得 解得x 2 或 12 y m 2 1218 xx mmm 2 8120 xx x 6 要使 DEF为等腰三角形 只存在ED EF的情况 因为 DCE EBF 所以 精品文档 21欢迎下载 CE BF 即x y 将x y 2 代入 得m 6 如图 3 将x y 6 代入 12 y m 12 y m 得m 2 如图 4 图 2 图 3 图 4 例例 7 7已知 如图 1 在平面直角坐标系xOy中 矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上 OC 在x轴的正半轴上 OA 2 OC 3 过原点O作 AOC的平分线交AB于点D 连结DC 过 点D作DE DC 交OA于点E 1 求过点E D C的抛物线的解析式 2 将 EDC绕点D按顺时针方向旋转后 角的一边与y轴的正半轴交于点F 另一 边与线段OC交于点G 如果 DF 与 1 中的抛物线交于另一点M 点M的横坐标为 那 5 6 么EF 2GO是否成立 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 3 对于 2 中的点G 在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q 使得直线 GQ与AB的交点P与点C G构成的 PCG是等腰三角形 若存在 请求出点Q的坐标 若 不存在成立 请说明理由 图 1 解答解答 1 由于OD平分 AOC 所以点D的坐标为 2 2 因此BC AD 1 由于 BCD ADE 所以BD AE 1 因此点E的坐标为 0 1 设过E D C三点的抛物线的解析式为 那么 cbxaxy 2 039 224 1 cba cba c 解得 因此过E D C三点的抛物线的解析式为 6 5 a 6 13 b1 c 1 6 13 6 5 2 xxy 2 把代入 求 5 6 x1 6 13 6 5 2 xxy 得 所以点M的坐标为 5 12 y 5 12 5 6 精品文档 22欢迎下载 如图 2 过点M作MN AB 垂足为N 那么 即 解得 DA DN FA MN 2 5 6 22 5 12 FA 1 FA 因为 EDC绕点D旋转的过程中 DCG DEF 所以CG EF 2 因此 GO 1 EF 2GO 3 在第 2 中 GC 2 设点Q的坐标为 1 6 13 6 5 2 xxx 如图 3 当CP CG 2 时 点P与点B 3 2 重合 PCG是等腰直角三角形 此 时 因此 由此得到点Q的坐标为 GQQ xxy 11 6 13 6 5 2 xxx 5 7 5 12 如图 4 当GP GC 2 时 点P的坐标为 1 2 此时点Q的横坐标为 1 点Q的 坐标为 6 13 1 如图 5 当PG PC时 点P在GC的垂直平分线上 点P Q与点D重合 此时点Q 的坐标为 2 2 图 3 图 4 图 5 考点伸展考点伸展 在第 2 题情景下 EDC绕点D旋转的过程中 FG的长怎样变化 设AF的长为m 那么 82 2 2 222 mmmFG 点 F 由 E 开始沿射线 EA 运动的过程中 FG先是越来越小 F与A重合时 FG达到最 小值 F经过点A以后 FG越来越大 当C与O重合时 FG达到最大值 4 22 例例 8 8如图 1 在等腰梯形ABCD中 AD BC E是AB的中点 过点E作EF BC交CD于点 F AB 4 BC 6 B 60 1 求点E到BC的距离 2 点P为线段EF上的一个动点 过点P作PM EF交BC于M 过M作MN AB交折 线ADC于N 连结PN 设EP x 当点N在线段AD上时 如图 2 PMN的形状是否发生改变 若不变 求出 PMN 的周长 若改变 请说明理由 当点N在线段DC上时 如图 3 是否存在点P 使 PMN为等腰三角形 若存在 请求出所有满足条件的x的值 若不存在 请说明理由 图 1 图 2 图 3 解答解答 1 如图 4 过点E作EG BC于G 图 2 精品文档 23欢迎下载 在 Rt BEG中 B 60 2 2 1 ABBE 所以 160cos BEBG360sin BEEG 所以点E到BC的距离为 3 2 因为AD EF BC E是AB的中点 所以F是DC 的中点 因此EF是梯形ABCD的中位线 EF 4 如图 4 当点N在线段AD上时 PMN的形状不是否发生改变 过点N作NH EF于H 设PH与NM交于点Q 在矩形EGMP中 EP GM x PM EG 3 在平行四边形BMQE中 BM EQ 1 x 所以BG PQ 1 因为PM与NH平行且相等 所以PH与NM互相平分 PH 2PQ 2 在 Rt PNH中 NH PH 2 所以PN 37 在平行四边形ABMN中 MN AB 4 因此 PMN的周长为 4 37 图 4 图 5 当点N在线段DC上时 CMN恒为等边三角形 如图 5 当PM PN时 PMC与 PNC关于直线PC对称 点P在 DCB的平分线上 在 Rt PCM中 PM PCM 30 所以MC 3 3 此时M P分别为BC EF的中点 x 2 如图 6 当MP MN时 MP MN MC x GM GC MC 5 33 如图 7 当NP NM时 