高三数学 导数及其应用单元练习.doc

高三数学 导数及其应用单元练习一、选择题(105=50)1.曲线y=x在点P（2，8）处的切线方程为 ( )A.y=6x-12 B.y=12x-16 C.y=8x+10 D.y=12x-322.过原点与曲线y=相切的切线方程为 ( )A.y=x B.y=2x C.y=x D.y=x3.物体自由落体运动方程为s=s(t)=gt,g=9.8m/s,若v=g=9.8m/s.那么下列说法正确的是 ( )A.9.8m/s是在1s这段时间内的速率B.9.8m/s是从1s到（1+t）s这段时间内的速率C.9.8m/s是物体在t=1 s这一时刻的速率D.9.8m/s是物体从1 s到（1+t）s这段时间内的平均速率4.已知过曲线y=x上点P的切线l的方程为12x-3y=16,那么P点坐标只能为 ( )A. B. C. D.5.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为：s(t)=4t-3(s单位：m,t单位：s),则t=5时的瞬时速率为 ( )A.37 B.38 C.39 D.406.一个圆半径以0.1 cm/s速率增加，那么当半径r=10 cm时，此圆面积的增加速率（单位：cm/s）为 ( )A.3 B.4 C.2 D.7.一圆面以10 cm/s的速率增加，那么当圆半径r=20 cm 时，其半径r的增加速率u为 ( )A. cm/s B. cm/s C. cm/s D. cm/s8.曲线y=x(nN)在点P(,2)处切线斜率为20，那么n为 ( )A.7 B.6 C.5 D.49.直线ab，a处一面高墙，点P处站一人，P到直线a的距离PA10 m,P到直线b的距离PB2 m,在夜晚一光源S从B点向左运动，速率为5 m/s(沿直线b运动)，那么，P点处的人投在墙a上影子Q的运动速率为 ( )A.10 m/s B.15 m/s C.20 m/s D.25 m/s第10题图10.质点P在半径为r的圆周上逆时针方向做匀角速率运动，角速率为1 rad/s.如图所示，设A为起点，那么t时刻点P在x轴上射影点M的速率为 ( )A.rsint B.-rsint C.rcost D.-rcost二、填空题（44=16）11.曲线y=x(x+1)(2-x)有两条平行于直线y=x的切线，则两切线之间的距离是 .12.函数S=esin(t+),那么St为 .13.设曲线y=上有点P(x1,y1)，与曲线切于点P的切线为m.若直线n过P且与m垂直，则称n为曲线在P处的法线，设n交x轴于Q,又作PRx轴于R,则RQ的长是 .14.设坐标平面上的抛物线y=x的图象为C,过第一象限的点(a,a)作C的切线l,则l与y轴的交点Q的坐标为 ,l与y轴夹角为30时，a= .三、解答题（410+14=54）15.A(1,c)为曲线y=x-ax+b上一点，曲线在A点处的切线方程为y=x+d,曲线斜率为1的切线有几条？它们之间的距离是多少？16.已知抛物线C:y=x+2x和C:y=-x+a，如果直线l同时是C和C的切线，则得l为C1和C的公切线，公切线上两切点之间的线段称为公切线段.(1)a取什么值时，C和C有且仅有一条公切线?写出此公切线方程；(2)若C与C有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.17.已知函数f(x)=ln(x+1)-x.(1)求函数f (x)的单调递减区间;(2)若x-1,证明：1-ln(x+1)x.第18题图18.如图所示的是曲柄连杆装置，（1）求滑块运动方程；（2）求滑块运动速率.19.质点运动方程s=f (t)实为位移s对时间t的函数，质点的运动速度即是对应的位移函数的导数s=f (t).(1)求质点运动s1=vt+s0和s2=at+vt+s0的运动速度并判定运动的性质.(v、a、s均为大于零的常数)(2)已知某质点的运动方程为s=sin2t,问此运动何时速度为0？导数练习100分参考答案一、选择题1.B 设所求切线斜率为k,那么，k=12,所以，所求切线方程为y-8=12(x-2),整理得:y=12x-16.2.A 设切点P（x,），那么切线斜率k=y|=.又因为切线过点O（0，0），及点P，则k=,所以=.解得x=2.所以斜率k=.从而切线方程为:y=x.3.C4.A 设P点坐标为,由导数几何意义可知：y|=k=4,又因为y|=x,所以x=2,所以点P 坐标为.5.D 设物体在时刻5时的瞬时速度为:v(5)= .6.C 当圆半径变化t s时，圆面积为S=r,那么圆面积变化速率为v=S=2rr;又因为r=0.1 cm/s.