条件范数与精度估计.doc

条件范数与精度估计摘 要 定义矩阵A为Hilbert矩阵，计算A的范数条件数，统计分析矩阵A为5到20阶时范数条件数的值。利用列主元Gauss消去法求解方程组，对5到30阶估计计算解的精度，并且与真实相对误差做比较。关键词 Hilbert矩阵 矩阵A的范数 条件数 列主元Gauss消去法1 内容简介1.1 估计范数条件数估计5到20阶Hilbert矩阵的范数条件数。Hilbert矩阵：系数矩阵A的第i行第j列的元素为 矩阵A的范数：条件数：定义矩阵A为Hilbert矩阵，计算A的范数条件数，统计分析矩阵A为5到20阶时范数条件数的值。1.2比较估计精度与真实相对误差利用列主元Gauss消去法求解方程组，对5到30阶估计计算解的精度，并且与真实相对误差比较。列主元Gauss消去法：计算A的列主元LU分解;再解下三角方程组;解上三角方程组设矩阵，任选，计算，用列主元Gauss消去法求解该方程组，假定解为，设，而，记，计算，则可作为计算解的相对误差的一个估计。与真实相对误差做比较。2 实验方法2.1估计范数条件数用MathCAD计算方法如下：其中表示n阶Hilbert矩阵，即是n阶Hilbert矩阵的范数条件数。2.2比较估计精度与真实相对误差用MathCAD计算方法如下： 其中表示n阶矩阵，是任选的，即是，和分别是对进行LU分解得到的下三角矩阵和上三角矩阵，是用列主元Gauss消去法求得的解，是n阶矩阵计算解的精度，是n阶矩阵计算解的真实相对误差。3 结果与分析3.1估计范数条件数用MathCAD处理计算的结果如下：当矩阵阶数 时，即是m阶Hilbert矩阵的范数条件数。以矩阵阶数m为横坐标，条件范数为纵坐标，其图像如下：条件数在一定程度上刻画了扰动对方程组解的影响程度。通常，若线性方程组的系数矩阵A的条件数(A)很大，则A是病态的；反之，A是良态的。可以看出，Hilbert矩阵的条件数很大。3.2比较估计精度与真实相对误差用MathCAD处理计算的结果如下：表示i阶矩阵计算解的精度，在图中以红色的点表示，其中 ；表示j阶矩阵计算解的真实相对误差，在图中以蓝色的点表示， 。 以i，j为横坐标，为纵坐标，在同一图像上表示如下：这一方法给出了计算解相对误差的相当好的估计，可以看出，真实相对误差不大于计算解的精度。4 结论条件数在一定程度上刻画了扰动对方程组解的影响程度。通常，若线性方程组的系数矩阵A的条件数(A)很大，则A是病态的；反之，A是良态的。可以看出，Hilbert矩阵的条件数很大，故Hilbert矩阵是十分病态的。对于绝大多数问题，用上述解决计算解及相对误差的方法常常可以给出计算解相对误差的相当好的估计，但是，也有一些特殊的问题利用该方法估计得到的计算解的精度远远小于计算解的实际相对误差。若计算解的精度太低，可以为初值，应用Newton迭代法于函数上，来改进其精度。具体步骤如下：（1） 计算（用双精度和原始矩阵A）；（2） 求解（利用A的三角分解）；（3） 计算；（4） 若，则结束；否则，令，转步（1）.