关于函数恒成立问题的解题策略

1 关于恒成立问题的解题策略 整理人 凌彬 一 恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题恒成立的命题恒成立的命题 函数在给定区间上某结论成立问题 其表现形式通常有 在给定区间上某关系恒成立 某函数的定义域为全体实数 R 某不等式的解为一切实数 某表达式的值恒大于 等等 a 恒成立问题 涉及到一次函数 二次函数的性质 图像 渗透着换元 化归 数形结合 函数与方程等思想方法 有利于考查综合解题能力 是历届高考的热点之一 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型 一次函数型 二次函数型 变量分离型 根据函数的奇偶性 周期性等性质 直接根据函数的图像 二 恒成立问题解决的基本策略 A 两个基本思想解决 两个基本思想解决 恒成立问题恒成立问题 思路思路 1 在上恒成立 mf x xD max mf x 思路思路 2 在上恒成立 mf x xD min mf x 如何在区间上求函数的最大值或者最小值问题 可以通过题目的实际情况 采取合D f x 理有效的方法进行求解 通常可以考虑利用函数的单调性 函数的图像 二次函数的配方法 三角函数的有界性 均值定理 函数求导 等等方法求函数的最值 f x 此类问题涉及的知识比较广泛 在处理上也有许多特殊性 希望大家多多注意积累 B 赋值型 赋值型 利用特殊值求解利用特殊值求解 等式中的恒成立问题 常常用赋值法求解 特别是对解决填空题 选择题能很快求得 例例 1 由等式 432432 12341234 1 1 1 1 xa xa xa xaxb xb xb xb 定义映射 则 f 12341234 aaaabbbb f 4 3 2 1 解解 取 则 又由已知 所以 0 x 41234 1abbbb 4 1a 1234 0bbbb 例例 2 如果函数的图像关于直线对称 那么 sin2cos2yf xxax 8 x a 解解 取及 则 即 0 x 4 x 0 4 ff 1a 此法体现了数学中从特殊特殊到一般一般的转化思想 2 C 分清基本类型 运用相关基本知识 把握基本的解题策略 分清基本类型 运用相关基本知识 把握基本的解题策略 1 一次函数型 一次函数型 若原题可化为一次函数型 则由数形结合思想利用一次函数知识求解 十分简捷 给定一次函数 若在内恒有 则等价于 0 yf xaxba yf x m n 0f x 同理 若在内恒有 则等价于 0 0 f m f n m n 0f x 0 0 f m f n 例例 3 对于满足的所有实数 求使不等式恒成立的的取值范围 2a a 2 12xaxax x 分析分析 在不等式中出现了两个字母 及 关键在于该把哪个字母看成是一个变量 另一个xa 作为常数 显然可将看作自变量 则上述问题即可转化为在内关于的一次函a 2 2 a 数大于 0 恒成立的问题 解解 原不等式转化为 在时恒成立 2 1 210 xaxx 2a 设 则在上恒大于 0 2 1 21f axaxx f a 2 2 故有 即 解得 2 0 2 0 f f 2 2 430 10 xx x 31 11 xx xx 或 或 或 即 1 3 1x 3x x 此类题本质上是利用了一次函数在区间上的图像是一条线段 故只须保证该线段两 m n 端点均在轴上方 或下方 即可 x 2 二次函数型 二次函数型 涉及到二次函数的问题是复习的重点 要加强学习 归纳 总结 提炼出一些具体的方法 在今后的解题中自觉运用 1 若二次函数大于 0 恒成立 则有且 2 0 yaxbxc a 0a 0 2 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题 可以利用韦达定理以及根的分布知识求解 例例 4 若函数的定义域为 求实数的取值范围 22 2 1 1 1 f xaxax a Ra 分析分析 该题就转化为被开方数 在上恒成立问题 并且注意对 22 2 1 1 0 1 axax a R 二次项系数的讨论 解解 由题意可知 当时 恒成立 xR 22 2 1 1 0 1 axax a 当且时 此时 适合 2 10a 10a 1a 22 2 1 1 10 1 axax a 3 当时 有即有 2 10a 2 22 10 2 1 4 1 0 1 a aa a 2 2 1 19 1090 a a aa 综上所述 的定义域为时 f xR 1 9 a 例例 5 已知函数 在上恒成立 求的取值范围 2 3f xxaxa R 0f x a 分析分析 的函数图像都在轴及其上方 如右图所示 yf x x 略解略解 22 4 34120aaaa 62a 变式变式 1 若时 恒成立 求的取值范围 2 2x 0f x a 分析分析 要使时 恒成立 2 2x 0f x 只需的最小值即可 f x 0g a 解解 令在上的最小值为 