NMP NPM 30 所以 PNM 120 又因为 FNM 120 所以P与F重合 此时x 4 综上所述 当x 2 或 4 或 5 时 PMN为等腰三角形 3 图 6 图 7 图 8 1 31 3 因动点产生的直角三角形问题因动点产生的直角三角形问题 例例 1 1 如图 1 抛物线与x轴交于A B两点 点A在点B的左侧 与 2 33 3 84 yxx y轴交于点C 1 求点A B的坐标 2 设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点 当 ACD的面积等于 ACB的面积时 求点D的坐标 3 若直线l过点E 4 0 M为直线l上的动点 当以A B M为顶点所作的直角 精品文档 24欢迎下载 三角形有且只有三个时 求直线l的解析式 图 1 解答解答 1 由 2 333 3 4 2 848 yxxxx 得抛物线与x轴的交点坐标为A 4 0 B 2 0 对称轴是直线x 1 2 ACD与 ACB有公共的底边AC 当 ACD的面积等于 ACB的面积时 点B D 到直线AC的距离相等 过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D 在AC的另一侧有对应的点D 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G 与AC交于点H 由BD AC 得 DBG CAO 所以 3 4 DGCO BGAO 所以 点D的坐标为 39 44 DGBG 9 1 4 因为AC BD AG BG 所以HG DG 而D H DH 所以D G 3DG 所以D 的坐标为 27 4 27 1 4 图 2 图 3 3 过点A B分别作x轴的垂线 这两条垂线与直线l总是有交点的 即 2 个点 M 以AB为直径的 G如果与直线l相交 那么就有 2 个点M 如果圆与直线l相切 就 只有 1 个点M了 联结GM 那么GM l 在 Rt EGM中 GM 3 GE 5 所以EM 4 在 Rt EM1A中 AE 8 所以M1A 6 1 1 3 tan 4 M A M EA AE 所以点M1的坐标为 4 6 过M1 E的直线l为 3 3 4 yx 根据对称性 直线l还可以是 3 3 4 yx 例例 2 2在平面直角坐标系中 反比例函数与二次函数y k x2 x 1 的图象交于点A 1 k 和点 B 1 k 1 当k 2 时 求反比例函数的解析式 2 要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大 求k应满足的条件以及x的 精品文档 25欢迎下载 取值范围 3 设二次函数的图象的顶点为Q 当 ABQ是以AB为斜边的直角三角形时 求k的 值 解答解答 1 因为反比例函数的图象过点A 1 k 所以反比例函数的解析式是 k y x 当k 2 时 反比例函数的解析式是 2 y x 2 在反比例函数中 如果y随x增大而增大 k y x 那么k 0 当k 0 时 抛物线的开口向下 在对称轴左侧 y随 x增大而增大 抛物线y k x2 x 1 的对称轴是直 2 15 24 k xk 线 1 2 x 图 1 所以当k 0 且时 反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大 1 2 x 3 抛物线的顶点Q的坐标是 A B关于原点O中心对称 15 24 k 当OQ OA OB时 ABQ是以AB为直径的直角三角形 由OQ2 OA2 得 2222 15 1 24 kk 解得 如图 2 如图 3 1 2 3 3 k 2 2 3 3 k 图 2 图 3 考点伸展考点伸展 如图 4 已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线 k 0 交于A B k y x 和C D 那么AB与CD互相平分 所以四边形ACBD是平行四边形 问平行四边形ABCD能否成为矩形 能否成为正方形 如图 5 当A C关于直线y x对称时 AB与CD互相平分且相等 四边形ABCD是矩 形 因为A C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上 所以OA与OC无法垂直 因此 四边形ABCD不能成为正方形 精品文档 26欢迎下载 图 4 图 5 例例 3 3 如图 1 已知抛物线y x2 bx c与x轴交于A B两点 点A在点B左侧 与y 轴交于点C 0 3 对称轴是直线x 1 直线BC与抛物线的对称轴交于点D 1 求抛物线的函数表达式 2 求直线BC的函数表达式 3 点E为y轴上一动点 CE的垂直平分线交CE于点F 交抛物线于P Q两点 且 点P在第三象限 当线段时 求 tan CED的值 3 4 PQAB 当以C D E为顶点的三角形是直角三角形时 请直接写出点P的坐标 温馨提示 考生可以根据第 3 问的题意 在图中补出图形 以便作答 图 1 解答解答 1 设抛物线的函数表达式为 代入点C 0 3 得 所以抛 2 1 yxn 4n 物线的函数表达式为 22 1 423yxxx 2 由 知A 1 0