龙格库塔方法及其matlab实现

龙格 库塔方法及其 matlab 实现 摘要 本文的目的数值求解微分方程精确解 通过龙格 库塔法 加以利用 matlab 为工具 达到求解目的 龙格 库塔 Runge Kutta 方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法 用于数值求解微分方程 MatLab 软件是由美国 Mathworks 公司推出的用于数值计算和图 形处理的科学计算系统环境 MatLab 是英文 MATrix LABoratory 矩阵实验室 的缩写 在 MratLab 环境下 用户可以集成地进行程序设计 数值计算 图形绘制 输入输出 文 件管理等各项操作 关键词 龙格 库塔 matlab 微分方程 1 前言 1 1 知识背景 龙格 库塔法 Runge Kutta 是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代 法 这些技术由数学家卡尔 龙格和马丁 威尔海姆 库塔于 1900 年左右发明 通常所说的龙 格库塔方法是相对四阶龙格库塔而言的 成为经典四阶龙格库塔法 该方法具有精度高 收敛 稳定 计算过程中可以改变步长不需要计算高阶导数等优点 但是仍需计算在一些 点上的值 比如四阶龙格 库塔法没计算一步需要计算四步 在实际运用中是有一定复杂性 的 Matlab 是在 20 世纪七十年代后期的事 时任美国新墨西哥大学计算机科学系主任的 Cleve Moler 教授出于减轻学生编程负担的动机 为学生设计了一组调用 LINPACK 和 EISPACK 库 程序的 通俗易用 的接口 此即用 FORTRAN 编写的萌芽状态的 MATLAB 经几年的校际流传 在 Little 的推动下 由 Little Moler Steve Bangert 合作 于 1984 年成立了 MathWorks 公司 并把 MATLAB 正式推向市场 从这时起 MATLAB 的内 核采用 C 语言编写 而且除原有的数值计算能力外 还新增了数据图视功能 MATLAB 以商品形式出现后 仅短短几年 就以其良好的开放性和运行的可靠性 使 原先控制领域里的封闭式软件包 如英国的 UMIST 瑞典的 LUND 和 SIMNON 德国的 KEDDC 纷纷淘汰 而改以 MATLAB 为平台加以重建 在时间进入 20 世纪九十年代的时 候 MATLAB 已经成为国际控制界公认的标准计算软件 到九十年代初期 在国际上 30 几个数学类科技应用软件中 MATLAB 在数值计算方面独 占鳌头 而 Mathematica 和 Maple 则分居符号计算软件的前两名 Mathcad 因其提供计算 图形 文字处理的统一环境而深受中学生欢迎 1 2 研究的意义 精确求解数值微分方程 对龙格库塔的深入了解与正确运用 主要是在已知方程导数和初 值信息 利用计算机仿真时应用 省去求解微分方程的复杂过程 利用 matlab 强大的数值 计算功能 省去认为计算的过程 达到快速精确求解数值微分方程 在实际生活中可以利 用龙格库塔方法和 matlab 的完美配合解决问题 1 3 研究的方法 对实例的研究对比 实现精度的要求 龙格库塔是并不是一个固定的公式 所以只是对典 型进行分析 2 龙格 库塔方法 2 1 龙格 库塔公式 在一阶精度的的拉格朗日中值定理有 对于函数 y f x y y f x y y n 1 y n h K1 K1 f 这就是一阶龙格 库塔方法 形如 y n 1 y n h 1 f 1 f h 1 1 i 2 r 故二阶龙格 库塔公式 y n 1 y n h 1 1 2 2 f 2 1 f h 2 2 2 1 将 y x 在处展成幂级数 y y h o 1 2 2 3 f x y x x x y x x y x f x y x y y hf o 3 1 2 2 3 将 2 式中的在 点展成幂级数 2 f h 2 2 2 1 f h h o 2 2 2 将 代入 2 式 得 1 2 h f 1 1 2 h o 4 2 2 3 对比 3 4 当 y 时 只有 5 1 2 1 2 2 1 2 形如 2 存在常数满足 5 式 局部截断误差为 o 的求解方法称为二阶龙格 库塔法 3 满足 5 式 若取 则得到 则公式则恰为预估 校正法公式 1 1 2 2 1 2 2 1 若取 则 1 0 2 1 2 1 2 1 2 f 6 1 f 2 2 2 n 0 1 N 1 由 5 式 可知龙格 库塔法不是唯的 三阶龙格 库塔法 h 1 1 1 2 2 3 3 f 1 f h 7 2 2 2 1 f h 3 3 31 1 32 2 若 且满足 并使得局部截断误差为 1 2 3 2 3 31 32 31 32 3 o 类似二阶龙格 库塔法推导的 4 1 1 2 3 2 2 3 3 1 2 8 2 32 3 1 6 22 2 32 3 1 3 形如 7 常数满足 8 局部截断误差为 o 的求解方法称为三阶龙格 4 库塔法 在 8 式中若取则得 1 1 2 1 1 6 3 1 6 2 2 3 2 1 2 3 31 32 代入 7 中得三阶龙格 库塔法公式 1 6 1 4 2 3 f 1 f 9 2 2 2 1 f h 3 3 1 2 2 四阶龙格库塔法的推导类似于三阶龙格 库塔法 但相对复杂这里不再进行推导 公式如下 1 6 1 2 2 2 3 4 f 1 f 10 2 2 2 1 f 3 2 2 2 f h 4 3 n 0 1 N 1 这就是标准四阶龙格库塔公式 2 1 对实例的研究 利用龙格 库塔法求解方程 的数值 其中 h 0 2 计算 y 0 4 的近似值 至少保留四位小 8 3 y 0 2 数 解 f x y 8 3y 利用四阶龙格 库塔公式有 1 6 1 2 2 2 3 4 f 8 3 1 f 5 6 2 1 2 2 2 1 f 6 32 2 37 3 2 2 2 f h 4 208 1 578 4 3 n 0 1 N 1