2 2 3 24 aa f xxa f x 2 2 g a 当 即时 而 不存在 2 2 a 4a 2 730g afa 7 3 a 4a a 当 即时 22 2 a 44a 2 30 24 aa g afa 62a 又 44a 42a 当 即时 2 2 a 4a 2 70g afa 7a 又 4a 74a 综上所述 72a 变式变式 2 若时 恒成立 求的取值范围 2 2x 2f x a 法一法一 分析 题目中要证明在上恒成立 若把 2 移到等号的左边 则把原题转 2f x 2 2 化成左边二次函数在区间时恒大于等于 0 的问题 2 2 略解略解 2 320f xxaxa 即在上成立 2 10f xxaxa 2 2 2 4 10aa 22 222 2a 2 2 4 2 4 1 0 2 0 2 0 22 22 aa f f aa 或 52 22a 综上所述 52 22a 解法二 运用根的分布 解法二 运用根的分布 当 即时 不存在 2 2 a 4a 2 732g afa 5 4 3 a a 当 即时 22 2 a 44a 2 32 24 aa g afa 2 222 22a 或42 22a 当 即时 2 2 a 4a 2 72g afa 5a 54a 综上所述 52 22a 此题属于含参数二次函数 求最值时 轴动动区间定定的情形 对轴与区间的位置进行分类讨 论 还有与其相反的 轴定定区间动动 方法一样 对于二次函数在上恒成立问题往往采用判别式法 如例 4 例 5 而对于二次函数在某R 一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题 3 变量分离型 变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量 其中一个变量的范围已知 另一个变量的范围为所求 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边 则可将恒成立问题转化成函数 的最值问题求解 运用不等式的相关知识不难推出如下结论 若对于取值范围内的任何一个x 数都有 恒成立 则 若对于取值范围内的任何一个数 都有 f xg a min g af x x 恒成立 则 f xg a max g af x 例例 6 已知三个不等式 要使同时 2 430 xx 2 680 xx 2 290 xxm 满足 的所有的值满足 求的取值范围 xm 略解略解 由 得 要使同时满足 的所有的值满足 23x x 即不等式在上恒成立 2 290 xxm 2 3 x 即在上恒成立 又在上大于 9 2 29mxx 2 3 x 2 29xx 2 3 x 所以 9m 5 例例 7 函数是奇函数 且在上单调递增 又 若对所 f x 1 1 1 1f 2 21f xtat 有的都成立 求 的取值范围 1 1 a t 解 解 据奇函数关于原点对称 1 1f 又因为在是单调递增 所以 f x 1 1 max 1 1f xf 对所有的都成立 2 21f xtat 1 1 a 因此 只需大于或等于在上的最大值 1 2 21tat f x 1 1 又 对所有的都成立 22 21 120tattat 1 1 a 即关于的一次函数在上大于或等于 0 恒成立 a 1 1 即 2 2 20 202 20 tt ttt tt 或或 2 0 2 t 利用变量分离解决恒成立问题 主要是要把它转化为函数的最值问题 4 根据函数的奇偶性 周期性等性质 根据函数的奇偶性 周期性等性质 若函数是奇 偶 函数 则对一切定义域中的 f xx fxf x fxf x 恒成立 若函数的周期为 则对一切定义域中的 恒成立 f xTx f xf xT 5 直接根据图像判断 直接根据图像判断 若把等式或不等式进行合理的变形后 能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像 则可以通过画图直接判断得出结果 尤其对于填空题这种方法更显方便 快捷 例例 8 对任意实数 不等式恒成立 求实数的取值范围 x 1 2 xxa a 分析 分析 转化为求函数的最小值 画出此函数的图像即可求得的取值范围 1 2 yxx a 解解 令 3 1 1221 12 3 2 x yxxxx x 在直角坐标系中画出图像如图所示 由图象可看出 要使对任意实数 不等式恒成立 x 1 2 xxa 只需 故实数的取值范围是 3a a3 或或或 本题中若将 改为 同样由图象可 1 2 xxa 1 2 xxa 得 3a 利用数形结合解决恒成立问题 应先构造函数 作出符合已知条件的图形 再考虑在给 6 定区间上函数与函数图象之间的关系 得出答案或列出条件 求出参数的范围 三 在恒成立问题中 主要是求参数的取值范围问题 是一种热点题型 介绍一些基本的解题 策略 在学习中学会把问题分类 归类 熟练基本方法 一 换元引参 显露问题实质 