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初中数学竞赛辅导 专题六:取整函数一、 基础知识定义：设，用表示不大于的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数；任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即，这里，为的整数部分，记为的小数部分。性质：由、的定义不难得到如下性质：（1）对任意实数，都有.（2）对任意实数，都有.（3）显然，的定义域是R，值域是Z。的定义域为R，值域为。从函数的图象可以看出，的图象由成阶梯形的等长平行线段组成，函数不减，即若则，其图像如图I 1；的图象由端点位于轴上整点的无数条与平行的线段组成，I 2. 图1 图2（4）.其中.（5）；特别地，（6），其中；一般有；特别地，.（7） （8）若，则；当时，；（9）若整数适合（是整数，），则；（9）是正实数，是正整数，则在不超过的正整数中，的倍数共有个；（10）设为任一素数，在中含的最高乘方次数记为，则有：。证明：由于是素数，所有中所含的方次数等于的各个因数所含的方次数之总和。由性质10可知，在中，有个的倍数，有个的倍数，有个的倍数，当时，所以命题成立。高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。二、 例题选讲 1. 用表示不超过的最大整数，则2. 若设，则可以取值的个数是（ ）A 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个3. 正整数 小于100，并且满足等式，则这样的正整数有（ ）个A . 2 B. 3 C. 12 D. 164.计算：的值。解：由题意得：对于任意的，说明：本例采用了分组凑整的思想。5解方程。解：令 ，则，带入原方程整理得：，由高斯函数的定义有，解得：，则。若，则；若，则。注：本例中方程为型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解。6、求方程解：经检验知，这四个值都是原方程的解.7、求出的个位数字解：先找出的整数部分与分数部分.=其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.8、在数列中有多少个不同的数？分析：我们注意到第一项为0，若每两项的差不超过1，则所有满足此条件的数均能取到，不存在跳跃现象，若每两项的差大于1，则每个项均不同于前面的项。令通项为；则去除取整符号的相邻两项为它们的间隔；于是此题中共有495+991=1486个整数三、 课堂练习1、2、 满足方程 的整数解 的个数是（）A 1 B 2 C 3 D
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