从而r=10 cm时，v=2100.1 cm/s=2 cm/s.7.C 设t s时刻圆面积为S，则S=r,时刻t圆面积增加速率为S,对应半径增加速率u=r,S=2rr,此时S=10 cm/s,r=20 cm.由10=220r,从而r= cm/s.8.C 由导数的几何意义可知，曲线在P点处切线斜率k=y,第9题图解20=y|=n() 然后采用试值法，可知当n=5时满足方程.9.D 设光源S运动路程为l,则SBl=5t,此时影子Q运动路程为x=AQ,又由于APQBPS(如图).从而,.,x=25t,从而影子Q运动速率为v=x=25.10.B 点M的运动方程为x=rcost,那么点M的运动速率v=x=-rsint.二、填空题11. 分析 从y=1入手，写出两切线的方程.解 y=-x+x+2x,y=-3x+2x+2.所求直线与直线y=x平行.k=1.命y=1,即3x-2x-1=0,(3x+1)(x-1)=0,x=-或1,x=-时,y=-(-)+-=-,x=1时,y=-1+1+21=2.故切点为A,B(1,2)切线方程为:l:y+=x+,即x-y-=0,l:y-1=x-2,即x-y+1=0,两切线间的距离为:d=.12.S=-2esin(t+)+ecos(t+).S=(e)sin(t+)+e(sin(t+)=-2esin(t+)+ecos(t+).13. 由y=得P(x,y)的切线斜率k=,P点的法线斜率k=-,法线方程为y-y=-2(x-x),令y=0得x=,即Q的横坐标为,|RQ|=|x-x|=.点评 有关曲线切线的问题，一般都可用导数的几何意义完成，曲线在某一定点处的切线是惟一的，因此斜率也是惟一的（若存在的话），采用斜率相等这一重要关系，往往都可解决这类问题.14.(0,-a), y=2x,y|=2a,l:y-a=2a(x-a),令x=0得y=-a,Q(0,-a),由k=2a=tan(90-30)=,a=.三、解答题15.分析 根据题目条件可列出多个不等式，但要用它们解出全部4个未知系数是困难的，问题在于，要回答本题的两个问题，是否必须求出所有的未知系数，想到这里，便会豁然开朗.解 f (x)=3x-2ax,f (1)=3-2a切线斜率为1,3-2a=1,a=13x-2ax=3x-2x令3x-2x=1,x=1或-故已知曲线斜率为1的切线有两条.因为A在曲线上，c=1-1+b=b,过点A的切线为y-c=x-1,即y=x+c-1,d=c-1.当x=-时，y=(-)-(-)+c,故相应切点为(-,c-).切线方程为y-(c-)=x+,即y=x+c+.两直线间距离为.16.解 (1)函数y=x+2x的导数y=2x+2,曲线C在点P(x,x+2x)处的切线方程是y-(x+2x)=(2x+2)(x-x)即y=(2x+2)x-x 函数y=-x+a的导数y=-2x.曲线C2在点Q(x,-x+a)处的切线方程是y-(-x+a)=-2x(x-x)即y=-2xx+x+a 如果直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是直线l的方程，所以：消去x，得2x+2x+1+a=0若=4-8(1+a)=0,即a=-，得x=-，x=-,P(-,-)、Q(-,-)，P与Q重合，所以：当a=-时，C与C只有一条公切线，公切线方程是：y=x-.(2)由(1)知：当=4-8(1+a)0即a-时，P与Q不重合，此时C与C有两条公切线.设一条公切线上的切点为P(x,y)、Q(x,y)，其中PC，QC，则x+x=-1y+y=(x+2x)+(-x+a)=x+2x-(x+1)+a=a-1线段PQ的中点E.同理，另一条公切线段PQ的中点也是.当C与C有两条公切线时，相应的两公切线段相互平分.点评 本题把导数与二次曲线位置关系融为一体，重在考查用导数的几何意义分析问题解决问题的能力.17.解 (1)函数f(x)的定义域为(-1,+),f (x)=-1=-.由f (x)-1得x0.当x(0,+)时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为(0,+).(2)由(1)知，当x(-1,0)时，f (x)0;当x(0,+)时，f (x)-1时，f(x)f(0)，即ln(x+1)-x0.ln(x+1)x.令g(x)=ln(x+1)+-1,则g(x)=-.当x(-1,0)时，g(x)0.当x-1时，g(x)g(0),即ln(x+1)+-10,ln(x+1)1-.综上可知，当x-1时，有1-ln(x+1)x.18.解 (1)由图可知s=OC+CB.