一 换元引参 显露问题实质 例例 9 对于所有实数 不等式 恒成立 x 2 2 222 2 4 1 2 1 log2 loglog0 14 aaa xx aaa 求的取值范围 a 解 解 因为的值随着参数的变化而变化 若设 2 2 log 1 a a a 2 2 log 1 a t a 则上述问题实质是 当 t 为何值时 不等式恒成立 2 3 220t xtxt 这是我们较为熟悉的二次函数问题 它等价于 求解关于 的不等式组 t 2 30 2 8 3 0 t ttt 解得 即有 易得 0t 2 2 log0 1 a a 01a 二 分离参数 化归值域问题 二 分离参数 化归值域问题 例例 10 若对于任意角总有成立 求的范围 2 sin2cos410mm m 解 解 此式是可分离变量型 由原不等式得 2 2cos4 cosm 又 则原不等式等价变形为恒成立 cos20 2 cos 2 cos2 m 故必须小于的最小值 这样问题化归为怎样求的最小值 2m 2 cos cos2 f 2 cos cos2 由 2 cos cos2 f 2 cos2 4 cos2 4 cos2 4 cos24 cos2 440 即时 有最小值为 0 故 cos0 0m 三 变更主元 简化解题过程 三 变更主元 简化解题过程 例例 11 若对于 方程都有实根 求实根的范围 01m 2 210 xmxm 解解 此题一般思路是先求出方程含参数的根 再由的范围来确定根的范围 但这样会遇mmx 到很多麻烦 若以为主元 则 m 2 2 1 m xx 7 y y2 y1 0 4 x 由原方程知 得 2x 2 1 2 x m x 又 即 解之得或 01m 2 1 01 2 x x 113 1 2 x 113 1 2 x 四 图象解题 用好数形结合 四 图象解题 用好数形结合 例例 12 设 若不等式恒成立 求的取值范围 0 4 x 或 4 xxax a 解 解 若设 则表示为上半圆 1 4 yxx 22 11 2 4 0 xyy 设 为过原点 为斜率的直线 2 yax a 在同一坐标系内 作出函数图像 依题意 半圆恒在直线上方时 只有时成立 0a 即的取值范围为 a0a 例例 13 当时 不等式恒成立 求的取值范围 1 2 x 2 1 logaxx a 解解 设 则的图像为右图是抛物线 2 1 1 yx 2 logayx 1 y 要使对一切 恒成立 显然 1 2 x 12 yy 1a 并且必须也只需当时 的函数值大于等于的函数值 故 2x 2 y 1 ylog 21 a 12a 五 合理联想 运用平几性质 五 合理联想 运用平几性质 例例 14 不论为何实数 直线与曲线恒有交点 k1ykx 222 2240 xyaxaa 求的范围 a 解解 C a 0 22 42xaya 当时 联想到直线与圆的位置关系 则有点 A 0 1 必在圆上或圆内 2a 即点 A 0 1 到圆心距离不大于半径 则有 得 2 124 2 aaa 13a 评析评析 因为题设中有两个参数 用解析几何中有交点的理论将二方程联立 用判别式来解题是比较困难的 若考虑到直线过定点 A 0 1 曲线为圆 六 分类讨论 避免重复遗漏 六 分类讨论 避免重复遗漏 例例 15 当时 不等式恒成立 求的范围 2m 2 21 1 xm x x 解解 使用的条件 必须将分离出来 此时应对进行讨论 2m m 2 1x 当时 要使不等式恒成立 只要 解得 2 10 x 2 21 1 x m x 2 21 2 1 x x 13 1 2 x 8 当时 要使不等式恒成立 只要 解得 2 10 x 2 21 1 x m x 2 21 2 1 x x 17 1 2 x 当时 要使恒成立 只有 2 10 x 210 x 1x 综上 得 1713 22 x 解法 2 可设 用一次函数知识来解 则较为简单 2 1 21 f mxmx 七 构造函数 体现函数思想 七 构造函数 体现函数思想 例例 16 设 其中为实数 为任意给定的自然数 123 1 lg xxxxx nn a f x n an 且 如果当时有意义 求的取值范围 2n f x 1 x 或a 解解 本题即为对于 有恒成立 1 x 或12 1 0 xxxx nn a 这里有三种元素交织在一起 结构复杂 难以下手 若考虑到求的范围 a 可先将分离出来 得 对于恒成立 a 121 2 xxx n an nnn 1 x 或 构造函数 121 xxx n g x nnn 则问题转化为求函数在上的值域 g x 1 x 或 由于函数在上是单调增函数 121 x k u xkn n 或或或 1 x 或 则在上为单调增函数 g x 1 或 于是有的最大值为 从而可得 g x 1 1 1 2 gn 1 1 2 an 四 巩固练习 1 对任意的实数 若不等式恒成立 求实数的取值范围 x12xxa a 2 已知函数 对任意都有意义 求实数的取值范 2 1 lg 22 xx f x